1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Поскольку дТ И lдТ1 — — ~ — )-~т(1„ ддв ' вг ~д~)в ) дП дсв = стфв св (тв — тв) то первое дифференпнальное уравнение движения системы принимает вид лвДт — стев+ св(св — пв). (б) Так как дТ д !дТ'~ дТ дд,= — =шв)„~- ~ — ~=лввд„— О, гедд)эд дП б — — — св (св — ет), (6) то второе дифференпиальное уравнение движения аапяшется так: швЦ = — тв(рв — рв) (7) Вдвтт — Всв+с,(0 — В)=0, ~ с)двшв — св(() — В)=0. ) (9) В этих двух уравнениях три неизвестных В, 0 и А.
Иа них опреде- ляется отношение амплитуд; ив первого уравнения находим В св 0 с,+с,— льаю иа второго уравнения В св — льав 0 св (10) (11) Приравняв правые часта двух последних равенств, находим уравнение частот св+са лгФ са св с,— сьев ' откуда получаем ~лвв ачв / лвф3в (13) Таким образом, получена система двух дифференкиальных уравнений движения (б) н (7).
С мелью нахождения общего интеграла втой системы линейных однородных дифференпнальных уравнений с постоянными коэффициентами будем искать частные решения в виде рд —— Вв(п(лг+а), дв=0ввп(лг+а). Для этого внесем вначения (8) в уравнения (б) и (7), Сократив на общий множитель в1п(да+а), находим 234 тао ня малых движении снстямы !гл. хчддд Из этого биквадратного уравнения определяются собственные частоты системы йд,е.
)/ 05~ — '+ — '')~~/ 026~ — '+ — '') — с''. (14) Таким образом, существуют две вещественные частоты йд и йд. Ввиду линейности системы уравнений (6) и (7) общий интеграл может быть найден как сумма двух частных решений (8) с различнымн частотамн, амплитудами и начальными фазами; Рд=Вда!п(йд1+ад)+Вез!п(йат+ад), '( дд = Рд а!п (йдт+ ад)+ Рд е!и (йеГ+ ае), ) (15) где Рд=Вде1п(й,!+а~), ее=0, а1п(й,!+а,) (16) описывают первое главное колебание сястемы, а дд — Вдз1п(йет+ие), оз Раз!и(йег+ае) (и) (20) — второе главное колебание.
С другой стороны, отношение амплитуд в первом главном коле- банни находится из (10) подстановкой й йд: в 0~ сд+се — лдда) Аналогично получаем для второго главного колебания В и сд р (1 9) Р, сд+се — о дйдд где обозначения ~ь !)з введены для краткости записи. Следовательно, общее решение (16) принимает вид од= 1)дед е1п (йг+ ад)+ !)дРа а1п (йдт+ад), оа О, е1п (йд(+ ад)+ Од е!п(йдг+ аз). Произвольные постоянные Р„Ре, ад, а, определяются по начальным условиям движения. Согласно условиям задачи при 1=*0 о; О, 1)д *О, од=О, 1)е =пи Внеся эти значение переменных в уравнения (20), находим рдРд е!и ад+ реРа е1п ад О, Рд е)п ад+ Рз е!п ая — — О, ~ (22) РдРдйд сова,+ ФеРайе совая=О, Р,йд сов а,+ Рай,совая оьд откуда определяются все произвольные постоянные интегрирования; ад*-а =О, т.
е. начальные фазы обоих главных колебаний равны нулю, з амплнтудм главных колебаняй будут Р,= ~,0,= йд (Рд Вд) ' "а (Рд — Рд) (28) 235 выникдинныз колзилння снотимы В 6. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы под действием сипусондальных воэмущаюшях сил Если на систему действуют внешние возмущающие силы з течение всего процесса колебаний, то возникают сложные колебания, являющиеся результатом наложения вмнужденных и свободных колебаний системы.
Дифференциальные уравнения движения системы могут быть составлены применением уравнений Лагранжа д ~дТ дТ дП дг ~ з,~ й~,= з), -!'р-'1- — = — — +О (г) (1е) где о,— обобщенные координаты системы, Т вЂ” кинетнческая энергия системы, П-потенциальная энергия, О!(Г) — возмущающие силы. Если система имеет две степени свободы, то 1=1, 2. для случая двух степеней свободы подстановка Т и П в уравнения (1я) приводит к системе дифференциальных уравнений ануа+ ануя+ сцЧт+ сааза = Нг я!и (р!+ б), (2) и 1!а+оая7а+смэт+сазов =Н а!п(ре+б), где возмущающие силы Я,(!) взяты изменяющимися по синусоидальному закону (часто встречающийся случай, рассмотрением которого мы ограничимся ввиду значительного практического значения): Яа(Ф) = Нт а1п (р1+ Ь), ()а (!) = Ня а!п (р!+ б).
