1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Второй способ-применение основного уравнения динамики или общих теорем динамики системы: 1) исходя из условий задачи, выбираем для составления днффе. Ренциального уравнения: основное уравнение динамики, теорему о движении центра инерции, теорему об изменении главного момента колвчеетв движения; 2) применив набранную теорему, составляем дифференциальное УРавнение малых колебаняй системы; 3) далее, выполняем пп. 6) и 6), указанные в первом способе. Задача 18Л1.
На конде жесткого стержня массы гл и длины 1 прикреплена точечная масса М. Посредяне стержень зажат двумя "оризонтальными пружинами одинаковой жесткости с. На конце стержня установлен линейный вязкий демпфер, сила сопротивлении которого пропорциональна скорости (Р— Рп). 1гл ки!ы тяовия малых двнжиннн снегины Составять дяфференциальное уравнение малых колебаний системы. Определить границы апериодического движения.
Найтя период малых колебаний и наибольшее отклонение стержня при начальных условиях: ! = О, ф = О, ф-фе Решение. Первый снос о б. Для составлении уравнений Лагранжа выбираем в качестве обобщенной координаты угол ф отклонения стержня от равновесного положения, т.
е. от вертикали. Составляем далее выражение кинетической энергии системы Т как сумму кинетической ввергни стержня и кинетической энергии массы М: Т = -~— " + — — фа+ — фа, ! а Маа яр М!а . 2 2 6 2 К задаче 1В.!1. (1) где !с=!и!я/3-момент инерции стержня относительно горизонтальной осн, проходящей черен точку О; о=!гэ=йр-скорость конца стержня. Лля нахождения обобщенной силы составляем элементарнув работу каждой силы: 1) Элементарная работа сил упругости пружин равна ! с!а бАт= — 2сх !!х= — 2с — ф — г!ф= — — ф йр 2 2 2 где х — перемещение сереянны стержня.
2) Элементарная работа силы сопротивления ЬА,= — ~о с!ха= — ~!ф Иф= — )1!аф.!!ф, где !!хд — перемещение конца стержня. Диссипатиэиая функция Рвлея в этом случае равна и обобщенная сила сопротивления равна дФ !)в — дф = — р)аф, что совпадает с коэффициентом при йр в выраженяи 6Аа.
3) Элементарная работа силы тяжести стержня ! ! бда — шЮ вЂ” а1пф ЙР~ — шК вЂ” ф Йр 2 2 э своводныв колявлния системы ЮА (- — ф-()Еаф — тл — ф-МйЕф~йр. с(а 2 2 Обобщенная сила-коэффициент прн нф: ср Я = — — ф — ()Еа ф — тл — ф — МпЕф. 2 2 (2) Вносим значения кинетической внергин я обобщенной силы в урав- нение Лагранжа Находим (3 + )ф (2+ 62+ й)ф (3) или дифференциальное уравнение малых колебаний системы можно кратко записать так: ф+2лф+лаф=О, (4) где 3 (с(+тя+2Мя) г( +ЗМ) 2п 3() т+ЗМ ' (б) Движение системы будет колебательным, есле л ь и, нлн ,) 3 (с(+те+ ЗМВ) 3() ( (т+ЗМ) ~ 2т+ЗМ (6) Если же й~л, то движение системы будет апериоднческим. Если условие (6) соблюдено, то уравнение движения системы будет ф=е '(Сасоа)~'Р— паг+Саа(п1~И вЂ” лаг).
(7) Для нахождения произвольных постоянных интегрирования подставим в (7) начальные условии Е=О, ф=О; тогда получим Ст=О. Для определения второй произвольной постоянной вычисляем производную от (7): ф= — пе "сСаа!п~/А' — лаЕ+)~'Р— ла е '«Сасоз)~ Р— лаГ. Подставив в вто уравнение второе начальное условие Е=О, ф=фм находим фс — — ~/Ес — и' С~ где — тл — а(п ф-момент силы тяжести стержня относительно горн2 зонтальной оси, проходящей через шарнир О. 4) Элементарная работа силы тяжести точечной массы ЬАа — М6Еа(пф Ыфж — МуЕф йр. Полная влементарная работа всех сил равна сумме четырех влементарных работ 202 !гл.
!(тгц. тисни малых двнжинин снстимы С,- г' й~ — ла Итак, уравнение движения системы (7) будет ф. е лг ='в!вайа-ла1. )' й~ — ла (8) )(ля определения максимального отклонения стержня вычислим ф: ф=* — е ы( — нв!пйаг+йасовйагй Фо й1 где й, )~йа-ла. Приравняв ф нулю, найдем время Гы при котором Имеем ф= — е-л' 1 — лв!пй,й,+й,совйг!!!=0. Фа й, Отсюда -«в!пй,г,+й,совйттт-О, или !вйг= ~ йт (!о) и, следовательно, й й ! й в!и йтг, — = —, гт = — агсв!и —.
1 т )'й',+л! й ' й~ й Внеся эти значения в (8), найдем и ьа — — агна -й<рн — е чч а, й Период колебаний системы равен йл г'йг — ла ' В случае л: й решение уравнения (4) будет ф = е л'(Сте + Сае ). (12) Лля определения произвольных постоянных интегрирования вычисляем производную от угла ф: ф--ле-е(стеРы-ы~+Сае-!" -а 1)+ +е '"(Ст)/ла — йает»'-"" — С ~и~ — йае-тг~*-"").
(13) Подставив в (12) и (13) начальные условия !=О, ф О, ф=фн по- лучаем два алгебраических уравнения для определения Са и Са О-С,+См фа= — л!Са+С)+С!)' л' — и' — С,7ла — йа, 2ОЗ СВОВОДНЫВ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ откуда находим с,= — с,= —. чв р'лт:Р' Движение, определяемое уравнением (12), является апериодическим затухающим движением. Второй способ.
