1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Значения Е Е 1., получены в предыдущей задаче. Так кзк, согласно условию, вал вращается вокруг оси симметрии с постоянной угловой скоростью й, то 1.„ = Аю ='сопз1. Проекции главного момента колачеств движения (кинетического момента) нз неподвижные оси у, « равны Ь„= Аоф-(В+ М4)у, Е =Аюу+(В+М11)11, (1) (й) где (рнс. 6) смещенное произвольное положение вала вполне опре« деляется координатами у, « правой опоры вала. Действительно, малые углы у и р, образованные смещенной осью вала с неподвижными координатными плоскостями »у и х», с точностью до малмх величин первого порядка малости равны (4) Координаты центра тяжестя ус, «с также могут быть выражены через у, ж Ус Ут» гз (5) (6) Выражение (В+М1,') представляет в (1) и (2), согласно теореме Штейнера, момент инерции вала относительно любой оси, перпендн- влиянии гигоскопнчиских сил кулярной оси вала и проходящей черен шарнир О.
Так иак отклонения вала отсиитыааются от положения статического равновесия, где вес вала уравновешен реакциями шарнирной и упругой опор, то проекции главного момента внешних спл на неподвижные осн координат равны ~ л!» (Ра) с»Ф, а ! ~ лг,(г.а) = — су(, а ! (7) (8) где проекции реакции упругой опоры равны Ру.ю сук Р,' — с». (О) (10) Подставив в уравненяе (1а) вначения проекций кинетического момента (1) и (2) и проещшй главного момента внешних снл (7) и (8), освободившись далее от углов () я 7 при помощи формул (3) и (4), получим дифференциальные уравнения свободных малых колебаний вала около.
положения статического равновесна (В+МР!)й-Аыр+сР» О, ~ (В+МР!)Р+Аю»+»Ру О. / Здесь -Аыу и +Аа»-гироскопические члены. Решение втой системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ищем в виде у = а соа(рг+а), » Ьз!и (р1-~-а). (12) Подставив ати значения переменных и пх проиаводиых в уравнения (11), сократив аатем ураанеяия соответственно на згп(р»+с!) и соа(рг+сс), получим систему алгебраических уравнений для определенна постоянных Авр а+(сР-(В+МфрЧ Ь О,) (»Р — (В+МР!)ра) в+Аыр Ь=О.
) (13) Система (13) имеет нетривиальное решение, когда определитель равен нулю. Отсюда получаем частотное уравнение Ааыара-(сР-(В-(-МР!)ра]а* О. (14) Корни етого уравнения определяют собственные частоты малых колебаний вала. Если подставить вти корни в уравнения (13), то можно найти отношение амплитуд колебаний а1Ь. Проще всего найтв корни 1гл. хчгп уравнения частот (И) слккуюпппз образом. Сложив к вычтя равачь- сгва (13), найдем (сР - (В+ ИЦ) рз+ Асар) (а+ Ь) О„ (1 5) [сР- (В+Мфр'- Аюр) (а-Ь) О. Отсюда следует, что существует два тяпа глазных, нлв нормальных колебаний вала, Частоты первого главного колебания определяются нз уравнения (В+ Мф ра — Авр — сР =* О. Решив это квадратное уравнение, находим первые две собственные частоты (16) 2 (В+М1В Тзк как значения частот (16) не обращзяп в нуль первый сомножвтель во втором уравненнн (15), то вм соответствует равенство а-б=О, нлв а=Ь.
(17) Частоты второго главного колебания находятся на уравнения (В +-Мф ра + Аюр — сР = О, (18) откуда — А - В"А%~~. Ю [В.~.Мч 2 (В+Ы11) (19) Значения частот (19) не обращают в нуль первый сомножитель в первом нв уравнений (16). Следовательно, нм соответствует равенство а+Ь=О„нлн а= — Ь. (20) Заметна, что (21) заключаем, что существует два типа главных колебаний вала. Пер- вый тнп главных колебаний описывается формуламн у = аз з1п (ргс+ аг), л = ассов(ртг+оД.
(22) Второй тип главных колебаннй овределяется выражениями у = аз з1п(ряс+аз), л = — ассов(р,с+аз). (23) Прн главных колебаниях первого тапа точка А будет описывать окружность вокруг пемтрЖ расповожемноге на осм .к. Лвнжевне точка А прв втом совпадает по направленкю с собственным вржкемнеы тела Зто двнхшмме нзвывакж правой регулярной препессйгиь Прп втором типе главных колебаний точка А описывает окружность вокруг нентра, нэходждегося на осм .к, в направлении, обри ном собственному вращению вала. Такое движение называют обратной преиессвей. Общее решение дифференкиальных уравнений, определяющих свободные колебания вала, складывается иэ двух главных колебаний у ага!п(ргГ+аД+а,з1п(рьг+и,), ( л = аг сов(ргГ+ ад- аа сов (раГ+ аа), ) (24) ЧетыРе пРоиавольнмх постоанных интегРиРованна ай, а„аь пч находятся по начальным условиям движения-значениям у, л, 9, л при г=О. Если положить в уравнении (14) угловую скорость собственного вращения вала ю равной нулю, то уравнение (В+Мфра-еР=О (25) определит собственную частоту невращающегося вала Рэ — аг у~дгй.