(3*) Общее решение системы (2ь) дифференциальных уравнений складывается яв общего решенмя однородной системы уравнений и частного решения неоднородной системы. Общее решение однородной Движение системы, согласно (20), представляет наложение двух гармонических колебаний с рааныин частотами. Для составленмя дифференциальных уравнений движения можно применить и другой способ, испольаоваз основной закон динамики.
Рассмотрим пронввольное положение системы, определяемое обобщенными координатами ~уь уя (рис. б). Тогда, воспольаозавшясь уравнением динамики материальной точки и учитывая упругие силы пружин, составляем дифференциальные уравнения движения каждого груза: лгут —— ся (ра - рг) - с,см лгДя = — са Ыя - да). (24) Эти уравнения идентичны уравнениям (б) и (7), полученным при помощи уравнений Лагранжа. Примененве основного закона динамики ведет в данной задаче быстрее и проще к сосуавлению дифференциальных уравнений движения, однако первый путь — использование уравнений Лагранжа з обобщенных координатах является более общим методом.
236 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ~гл. хупг (сы-Раап)0,+(сы-Раааа)0а Н„, 1 (сы — раазг)0,+(саа-раа а)0 =Ни )' (В*) отКУда опРеделаютсЯ неизвестные 0ь 0ь Определитель втой системы обращается в нуль, (сы — раап) (саа — раааа) — (с„— ранта)а = О, (6*) при резонансе, когда р К, или р=лз. В втоц случае частное ре. шенне системы не может быть найдено в форме (4Р). Дифференциальные уравнения движения системы могут быть также составлены с помощью общих теорем динамики. При решении задач на определение вынужденных колебаний рекомендуется следующая последовательность действий.
Первый способ †использован уравнений Лагранжа: 1) выбираем обобщенные координаты и составляем выражение кинетической внергии системы; 2) находим выражение потенциальной энергии нли вычисляем обобщенные силы; 3) составляем дифференциальные уравнения движения системы, внеся значения кинетической и потенциальной внергий (или обобщенных снл) в уравнения Лагранжа; 4) ищем частные решения двфференциальных уравнений движения системы и находим значения амплитуд обобщенных координат; б) приравняв нулю знаменатель в выражениях амплитуд, находим значения частот возмущающей силы, при которых воаникает резонанс.
Второй способ †применен общих теорем динамики: после выбора обобщенных координат системы непосредственно составляют дифференциальные уравнения движения, исходя нз избранных теорем динамики. Дальнейший ход решения тот же, что и грн первом способе. Задача 18.24. В измерительном приборе блок массы ш может геремещаться по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Он соединен пружиной, ковффициент жесткости которой равен с, с концом однородного стержня длиной ОА =) и массы М.
Стержень системы представляет ранее рассмотренные свободные колебания и находится согласно методам, приведенным в $ б этой главы. Повтому мы остановимся на определении частного решения втой системы, представляющего вынужденные колебания системы. Частное решение ищем в виде «д 0,а!п(р1+В), «я=0аз1п(р8+В). (4*) Внеся вти значения в уравнения (2*), приходим к системе алгебраических уравнений вынужденные колеианнй системы вторим концом закреплен шарнирно.
Центр тяжести стержня находится на расстоянии ОС=и от шарнира. Определить вынужденные колебания блока, если на него действует горяаоитальная сила Р=Реа1пыд При какид значениях й в колебаниях блока наступит резонанс. К задаче 1В.24, Решение. Система имеет дае степени свободы. йе положение можно определить двумя координатами: углом поворота стержня <р, который будем отсчитывать от вертикали, н координатой блока х, которую будем отсчетывать от равновесного положения блока прв вертикальном положении стержня (очевидно, что при атом пружина не деформирована).
