1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Если возмущающая сила была бы задана в виде г'сов в1, то вместо (17*) мы имели бы гч соз вт = йе )ч, (17'з) а вместо (19з) ж (1) Ке Х = Хсоз (вз — 9). (19'з) Все остальное остается без изменения. Трехчлен с+1ав — швз, стоящий в знаменателе ныраження(21з), называется полным и.нпедаисом рассмотренной колебательной снстемы, а велнчнны ( — глвз), 1ав и с-плгиедаисалш элементов массы,демпфнровання и упругости. Таким образом, нмпеданс злемента упругостн равен упругой постоянной этого элемента, нмпеданс влемента демпфнровання равен коэффнпненту затухання, умноженному на 1в, а ямпеданс элемента кассы равен массе, умноженной на ( — вз).
Полный механический нмпеданс (полное механическое сопротнвленне) системы равен сумме нмпедансов ее элементов, Заметам, что размерность механического нмпеданса определяется как сила, деленная на перемещение. В электротехнике нспользуется аналогнчное понятие электрнческого нмпеданса. Задача 18.29, Уравнение движении снстепы, показанной на рнс, п, имеет внд лай+ сФ+ сж = Р з1п вг. Рассматривая на основании прннпнпа Даламбера это уравнение как уравненне равновесия снл, представить этн силы в виде вращаюшнхся векторов. Определить положение векторов, когдю 1) масса лг двнжется вннз и находятся ниже положения статического равновесия О; 2) масса и двнжется вверх, но находятся ниже точкн статического равновесия О; 3) масса лг движется вверх и находятся выше точки статического равновесия О; 4) масса лз движется вннз, но находится выше точки статического равновесия О, Показать графнческн, что уравнение (1) удовлетворяется во всех этнх случаях, прнняв лз 10 «а; а= 300 н сеи7лг, с 500 и(м; гч ~ 50 и; в= 2 рад(тек.
Решение. Прн построении векторных днщрамм нам понадобятся велнчнны амплнтуды перемещения Х 0 фазового угла р. Для теояия малых движении системы !гл хчш их вычисления воспользуемся непосредственно формулами (22*) н (23*). Имеем Х— Р 50 ~ъ:0,066 и, 1' (с — ммч)ч+(ссв)ч Р (500-1О ° 2ч)ч+(300 . 2)Я ~р = агс13 — = агс)я 2, =э 0,916 рад ин 52'30'. ЯОЭ 500 ° 2 с тоР 500 — 1О ° 2Я На рнс. 6 представлены векторы перемегцеиня Х, скорости йоХ и ускорения ( — АХ) для четырех состояний массы е, указанных в усло- нии задачи. Пействнтельно, в случае 1), например, перемещение и ско- рость массы положительны, так как они направлены вниз, з ускоре- ние отрицательно, так как направлено вверх, Поскольку в данной яадаче х=1щХ, х=!т[йоХ] н У=!щ[-юаХ), то рис. бполностью соответствует этому состоянию системы.
Точно тзк же можно убе- диться в соответствии рис. в, г и д состояниям 2), 3) н 4). При построении силовых диаграмм надо учесть следующее. Упру- гая (восстанавливающая) сила сх пропорциональна перемещению х и всегда противоположна ему по знаку. Йемпфирующая сила сгхпро- порциональна скорости и направлена в противоположную сторону. Р)аконец, инерционная сила еУ пропорциональна ускорению и, опять- таки, противоположна ему по направлению. Поэтому векторы, соот- ветствующие этим трем силам, будут равны( — сХ),( — 1ссгзХ) и еюЯХ. Нетрудно вычислить нх длины: ! — сХ(=сХ=500 ° 0,066=33 и, ] — ахгаХ(=сггзХ=300 2.0066 — 396 и, ] еозаХ ! = еюзХ = 10 2' 0,066 = 2,64 и.
