1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 44
Текст из файла (страница 44)
3о и 4'. Поэтому рассмотрим ниже задачу 18.38, но с добавочным учетом сил сопротивления. Задача !8.41. В условиях задачи 18.38 определять вынужденные КОлдбания вала прн налкчии демпфера, 1(емпфер, расположенный а вычитая (7.1) и (7.3), находим (й — А) !Ьз!па си .~.ма-т ' (13) Подставив найденные значения Ь, в уравнения (4) и (б) н положив в последних а, О, так как вти слагаемые становятся пренебрежимо малыми с возрастанием времени, получаем резонансные составляющие уравнений движения вала, вращающегося с критической угловой скоростью, 1гЛ. ХЯП1 тяоэня малых двнжяння снсткмы в том же сечении, что и упругая опора, соадает силу сопротивления, пропорциональную первой степени скорости (коэффициент пропорциональности л) и направленную противоположно скорости точки А оси вала (рис.
а). Решение. Пусть точка осн А, соответствующая упругой опоре вала, имеет в данный момент координаты у, л и проекции скорости К задаче 18.41. на неподвижные оси у, с. Тогда проекции момента внешних сил (рис. б) равны Мч сЫ+пЦ М; = — суг — лИ. )дифференциальные уравнения вынужденных колебаний вала, вызванных его статической н двнамической неуравновешенностью, были выведены в задаче 18.38 (уравнения (8)).
С учетом действия сил сопротивления они запишутся в виде (В+ МР)Я+ Аес+ пРу + сРу = Меез1г1 соз ег+ (В- А)Аозб соз (еà — е), (В+ Мф 2- Аер+ лРл+ сРг = МсеЧХ з1п е1+ ( — А) 1езб з1п (еФ вЂ” в). Будем искать решение втой системы в эшю у = а, соз ег+ Ь, з!пег, ) л=азсозеГ+Эзз1пей )г Подставив эти функции и их производные в уравнения, цриравияваем коэффициенты пря з1пюг и сов юг, Тогда получаем следующую систему злгебрзнчсхних уравнений длв определении ав Ьр [сР -(В+ МРд) аз] ад+ Аазбз+ «РаЬд = =МеаЧ,1+(В-А) Евзб соз е, [сР-(В+МЕдг) аз] ад- Авдбд+«РвЬз = — ( — А) Еадб з!и е, [сР— (В+ МРд)ад] Ь, — Аа'а, — «Рвад— = ( — А) ЙРЬ з! и е, [сР— (В+М е) а'] Ьз+ Аазад — «Рваз = = МеаЧд1+ ( — А)Евзб соз е.
[сР-(В+МРд-А)а'](ад+Ь,)+«Рв(Ьд-ад) = 2МеаЧдЕ+ 2 (В- А) 1азб соз е, — «Рв(ад+Ьз)+[сР-(В+МРд-А)вз](Ьд-аз) = = 2(В-А) Еазбз1пе. Определитель однородной системы (6) ревем Ь [сР (В+МРд+А)аз7+ядРвз Ф О. Следовзтельно, система (6) вмеет решение ад-Ьз — О, Ьд+аз=О, (7) т. е (8) а Ь„а Подстзвив (8) в неоднородную систему (б), находим [сР— (В+ МРд — А) вз]ад+ «РаЬд = = МеаЧд1+ ( — А) Евзб соз е, — «Раад+[сР-(В+МРд-А)аз]Ьд = ( — А) ЙРЬ з1« е. (О) Решив систему (9), получаем а =Ь =[[сР-(В+МЕ'-А)аз][МеазЕдЕ+( — А)Еазбсозе]— -«Раз(В-А)бз!пе» [[сР-(В+МРд-А)вз]з+лзРаз» д, Ь,= — а,=[[сР-(В+Лйд-А)аз](З-А) Еезбз!пе+ +«Раз [МеЕд+(В-А) б соз е]] [[сР-(В+М1д-А) а']в+ язРад» з. (1О) Почленно сложим и вычтем двз крзйннх н двз средних урзвнеиив системы (4). Получим тогда две следующие системы: [сР-(В+МРд+А)аз](ад-Ьз)+«Рв(бд+аз)=О, [ — «Ра(ад-Ьз)+[сР-(В+МР+А) аз](Ьд+аз) =*О ) (6) тновия малых движвиии систвмы !гл, хлп Как н в случае одномерного двнженяя точка под действием силы.