Сравнив положительные эначення собственных частот вращающегося вала со аначением собственной частоты неврашаюв(егося вала, на- ходим, что они располагаются в следующем порядке: Рг~+ро)рэ Нак покаэмвает проведенное исследование, учет действия гироскопических сил приводит к удвоению числа собственных частот. С увеличением угловоМ скорости вала аначения частот рт и ра все больше я больше отличаются от величины ра (рис. э).
Заметим, что отрвпательные вначения корней частотных уравнений ра, ра приводят к решениям, линейно вавясимым от выше найденных, н, такям обраэом, не вносят ничего нового. 2'. Влияние вязкого трения н гироскопических с нл на свободные колебания твердого тела. В п. 1' этого параграфа было рассмотрено влияние гироскопических сял на свободные колебания системы с двуми степенями свободы.
При этом не учитывались диссипативные силы, которые в виде иявкого сопро« тявления среды, сухого трения и внутреннего тренин в материале всегда сопутствуют движению. Ив всех равновидностей днссипативяых сил, учитывая аначительное распространение этих сил в технике, мы рассмотрим в этом пункте только силы вязкого трения. В добавление к тому, что было скаазно в п. 1' относительно составления дяфференпиальных уравнений малых колебаний системы, оледует учесть прн составлении главного момента внешнях сил и теОРия малых дВижении системы момент сил вязкого трении Эти силы считают пропорциональными первой степени скорости и направленными прямо противоположно скорости. Покажем, как учитывается влияние вязкого трения на примере решения задачи о малых колебаниях вала.
Задача 1З.И. В условиях задачи 18.36 определить малые колебания вала, полагая, что силы вязкого трения создают моменты: л относительно оси у равный ~+ )-2) и относительно оси з равный —.у-Я), где и-некоторый постоянный коэффициент. Решение. Согласно теореме об изменении главного момента количеств движения вала относительно осей у, з имеем л г [Аоф -(В+ МР) у) = сз1+ —,й, — (Аау+ (В+ М1',) )Ц * — су1 — — 3.
Для интегрирования этой системы дифференциальных уравнений введем комплексную переменную Х з+1у. Умножив второе уравнение (2) на 1 и сложив его с первым уравнением (2), получим (В+ МРг) Л+(и+ 1Аа) 2, + сРХ О. (2) Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его интегрирования составляем характеристическое уравнение (В+ М1,') з'+(и+ 1Аа) з+ сР = О (4) и находим его корни — (л~-ГАа ч. )Г(л+ГАа)а — 4(Е+ !,! сР гьв 2 (е+м11) Сокращенно эти корни могут быть записаны в виде (б) — (л+!Аа) ж 1' аг4.1аг 2 (в+ М11) (е) где ва ла-Аааа — 4(В+МРг) сР, ба= 2ЕАа.
Внеся в эти уравнения значения р и. у, полученные в предыдущей азиаче, получаем дифференциальные уравнения малых колебаний вала в виде (В+ МР) 2 — АаР+ л2+ сР» = О, (В+МРг)Я+Аа2+ЕР+сРу О, (2) 272 Влиянии гиаоскопичзскнх сил Согласно формуле йуззрз для дробного покзззтеля можно определить два значения )/п~-~-Ф~.' )/а~+В~ '+ )/р (соз 2 +1з!пф), (7) где р=)1ав-(-Ввв — — Япв — Азово-4(В+МРв)сР)в+ 4пвАвовв, Ьв 2пАа ав лв — вив — 4 (В +М1-",)сп ' Таким образом, можно представить У ав-)-1Ьв и,+1Ьв = = 1Ь' [п — Азово- 4 (В+ МР) сР)'+ 4пвАвев+ гР- АвоР— 1 — 4 (В+ ЛЯ ) сР)' 1в += ()/(пв — Авав — 4 (В+ М!в) сР) в+ 4 по Авювв 'г' 2 — по+Азово+4(В+МРв)сР) 1в.
(В) Тогда корни характеристического уравнения могут быть записаны в виде — (и ж ав) -1 (Аа т Ьв) 0 2 (В+М1„") () Общее решение дифференциального уравнении (4) будет ),-С; н+С,г"в, (10) где Св и С вЂ” комплексные постоянные величины вида С,-В,+1В, С,-В,+1В,. (11) Подставив эти значения произвольных постоянных в (10), получим (и — ав) 1 ) 1 Ьв — Аов Ьв — Аов (1)в+1В)ехр~ п(ГГм! !!соз2(В+М'1+1з!п2(В+М',~1)+ (л — ав) 1 ) ! Ьв+Аи Ьв+Авв +( в+!в)в)ехр~-з(В+)йув)1~соз2(В+М1в)1 — 1з1п2(В4.щ~1). (12) Отделив в этом уравнении вещественную н мнимую части, находим исходные переменные у, гс (и-ав)1 ) !В Ьв-Ав» В Ьв-Ао» "! Р ~ 2(В+МЦ) ~( в 2(В+М1',) + в 2(В+Мгв) )+ + Р~ 2(В4 М1в)1)'( в 2(В ~.М1в) + В 2(В-!-М)в) )> (и-ав)1) !И '-"" 1 П ! Ь вЂ” 4" 1 тпозня малых двияшнмп системы 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
