1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 35
Текст из файла (страница 35)
228 твовия малых движииии систючы [гл. хтпг Е 6. Свободные колебания системы с двумя степенями свободы Рассмотрим малые колебания механической системы с двумя степенямв свободы, подчиненной голономным идеальным и стащюиарным связям. Обозначим обобщенные координаты, определяюшнеположение системы в пространстве, через дь оа. Кинетическая энергия такой сястемы будет однородной квадратичной формой обобщенных скоростей Т вЂ” [АиД+ 2Аы~и)а+ Аы4Ц. В этой формуле коэффициенты Ап, Ам, Аы являются функциями обобщенных координат.
Положение устойчивого равновесия, около которого происходят малые движеняя системы, примем за начало отсчета обобщенных координат. Следовательно, в положения равновесия все обобщенные координаты равны нулю. Раскладываем каждый ковффициент в р|ш Маклорена по степеням обобщенных координаг. Аь(й Ра)=Аь(0)+( — 'й) да+~ — ") да+." (2") Ограничяваясь в разложении первым слагаемым, так как обобщенные координаты и скорости считаются малыми велячинами, и обозначая для краткости постоянные ковффициенты А (О) (8*) находим окончательное выражение для кинетической энергии системы Т вЂ” (амд,'+ 2аыда~а+ аыД).
(ла) Величины ааь аы, аы называются инерционными козффнцвентами. Если система движется в потенциальном силовом поле, то потенциальная энергия системы может быть разложена по степеням обобщенных координат в ряд Маклорена П(д' ~-П(0)+(дП~ +~д — ")д+ +-1( — )'*+'~ )" +(и) 4+" "') Тзк как выбор начала отсчета потенциальной энергии произволен, то положим потенциальную внергию системы в положении равновесия равной нулю: П(0) =*О. (6*) В положении равновесия в нуль обращаются все обобщенные сялы; Я~= — — О, ддП Ф дз1 (7 ) своводныв коливанни снстимы и, следовательно, в разложении (бь) исчезают члены, содержащие обобщенные координаты в первой степени.
Тогда потенциальная энергия системы, совершающей малые движения около положения устойчивого равновесия, будет однородной квадратичной формой обобщенных координат: 1 П = — (сыуу,'+ 2сатд~да+ сыЯ, где для краткости постоянные коэффициенты обозначены (О') Коэффициенты с,ь свь сю называются квазиупругими коэффициентами. Внося полученные значения кинетической и потенциальной энергий в уравнения Лагранжа — ( — ) — — — — (! 1, 2), к ~ат! ат ап (10ь) и! ада! ) да~ дч! находим дифференциальные уравнения движения системы: аы!)а+вафа+спуд+стара=О, ( аытг + а,Да+ ездит+ сыта = О, ! в которых аю аьи сш=сы, Частное решение уравнений (!1ь) ищем в виде дд Ва!п(лг+а), ра=Ра!п(М+са), (12*) где В, Р, а †неизвестн постоянные.
)(ля их определения вносим значения (12ь) обобщенных координат в систему уравнений (11*) в сокращаем на общий множитель з!п(й!+а). Тогда полуЧаем В (сат — ваап) +Р (ста — йаа,а) = О, В (сы — йааы)+ Р (с„— йапю) О, (!3 ) Эта систеиа линейных однородных алгебраических уравнений всегда имеет тривиальное решение В =Р О, соответствующее равновесию системы. Система уравнений (!3в) может иметь другие, отличные от нуля решения, если определитель. системы будет равен нулях л( )- сы — аалто сш- йаааа ! (14ь) сш — !гааы, сю — лапы ~ Из уравнений (13ь) находится отношение амплитуд В сьа — а~ли йа — завы (1б ь !! си — Агам сы — я ааа' (б) Определитель (!4ь) выражает равенство отношений амплитуд, най- денных независимо из первого и второго уравнений (1Зь).
Следова- тельно, если условна (!3*) выполняются, то уравнения(13в) являются ъзо твогня малых двнжинни системы 1ГЛ. ХЧИГ аависимыми и иа них может быть определено только отношение амплитуд. Раскрыв определитель (14*) илн ив (1бч) находим уравнение частот, иначе называемое вековым уравнением: (аддадз — а'„) йд — (аддсдд+ аысм — 2сддад ) й'+(сддсда — с,' ) О. (16а) Исследуемые движения будут малыми и, следовательно, равновесие устойчиво, если корни этого уравнения положительны: Адд ) О, йдд ) О. Если же л, 'иля лдд отрицательны нли являются комплексными вели- чинами, то решение (12ь) будет включать гиперболические функции и движения около положения равновесия не будут малымн. Корни ад' и лдд бУдУт положительнымн пРи УдОвлетвоРении неРавЕнств адд ) О, ад,) О, аыа„— а',д ° О, (18*) г,д)0, сдд)0, смсю — с,'д)0.