Лнфференциальное уравненяе малых коле. баннй системы можно получить, применив вместо уравнений Лагранжа дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг непо. движной оси I,ф=М;. Заметим, что момент инерции равен У = — Р+МР, а главный момент внешних снл М, = — Мий1п ф — ти — а1п ф- ~)Рф — — а1п ф. в сР Лля малых колебаний положим приближенно а1п ф вчв ф. 1(ы получим дифференциальное уравнение движения .. Гвлп 1в ф1 — +МР1 — Мб1ф-шп — ф-1)Рф-с — ф ~з 2 2 которое естественно совпадает с (3).
Пальнейшее решение не отличается от нрнведенного в первом способе. В 3. Свободные колебання системы с одной степенью свободы. Восстанавливающая сила и обобщенный коэффициент жесткости В главе 71П второго тома втой книги было дано элементарное определение восстанавливающей силы и коэффициента жесткости. Вычисление коэффициента жесткости, определение восстанавливающей силы н составление дифференциальных уравнений движения в более сложных случаях рассматриваются в настоящем параграфе. Если точка или твердое тело, находится под действием нескольких у"ругах сил, то для определения обобщенного коэффициента мысленно сообщают точке илн твердому телу перемещение (линейное нли угловое).
Если восстанавливающая сила (нли момент) лннейно аависит от пеРемещения д, то коэффициент при р в выражении для восстанавливающей силы (или момента) навывается обобщенным коэффициентом 1гл. хт!и твоэия малых двнжвнни снстнмы жесткости, При этом приращение восстанавливающей силы и перемещение вычисляются в одном и том же направленнн. гак, например, пусть масса лч находится в равновесии под действием нескольких пружин различной жесткости (рис. 18.2).
))ля того чтобы вычнслнть обобщенный коэффициент жесткости в направлении х, следует мысленно дать перемещение точке лг в направлении л и вычислить сумму проекций всех упругих сил на направление л. Коэффициент при перемещении равен приведенному или обобщенному коэффициенту жесткости. Аналогично можно определить экРяс. 1В.2. вивалентный коэффициент жестко- сти в направлении х! (рис. 18.2). При этом следует различать определение приведенного коэффициента жесткости в двух случаях: а) прн малых перемещениях, б) при конечных перемещениях. Ь'.
Вычисление коэффициента жесткости при малых перемещениях. При малых перемещениях обобщенный коэффициент жесткости,определяется по формуле для л пружин, присоединенных к телу и направленных соответственно под углом а! к перемещению; здесь с,— коэффициент жесткости 1 пружины и равновесное положение точки имеет место при а!. Эта формула верна при малом перемещении точка иэ положения равновесия, если в положении равновесия иет предварительного натяга пружин.
При последовательном соединении л пружин, действующих в одном направлении, обобщенный коэффициент жесткости находится по формуле (2*) 1/г! ! ! причем эта формула верна и для малых и для конечных перемещений. После того кзк обобщенный коэффициент ягесткости найден, можно составить дифференциальное уравнение движения, определить частоту и период свободных колебаний. 266 СЕОВОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ЗЭ1 При решении задач .на вычисление обобщенного коэффициента жесткости прн малых перемещениях составленне дифференциальных уравнений движения, определение частоты и периода колебаний сле.
дует придерживаться следующей последовательности действий; 1) определить положение равновесия точки, находящейся под действием упругих сял; 2) дать точке малое перемещение в том направления, в котором требуется определить коэффициент жесткости; 3) вычислять проекции упругих сил, возникавших вследствие перемещенея точки, на направление перемещения; 4) найти обобщенный коэффициент жесткости, разделив полученную сумму проекций упругих сил на перемещенис точки; б) упростить полученный результат, отбросив величины выше первого порядка малости; 6) составить диффареициальное уравнение движення системы; 7) Определить частоту и период колебаний. Задача 18.12. К точке массы Ач прикренлена пружина жесткости с, второй конец которой закреплен в точке Ом Пря угле а =газ 0 л л К задача 18,12.
пружина длины 1, недеформирована. Определить обобщенный коэффициент жесткости пружины при малых перемещениях точки по оси т. Найти частоту малых колебаний точки, если вся система находится в горизонтальной плоскостн. Р е ш е н и е. Выберем положение равновесна точки за начало координат О,,Падям точке малое перемещение ОА=Л. Тогда пруя<ина будет образовывать с оеью с угол сс, а ее длина станет ь Модуль силы упругости найдется по формуле Р* с(У-Уз), Этз сала напРавлена от А к От (Рис. 6). ПРоекциЯ втой силы на направление перемещения равна Р, — с(1- 1з) сова. 0) твотня малых двнжиннн снстимы 1гл.
хвчп Перемещение ОА определится рзвенсввом ОА ж 1сови-1,сова,. Обобщенный коэффициент жесткости и направлении,» будет с(! — 1о) сов и с» (3) С другой стороны, нз рнс б следует .«сова+(осозба= 1. Но би- малая величина первого порядка малости, следовательно, можно приближенно принять совби льс1, совсс сов(и -би) ~ сов и„ откуда 1- 7о = х сов иэ Внеся это значение в равенство (3), находим сл= =ссоввио. сл сова ао х (6) Формула (1о) представляет собой обобщение полученного результата (6) на случай любого числа упругих связей, присоединенных к точке под равными углами. Составляем дифференциальное уравнение малых колебаний точки лай — ссовви, .т, или У+ —.т = О, с сова оо Частота колебаний равна в/ с й=совио ~/ — ° гл Период колебаний Т = — 2п/совио ~~ йя ° ~~я а 'у' с Задача 18.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