Пользуясь втими данными и кинемзтнческимн диаграммами на ряс. 6, в, г и д, строим силовые диаграммы для всех четырех состояния системы: рис. е, ж, з, и. Поскольку четыре силы, представленные на каждой диаграмме, находятся в равновесии, их векторная сумма равна нулю, т. е. опи должны составлять замкнутый многоугольник. Такой многоугольник достаточно построить только один, ввиду того, что диагрзммы на рнс е, згс, з, и отличаются одна от другой только углом поворота относительно координатных осей. На рис, л построен силовой многоугольник для момента времени 1= ~р/гз, так что Ы вЂ” ~р О. В любой другой момент времени этот многоугольник будет повернут относительно начала координат на некоторыя угол, как твердое целое. Из рисунка видно, что силовой многоугольник замкнутып, поэтому уравнение (1) удовлетворяется во всех указанных в условии задачи случаях.
Задача 18.30. ))зижение колебательной системы описывается уравнением еЛ! + сг,.Ф+ сх = Р соя (ю! + у), метод механического импедансА Гег гвФ+т) Рсоа(гаг+ч) = ре р. Очевидно, что Комплексное перемещение запишем с учетом равенства частот и отставання по фазе в виде Х=Хе'<в+т-Ш = Хе'Гаги~, где Х Хе~в-комплексная амплитуда перемещення, Комплексная скорость равна И ш — = йоХе г~+"~ а комплексное ускорение равно — (Гга)я Хег(ш+ тг = ыяХег гвг+ тг, ячХ лтя Подставляя в уравнение (1), вместо действительных возмущающей силы, перемещения, сиоростн н ускоренна, соотзетствующне комплексные велнчнны, получим ( щва+1агя+с)Хяг(и!+7)=Ге4нн+тг.
Сократив на агг"'+т~, найдем Х Хе гв Р г — еа'+гам ' Из последнего соотношения определяем амплитуду установившихся колебаний Х=]Х~ (3) $"Р -~'Фт )' и отставание по фие ~р - — аге Х = агс(а —, (4) (сравннть с формуламн (22я) н (23*)). Учтя соотношение (2), запншем уравнение установившегося движения системы в вехе .Е(т) ° ке Х Хсоа(гат+р-у), где Х и ~р определяются равенствами (3) н (4). .й М.Н;В ааа.,т.Ш Определить установившееся движение системы методом механического импеданса. Р е ш е н не. Вместо действительной возмущающей силы Рсоа(гят+у) введем комплексную 1гл. хтгм Задача 16З1.
Машина весом 225 и смонтирована иа пружинах и демпферах, как показано на рисунке. Общая жесткость пружин равна 17 559 и/м. Общий коэффициент затухания 350 и сеи/м. Точка О соответствует положению статического равновесия. Определить методом механического нм- педанса установившуюся реакпию системы, ш если к машине приложена возмущающая сила 88 соа 35/ и.
2 Решение. По условию задачи имеем т ка1 23 и/, а=360 исеи/и, 225 К задаче И.31. с 17650 и/м; Р=88 и, ю 35 рад/сех. Подсчитываем полный механический нмпеданс системьп с - теа+ /сгю = 17 560- 23 ° 35з+1 350. 35 — 10 620-+112 250 = и ив гт0620 -~-12ИО . 16100 Согласно уравнению (21*) комплексная амплитуда перемещения равна Х, — — -л =з —,7* 0,00543еззы'= Хе 'ч. с — тсФ+ имз Отсюда сразу следует, что действительная амплитуда колебаний равна Х=0,00543 м=6,43 мм, а фазовый угол равен — 0,855 рад — 40'. Поскольку возмущающая сила косинусоидальная, то и перемещение записываем в виде х (Г) = Х соз (гзФ - ~р) или окончательно х (г) = 0 00543 соя(36г'+ 0 855) и. Задача 16.32.
Составить уравнение движения для системы, показанной на рис. а, и определить установившееся движение этой системы методом механического импеданса Решение. На рис. б и з покаааны силовые схемы для массы т и демпфера и соответственно. На основании первой схемы пишем уравнение движения массы ат т/7+а(зд-здз)+сх+ст(х-х ) О, метод ыюаимчвского ммпидэнса 25$ Хгз(а ые ад ге хг) й ег1х-х,) е,хг а — Я:='а Фгх-хг) К задаче !8.82. и редкие полученное таким образом уравнение относительно хв Имеем лгх+сях +(с+сд) х=сдХдз1п ве, откуда х,= — [едХдз1пвг-лдр-(е+сд) х1.
