1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 28
Текст из файла (страница 28)
л Направив ось у вверх, а ось ж вправо, со- ставим выражение потенциальной энергии сн- К задаче 183. стены как суммы потенциальной энергии сил тюкести и потенциальной энергии спиральных пружин. Если принять ось ж ва нулевой уровень потенциальной энергии сил тяжести маятников, то последняя выразится формулой Пт = Р,уз+ Р,у„ где коврдинаты у„у, определяются через обобщенные координаты формулами уа 1з сов фь у» 4 сов фа+ 4з сов фа.
Итак, П, = Рт1т соз фа+ Рз (1т соз ф, + Уе соз фа) = = (Рт+ Р,) 4 соз фа+ Р.,Де соз ф,. Потенциальная энергия спиральных пружин равна 1 1 П,. — стф1, +.в- са(фз — фе)з, где угол закручивания второй пружины равен фз — фт. Потенциальная ввергни системы равна П=П,+и, нлн П=(Рт+Ре)1тсозфз+Ре1зсоафе+-ь-сеф',+ — сз(фа-фт)Я. (1) е Согласно теореме Сильвестра, для того чтобы система с двумя степенями свободы была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы главные миноры матрицы квадратичной формы (1) были положительны: 1 — а» (2) ~ см сы1 Ае=~ 1=сыгы-с,'а О, ~с т сы1 181 СВОВРДНЫЕ КОЛВВАНИЯ СИСТЕМЫ Здесь учтено, что ста еат.
Замечаем, что так как сы « О, то иа (3) следует см) О. Переходим к вычислению обобщенных ковффнпнентов жесткости по формулам сы . ( — ), сза ~ — й-), сы =~~-), Внеся в втн формулы аначение потенпиальнои внергин (1), находим сначава дП дч1 — — (Ра+ Рй )т йп фа+ сафа — са (гаа — ге ), дП дв, — = — Ра7а а(п фа+ са (фа йч) са) Ра~„ Рааделнв равенство (8) на (са-ра7а), находим (Р~+Ра) 7~+~~~ еа) р с1 откуда ст ) (Ръ + Ра) ~ + ~ р й (1О) Итак, если жесткости спиральных пружин сь н ся удовлетворяют неравенствам (9) н (10), то верхнее вертикальное положеняе маятников устойчиво. $2.
Свободные колебания системы с одной степенью свободы 1'. Свободные колебания системы бев учета сил с о п р о т и в л е н и я, Механическая спстема нааывается системой с одной степенью свободы, если ее положение в пространстве может быть одноаначно определено ваданнем одной величины о, нааываемой н далее сы ~1~%= ( (Ра + Ра) 4тсоафт+ еь+ са)а — (Рт+ Ра)ут+ еа+ са ЯаП '1 (а) саа=~йр) =( Ра)асоафа+ее) = — Ра7а+е, гдаП 1 (б) ем=~ — ~ — св ~деде,/а (6) Согласно условиям (2),(3) и еаа) О, являющемуся следствием на ннх, верхнее равновесное положение маятников будет устойчивым, если - Ра)а + с ) О, (7) ( — (Ра+Р~1а+ет+еа)( — Р,4,+'сД-( — са)а)0. (8) Из (7) имеем (8) 182 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ 1гл. Хуи! (1") где Т вЂ” кинетическая энергия системы, выраженная через обобщенную координату д и обобщенную скорость )1 1Š†обобщенн сила.
Кинетическая внергия системы, подчиненной стационарным связям, выражается через обобщенные координаты и скорости формулой Т = — 2 А ® )а, 1 (2ь) где А(ф) является положительной функцией обобщенной коордянаты д. Далее для линеаризации выражения кинетической энергии раалагаеи А(у) в ряд Маклорена А(р)=А(б>+А (б)д+ — "(') р~+ (з*) Внеся вто значение в формулу (2ь), находим т- — , 'А(О~Р+ ЯМ(О)д+" ~~йа+..
~Р, обобщенной координатой. Двнженяе системы в пространстве при атом описывается зависимостью обобщенной координаты от времеви. Принимая положение устойчивого равновесия за начало отсчета обобщенной координаты и за нулевой уровень потенциальной энергии, рассмотрим малые движения системы около втого положения равновесия.
Отклонение системы от положения равновесия прн таком выборе начала отсчета будет определяться значением обобщенной координаты. Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами, Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат н более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеариззцней уравнений.
Такая линеаризация, естественно, в известной мере искажаег действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать лннеаризозанные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной, нелинейной системы уравнений в конечном виде, как правило, невозможно. Удобным способом составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы является использование уравнений Лагранжа.
Эти уравнения для системы с одной степенью свободы имеют вид 1ВЗ своводиыи колнвания системы Тогда, полагая д и р малыми величинами, приближенно принимаем Т = — А (0) фа — ауа, 1 1 (бч) где для краткости постоянная А(0) обозначена а. Эта постоянная всегда положительна.
Ее называют инерционным коэффициентом. Для линейных обобщенных координат инерционный коэффициент а имеет раамерность массы, для угловых координат— размерность момента инерции твердого тела. Потенциальная энергия системы является функцией обобщенной координаты и=и®, Разложим эту функцию в ряд Маклорена около положения устойчивого равновесия И(а)=И(О)+И (О)9+ — И (О)а + — (-)9 +... (7 ) В этом выражении и (о) = о, (в*) так как положение равновесия выбрано аа нулевой уровень потенциальной энергии. Обобщенная сила в положении равновесия также равна нулю, следовательно, (9Ф) и поэтому ряд (7ь) начинается с третьего слагаемого. Отбросив члены более высокого порядка и обозначив для краткости И" (0)=с, получим И(р) = 1 сФ (10 ) где постоянная с называется квазнупругим коэффициентом. В случае устойчивого равновесия с ьо.