упругости, силы сопротнвлення н сннусондальной вовмушаюшей силы, амплнтуды колебаний не растут неограниченно нн пря каком значеннн угловой скорости. В данном случае угловая скорость является частотой возмущающей силы. Решение (3) с учетом (8) имеет внд у=адсова1[-Ьдв!па1, [ я=ада!па1-Ь,сова!, ~ (11) Введя обозначения ад=Ноева, Ьд=Нв!под, перепишем (11) в ваде у Нсов(а( — и), з=Нв1п(а1 — сд). (12) Ч очка осн вала, лежащая в плоскости упругой опоры, описывает окружность радиуса Н=)' о[+ Ьд (1З) Ось вала опнсывает конус с вершиной в шарнирной опоре, обегая поверхность в сторону вращения вала н с угловой скоростью, равной угловой скорости врашення вала. Найдем квадрат радиуса.
После алгебраических преобразованнй получим а(д[М е 1[+( — А) У+2Ме(, ( — А) 6 сове[ [с(е — В+М1',— А) ае)в+ление Замечаем, что в чнслнтеле ковффнпнент прн ае не завнснт от угловой скорости вала. Следовательно, для нахоядаення максимума амплнтуды Н необходимо исследовать функпню ще [с(е — (В+М1[ — А) ад[в+ад(деде ' Вычислив производную от (15) по а н приравняв ее нулю, (1б) У'(а) =О, (1б) находим корня (16) ад —— О, с( (17) ое(е с (В+ М 1', — А) —— 4се [Меев(д+  — А)е бе+ 2Ме1д( — А) б сове[ Насев пе [4с (В+ 1[ — ) — ле(е[ Амплитуда Н достигает максимума, когда а=аз. Внеся вто значенне угловой скорости в (14)„ находим наибольшую амплитуду колебаний, квадрат которой равен влияние гивоскопических снл Эю1 $10.
Влияине гироскопических скл на свободные- и вынужденные колебания твердого тела с четырьмя степенями свободы, Самоцентрнрованне жесткого ротора, врапшющегосв в двух упругих опорах л1.с я ц л — ~)~ тс (г'„)> — „~ — — ~~глс (Р'), (2*) льс„ л ~~ (р,) ь-! 10 М, И, Бать я яа., т. Ыг ь-3 При конструировании современных высокооборотных валов необходимо предусмотреть меры, обеспечивающие возможно больший срок службы подшипниковых опор.
Реакции между валом и опорой, если рассматривать вал и опоры жесткими, возрастают пропорционально квадрату угловой скорости (см. т. 2, гл. Х, й 3). Поэтому при боль. ших угловых скоростях вращения укаванные реакции даже при самой тщательной статической и динамической балансировке достигают столь больших значений, что ресурс подшипников исчисляется сотнями, а иногда и десятками часов. Одним из эффективных методов увеличения долговечности подшипников является установка между корпусом и подшипником упру.
гих элементов. Жесткий вал, вращающийся в двух упругих опорах, самоцентрируется после перехода через второе критическое число оборотов. Реакции между валом и упругими опорами во много раз меньше тех же реакций в случае жесткого крепления опор. Одновременно применение упругих опор позволяет осуществлять переход через критические числа оборотов лри малых амплитудах. Динамика жесткого вала, вращающегося в двух упругих опорах, рассматривается в этом параграфе.
Исследуются свободные колебания вала, вынужденные колебания вала и эффект самоцентрнрования, вынужденные колебания вала при реэонансе, применение уравнений Лагранжа к составлению дифференциальных уравнений колебаний вала. 1' Влияние гироскопических сил на свободные колебания твердого тела.