1 (3) Продяффереицировав равенство (3) по времени и подставив результат в (1), получим эгУ+ссб — ~ (вс Хд соя вг — т)е-(с+ ед) Я)+(е + е) х = едХд я!п вг ед или после несложных преобразовании х+ — *У+' — ' — ~ге+ — 'х= — 'Хдсозвг+ д Хдз)пвг, (4) и дд пад яд паг Таким образом, движение рассматриваемой системы описывается системои уравнении (1) и (2) или одним уравнением третьего порядка (4). Правая часть уравнеивя (4) имеет вид Асоэвг+Вз(нвг и может быть, как известно, записана в виде одной гармонической фуикпив А соззде+В з1пой =Саид(ау+а), подставив вместо хд заданное сииусоидальиое перемендение, получим вдУ+в(У-гаа)+(с+сд)х сдХдздпэдт.
(1) Демпфер а н пружниа ся соединены последовательно. Поэтому демпфкруюпдая сила равна силе натяжения пружины, т. е. в (ге — ге ) асах . Р) Можно исключить из этих уравнений координату демпфера хэ подставив в уравнение (1) вместо. а(ге -.Еа) его значение, ваятое из (2), ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ 1гл. Хтш где С ~' А~+Во - амплитуда, а а агс1Е (А/В) — фааовый угол. Переписав правую часть уравнения (4) в виде одной гармонической функцив, можно пряменить к этому уравнению метод механического импеданса для нахождения установившейся реакции системы.
Можно, однако, поступить и иначе-применить матод механического импеданса непосредственно к уравнению (4) дважды„каждый рае оставляя в правой части одно ив двух стоящих там слагаемых. Поскольку уравнение (4) ленейное, то сумма найденных таким обрааом решений даст на основании принципа суперпоаиции (принципа наложения решений) искомую установившуюся реакцию системы.
Существует еще и третий путь, в данном случае наиболее удобный. Его мы и будем придерживатьс»ь Применим матод механического импеданса прямо к системе уравнений (1) и (2). Йля этого введем комплексное воамущение стХте"", а соответствующие комплексные перемещения аапншем в виде Хенн е Хае»е~, где Х и Уа — комплексные амплитуды.
Подставив эти величины в уравнения (1) и (2), получим после сокращения на енм систему двух линейных алгебраиче; скнх уравнений относительно ненавестных Х и Хв а именно — гвваХ+ йоа (Х- Ха) + (с+ с,) Х етХм йва (Х вЂ” Х,) сьХМ илн (с+ са — лмаа+ йсв) Х вЂ” 1авХа = саХь — йхвХ+ (са — йиа) Ха = О, Полученную систему уравнений решаем с помощью теоремы Крамера. Находим определитель системы Ь=(с+с,-л»ва+йио)(е +1ав)+авва, нли после упрощений Ь - с,(с+ с, — лава)+ 1ав (е+ с, + са -лгва).
Определители для неизвестных Х и Х, равны ЬХ вЂ” етХА (со + 1ав), Ьу = 1австХм » Следовательно, Х а с»Х» (с»+ Гав) »» е»(с+с» — л»в»)+»мв(с+с»4-с» — тв») ' »»вЂ” Х, л 1авс»Х» д,с»(с+еа — ае»)+ 1ав(с+с»+е» вЂ” е»в») ' Ив двух последних уравнений можно найти действительные амплитуды Х н Ха и фааовые углы »р н »р учитывая, что Х=Хе 'в н Х =Хае гв».
28! ыатод мвханичвского иыпвданса Формулы для этих величин приводить не будем ввиду нх громоадкостя. Зная действительные амплитуды и фааовые углы для обеих координат системы и помня, что воамущение сннусондально, вапнсываем установившаеся реакции системы в виде .е=Ха1п(ат-ф), ха== Хая!и (аг — фа). Задача 18.33. На горнвонтально натянутой невесомой струне (см, рис а) закреплены две массы ша и шя, к первой нв которых приложено вертикальное синусоидальное вовмушение Р а!и ыс Составить уравнение малмх колебаний системы, считая натяжение Ю струны К аадаче !З.ЗЗ. постоянным, н определить установившееся движение методом меха-- нического иипеданса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