Могут встретиться два особых случая. Первый случай, когда одно- временно Л (' — ") — (с„— —" а„) О, Л( — ") = — (сш — — аш) =О. (19ч) При этом обеим координатам соответствуют гармонические колеба- ния одинаковой частоты: (20*) Второй случай, когда сддсы — с,д — — О. д (21') дд = Вд з1п (лдг+ ад), дз = Рд з1п (Лдт+ ад), (22ч) а второе главное колебание-формулами д, = Вд з1п(Адг+ ая), д, Р, Шп (лз1+ аз).
(23*) Общее решение в силу линейности уравнений является суммой част. вых решеннй д; = Вд з1п Щ+ ад)+ Ва з1п Щ+адд (24ч) да Юд Шп (Ада+ ад)+ Р, з1п (А,г+ аа). (гб*) В атом случае один иа корней уравнения частот обращается в нуль. После того как найдены корни уравнения частот Ад и йь определяются главные колебания системы. Первое главное колебание опясывается уравнениями своводныв колввання снствмы Подставив в (15я) значения Аа и затем йм определяем отношения амплитуд: 8 сы — З'ам О вц — З',ап ' Тогда яд— - ~),Рт з1п(лД+иД+ ф~Ра а1п(ла1+аг), (27*) да = Р„а!и (Адт+аа)+ Раа1п(лат+аз).
(28Я) Произвольные постоянные интегрирования Р'„Ра, аь ма после этого находятся по начальным условиям движения. Наряду с уравнениями Лагранжа для составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы с двумя степенями своболы могут быть применены общие теоремы динамики. При решении задач на исследование малых колебанкй консервативной системы с двумя степенямн свободы рекомендуется следующий по,рядок дейст в и й. Первый способ — использование уравнений Лагранжа: 1) выбираем обобщенные координаты ра и д~ 2) составляем выражение кинетической энергии 7) 3) определяем потенциальную энергию системы П или вычисляем обобщенные силы; 4) внеся выражения 1 и П (или обобщенные силы) в уравнения Лагранжа, получаем систему двух дифференциальных уравнений малых колебаний; б) задавшись частным решением этой системы, подставляем частное решение в систему дифференциальных уравнений движения; 6) исключив из полученной системы алгебраических уравнений амплитуды колебаний, находим уравнение частот; 7) решив уравнение частот, определяем собственные частоты системы; 8) внеся найденные частоты в частное решение, получаем формулы, описывающие два главных колебания; 9) сложив уравнения главных колебаний для каждой обобщенной координаты, находим общее решение; 10) определяем четыре произвольные постояняые из начальных условяй движения.
Второй способ-испольаоваиие общих теорем динамикю 1) исходя ив условий задачя, выбираем путь составления дифференциальных уравнений-основное уравнение динамики или какую- либо из общих теорем динамики; 2) применив набранную теорему, составляем дифференциальные уравнения малых колебаний системы; 1гл, зтпг ТЕОРИЙ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ 3) задавшись частными решениями системы, вносим зтн частные решейия в систему дифференциальных уравнений; 4) решив полученную систему уравнений, находим уравнение частот, иа которого определяем собственные частоты системы; 5) внеся найденные частоты в частное решение, находим уравнения главных колебаний; 6) складывая уравнения главных колебаний для каждой обобщенной координаты, находим общее решение системы; 7) воспользовавшись начальными условиями движения, определяем произвольные постоянные интегрирования, Задача 18.28.
На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежат два тела, массы которых тд и та. Первое тело прикреплено к стене пружиной, ковффипиент жесткости которой равен см Второе К задаче 18.23. тело присоединено к первому пружиной, козффипиент жесткости которой сз (рнс. а). Определить уравнения движения системы, если в положении, когда обе пружины не растянуты, второму телу сообщили скорость пь Найти собственные частоты сястемы. Решение.
Система имеет две степени свободы. Ве положение может быть определено двуми обобщенными координатами. Первая обобщенная координата па определяет перемещение первого тела от начального положения, вторая обобщенная координата рз измеряет перемещение второго тела от его начального положения (рис. а). Применим уравнения Лагранжа для составления дифференпиальных уравнений малых колебаний системы. Находим выражение кинетической знергии системы т="~~+Ж, 2 2 Потенциальная знергия системы складывается нз потендиальных знергий двух-пружин: (2) так как дт является удлинением первой пружины, а (ва-тт) — удлинением второй пружины, Переходим к составлению дифференпиальных уравнений Лагранжа -( — )----— д дТ дТ дП 2ЗЗ своводныв колевлння системы где 4 = 1, 2, так как система имеет две степени свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