На блок действует реакция пружины н возмущающая сила. А(ифференцнальное уравнение прямолинейного двихтения блока будет (рис.а) тУ вЂ” с(х — Х ф)+Рея1пыт, (1) где (х — Ьр) — удлинение пружины при малых углах отклонения стержня Лля составления дифференциального уравнения вращения стержня (рис. б) заметим, что момент силы тяжести относительно гориаонталы ной оси, проходящей через точку О, равен — Млп я1 и ~р нм — Миф. Момент реакции пружины относительно той же оси равен Фсоа<ржс(х — Ьр)(. Здесь для малых углов поворота принято соафям1, Тогда дифференциальное уравнение малых колебаний стержня будет Уф= — Меа<р+с(х — 1ф) ь (2) Перепишем дифференциальные уравнениа (1) и (2) в ввде шУ+ах- сЬР=*Ре я1п ззг, !ф+(Мйа+ сР) ф -с(х О.
238 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ !гл. хчггг Тогда У = — Агав в1п га1, ф =* — Выа з!п га!. Подставив вти значения переменных и их вторых производных в сис- тему (3), сократив затем на з!ига!, находим систему алгебраических уравнений для определения А и В (с — тыа) А- с1В Рд,~ -с!А+(с!а+Мда-!ыа)В=О. 1' (б) Отсюда определяем Ра с! (6) т. е, амплитуду вынужденных колебаний блока. Внеся вто значение А в первое иа уравнений (4), находим вынужденные колебания блока Ра (ам+ Мйа — !ма) т!ая — (а! + та!я+ тМяа) и'+ еМла (7) Координата х, определяющая колебания блока, неограниченно возрастает, когда анаменатель в правой части последнего равенства обратится в нуль: т!гаа- (с!+ лг с!4+ т Мйа) из+ сМда = О. Отсюда находим резонансное значение ах с1-~-тсгяЧ-тМда ч- (а +тср+аийда ' — 4гтМ!Еа 2т1 Иа четырех значений ы два отрипательных значения не вмеют смысла Таким образом, согласно (8), существуют два резонансных значения ы. Задача 18.28.
Груз Ра (рис. а) подвешен к неподвижной точке А при помощи пружины, ковффнпиент жесткости которой сы К грузу Рт приложена вертикальная возмущающая сала О= б)ая!пю!. Груз Р являющийся виброгасителем, подвешен к грузу Рт при помощи пружины с коэф)Рипиентом жесткости сз. Пренебрегая массамн пружин, определить ковффидиент жесткости са и вес второго груза Ра, прй Общее решение системы складывается из общего решения однородной системы уравнений и частного решения неоднородной системы. Так как, согласно условию, требуется определить вынужденные колебзння блока, то будем яскать только частное решение неоднородной систеиы, определяющее искомые колебаник Честное решение ищем, положив х =Аа)пюг, ф=Вз!пю!.
(4) Выйуждйнныи колйвяннй сйстзмй 239 которых амплитуда вынужденных колебаний первого груза будет равна нулю. Решение. Выберем положение равновесия груаов за начало отсчета (рис. 6). Система имеет две степени свободы.
За обобщенные координаты принимаем отклонение первого груза от положения равновесия х, и смешение второго груза от своего положения равновесия хя. Тогда к первому грузу будут приложены трн силы: упругая сила верхней пружины Рт — сахн (1) сю упругая сила нижней пружины Ра - са (хе - хт) (2) возмущающая сила (с = Яе з1п ыд (3) а) Ко второму грузу приложена одна сила: упругая сила нижней пружины Ре = — сз (ха — хД. (4) К задаче 18.25, Составляем дифференциальные уравнения движения грузов — х1~ саха+се(ха ха)+Яез1пы1> К (б) — 'Уе — сз(хз- х1).
У (6) Частное решение этой системы, определяющее вынужденные колебания грузов, ищем в виде х1=0аз1пыг, хя=0ззШЫ. (7) Подставив значения переменных (7) в уравнения (б) и (6), находим ( са+с,— — ы)0,-са0з О, — сз0,+(са- — ы ~0а О. (8) Рт l ~ Ре а а Иа этих уравнений определяются величины амплитуд вынужденных колебаний (" Р™) (9) е:. (19) 240 тиоэня малых движинии снстимы 1гл. ханш Согласно уравнению (9) амплитуда вынужденных колебаний первого груза обращается в нуль, если выбрать коэффициент жесткости второй пружины са и вес Р, так, чтобы с — — 'вР О. а (11) Таким образом, пря ваданной частоте возмущающей силы м можно всегда подобрать коэффициент жесткости добавочной пружины и вес второго грува так, чтобы погасить вынужденные колебания первого грува.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