Внеся значения кинетической (5) н потенциальной (10*) энергий в уравнение Лагранжа (1ь), получаем дифференциальное уравнение малых свободных колебаний системы с одной степенью свободы а()+со=о. (11ь) Это уравнение имеет структуру, аналогичную дифференциальному уравнению свободных колебаний материальной точки, возникающих под действием линейной восстанавливающей силы. Общий интеграл уравнения (11 ) имеет вид (12ь) а = А а1п (Ж + и), 184 теогня малых двнжиннн системы 1гл хтш Период колебаний Т= — =2м ~у —.
ь (14) Свободные, илн, иначе, собственные колебания системы, определяемые уравнением (12*), являются гармоническими колебаниями. Их частота и пЕриод не аавнсят от начальных данных-вто свойство называется иаохронностью малых колебаний. Следует ваметить, что дифференциальное уравнение свободных колебаний (11*) может быть, конечно, составлено и без применения уравнений Лагранжа. При решении аадач на свободные колебания системы с одной степенью свободы рекомендуется следующий порядок действий.
Первый способ — применение уравнений Лагранжа: 1) выбираем обобщенную координату д; 2) составляем выражение кинетической внергин Т; 3) находим потенциальную внергию П (только в случае, если си» стема является консервативной) нли вычисляем значение обобщенной силы; 4) подставив Т и П (или выражение обобщенной силы) в уравнение Лагранжа, получаем дифференциальное уравнение малых колебаний; б) проинтегрировав вто уравнение и определив проиавольные ностоянные интегрирования, находим уравнение движения системы; 6) определяем период колебаний и другие искомые величины. Второй способ †применен основного уравнения динамики или одной иа общих теорем динамики системы: 1) исходя ив условий аадачн, выбираем путь составления дифференциального уравнения †основн уравнение динамики, теорему о движении центра инерция, теорему об иамененни кинетической внергии, теорему об изменения главного момента количеств движения; 2) применив набранную теорему, составляем дифференциальное уравнение малых колебаний системы; 3) проинтегрировав вто дифференциальное уравнение, определяем по начальным данным проиавольныи постоянные интегрирования; где для краткости обовначено ла = —, Здесь А — амплитуда колебаг а' ний, сг — начальная фаза, лс+а — фана колебаний,,л-круговая частота колебаний (ее часто нааывают просто частотой колебаний).
Амплитуда и начальная фана колебаний определяются по начальным условиям. Обоаначнв начальные аначення обобщенной координаты и ее проивводной при 1=0 через р ~ум р =ф„ нолучим (13ь) 185 своводныв колввдння систхмы Ф 31 я'а~ а) К задаче йуд на высоте Ь от плоскости 1)Е. Расстояние АВ=2о, Центр тяжести блока в начальный момент сместили иа среднего положения, вслед- ствпе чего блок стал совершать гармонические колебания периода Т. Полагая коэффициент трения скольжения между блоком и обоими цилиндрами одинаковым, найти ковффнциент тренпя скольжении. Равенне. Отбросим мысленно цилиндры н заменим их действие нормальными реакцяами Йм Й, и силамв трения Уйз, Яз (рнс.
6). В центре тяжести приложена сила тяжести блока Р, Составим диф- ференциальные уравнения плоского движения блока, учтя прн атом, что блок не перемещается вдоль асн у и не поворачивается вокруг центра инерции; МУс = — (гйз-Уйз), М)1с=й,+й,-~ =О, l сф йз(л ж) йз (и+ х)+уйзЬ вЂ” уйзЬ = О. Иа третьего уравнения находим с учетом (2) (й,-й~(.— ~Ь) = (й.+й,)-~Р, (1) (2) (з) откуда Ра. йз — йз =— а — )Ь ' Внеся вто значение в уравнение (1), находим дифференциальноеуравненне дввжения РР— У = — у —.т й а-(Ь 4) находим далее первод колебаний и остальные искомые величины.
Звдвив 18.8. В приборе, предназначенном для определения коэффициента тренвя скольжения между сухими поверхностями (рнс а), прямоугольный металлический блок опирается горизонтальной плоскостьв ПЕ на два цилиндра, вращающихся в противоположные сто» роны вокруг неподвижных осей А н В. Центр тяжести блока находится твоэия малых движвиии системы 1гл. хщп нли У+ — м= О. йу в — 1Я Это — дифференпмальное уравнение свободных гармонических колебаний, где квадрат частоты й равен аг уЯ Период этих колебаний определяется формулой 2п Га — ГЯ Т= — =2и ~Р г' а1 откуда искомый коэффициент трения скольжения равен 4пза У=— ятч+4пал ' Задача 18,2, Рама балансировочной машины состоит кз рычага АВ, который может поворачиваться вокруг неподвижной точки С, совпа- дающей с его центром тяжести, тяги ВР 2 72 и вала ОР с насаженным на него днс- А й ком Е.
Вал ОР закреплен шарнирно своим концом О. Концы рычага А н В соединены вертикальнымн пружинами с неподвижным фундаментом. Вес рычага АВ д равен 12 нГ; его радиус инерции относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести С, равен 3 дм. Вал ОР веса Я=2 нГ имеет постоянное по- К задаче 18.7. перечное сечение, Вес диска Е равен 7ч = 4,5 нГ. Коэффициент жесткости каждой нз пружин равен сз=32 И7дм. Размеры: АС=2 дм, ВС=12 дм, ОЕ=14 дм, РЕ 4 дм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