Для составления дифференциальных уравнений малых колебаний твердого тела при наличии гироскопических сил следует применять теорему о движении центра инерции системы материальных точек вместе с теоремой об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек в относительном движении по отношению к центру инерции. Согласно первой теореме имеем МУс-й'„МУс=й,'г Мус = йм (1 ) где М вЂ” масса твердого тела, лс, ус, лс — координаты центра инерции (тяжести) твердого тела в системе неподвижных осей координат, йм й', й,' — проекции главного вектора внешних сил, приложенных к твердому телу.
Вторая теорема приводит к соотношениям 290 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ !Гл. хуп! где Ес„, Ес, Ес,— главные моменты количеств движению относительно осей, движущихся поступательно вместе с центром инерции (тяжести) л твердого тела, ) ', лз(Р') — главные моменты внешних сил относи*=! тельно тех же осей.
Если осеснмметрнчиое твердое тело вращзется с большой угловой скоростью а вокруг оси симметрии, которая совпадает при отсутствии малых колебаний тела с осью х, то с точностью до величин первого порядка малости главные моменты количеств движения относительно осей координат, движущихся поступательно вместе с центром инерции твердого тела, будут Есл Аю Ес =Аиф — Ву, Ес,=Аюу+В1.
(з ) где А-момент инерции твердого тела относительно оси симметрии,  — момент инерции твердого тела относительно любой оси, перпендикулярной осн симметрии и проходюцей через центр инерции тела, () — малый угол поворота оси симметрии, отсчитываемый от оси х в плоскости ху, у в малый угол поворота оси симметрии, отсчитываемый от оси х в плоскости хз. При изучении поперечных колебаний обычно пренебрегают малыми продольными перемещениями твердого телз, т.
е. полагают коордивату хс неизменной. Тогда первое уравнение (1*) отпадает. Если, кроме того, рассматривается равномерное вращение твердого тела, то отпадает и первое уравнение системы (2*). Для решения задач о свободных колебаниях твердого тела, в которых возможны вышеуказанныее допущения, может быть рекомендован следу!ощнй порядок действий: 1) выбираем две системы координаг, первую систему, жестко связанную с твердым телом, и вторую — неподвижную систему координат; 2) применяя теорему о движении центра инерции, составляем два дифференциальных уравнения движения центра тяжести; 3) пользуясь теоремой об изменении главного момента количеств движения в относительном движении по отношению к осям, движущимся поступательно вместе с центром инерции, составляем остальные два дифференциальных уравнения малых колебаний твердого тела; 4) проинтегрировав полученную систему дифференциальных уравнений движения твердого тела, находим частоты свободных колебаний, главные колебания ротора и общее решение задачи.
Задача 18.42. Жесткий ротор массы М вращается в двух упругих опорах Аа и Вп Коэффициенты жесткости левой опоры са, влияние гнвоскопнчвскнх снл 29'1 правой с (рис, а). Расстояние между опорами равно Е. Центр тяжести С ротора вместе с подшнпннкамн находится на расстоянии (т от опоры Аг и на расстоянии ( от опоры Ви Ротор вращается вокруг оси симметрии с постоянной угловой скоростью ю. Момент инерции ротора относительно оси симметрии равен А, относительно оси, перпендикулярной к осн вращения и проходящей через центр тяжести ротора, равен В.
Найти свободные колебания ротора. Решение. Рассмотрим малые колебания ротора около положения равновесия (равномерного вращения около горизонтальной оси). Неподвижную систему координат хуз выбираем так (рис. б), чтобы ее начало совпало с левой опорой в положении равновесия. Ладим ротору произвольное перемещение (рис, б). Координаты левой опоры обозначиму„ г„ координаты правой опоры уэ л„ координаты центра тяжести ую лс. Изменением координат х„ х„хс, как величинами более высокого порядка малости, будем пренебрегать. Угол между проекцией оси ротора на плоскость ху и осью х назовем 1); угол между осью ротора и ее проекцией на плоскость ху обозначим у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
