1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 46
Текст из файла (страница 46)
При решении аадач на определение вынужденных колебаний твердого тела с четырьмя степенями свободы рекомендуется следующая последовательность действий: 1) выбираем обобщенные координаты; 2) пользуясь теоремой о движении центра инерции, составляем два дифференциальных уравнения движения центра инерции твердого тела; 3) составляем выражения главного момента количеств движения системы в относительном движении по отношению к центру инерпин и выражение главного момента внешних сил отнЬсительно осей, движущихся поступательно вместе с центром инерцки твердого тела; 4) пользуясь теоремой об изменении главного момента количеств движения я относительном движении по отношению к центру инерции, выписываем еще два дифференциальных уравненяя малых колебаний; б) находим частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений, определяющее вынужденные колебания Задача 18.43 ч) Горизонтальный жесткий ротор массы М вращается с постоянной угловой скоростью ы в двух упругих опорах Ат н Ви Опоры перемещаются в однородном упругом поле Коэффициенты жесткости опор: левой с» правой са.
Расстояние между опорамн 1. Расстояние от центра тяжести ротора С до опоры А1 равно до опоры В, равно 4. Далее А — момент инерции ротора относительно осн симметрии, В-момент инерции ротора относительно оси, перпендикулярной к оси врацения и проходящей через его центр. Определить вынужденные колебания ротора, вмазанные его статической н динамической неуравновешенностью, если центр тяжести ротора отстоит от геометрической оси на расстоянии е, а главная ось инерции ротора, близкая к геометрической оси, образует с последней угол б. Плоскости, проведенные через геометрическую ось и центр тяжести, а также через геометрическую ось и главную ось инерции, образуют двугранный угол, равный е. Найти также закон вынужденного движения ротора н определить предельные значения координат центра твжести ротора и угла отклонения главной оси инерции от геометрической оси ротора при неограниченном увеличении угловой скорости ротора ') А, С, Кельзоя, Самопеятрироваяие и ураввовешввавяе жесткого ротора, враяыхядегося в двух упругнх опорах, Доклады АН СССР, т.
110, выи. 1, 1956. 1гл. хщп ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ Р е ш е н и ц Будем исходить нз дифференциальных уравнений движения ротора, полученных в предыдущей задаче: МУ вЂ” — еду„— ауь Мгс = — сдгд — саг„ Авр — Ву — гдсауа — гдсд(,, Аву+ В!3 =уаса(а+удсд1д. Если обозначить через у, г координаты точки геометрической осн ротора, лежащей на пересечении этой оси с плоскостью, перпендикуларной к оси врвцення и проходящей через центр тяжести ротора, то координаты центра тяжести будут: УС =У+ Е СОЗ Вг, (2) гс г+ез1пюг.
Обозначим через р угол между проекцией главной центральной оси на плоскость ху и осью х. Угол между проекцией геометрической оси на плоскость ху и осью х обозначим ()ь Эти углы связаны соотношением р = ()а+ б сод(в( — е), (6) где (вд - е)-угол между плоскостью, в которой лежит угол б, и плоскостью ху. Обозначив аналогично через у угол между проекцией главной центральной оси инерции на плоскость хг и осью х, и уа угол между проекцией геометрической оси на плоскость хг и осью х, находим ~ = уд+ б а1п (вТ вЂ” е). (4) 1 гд У= Уд 1+Уд Д, д г= — гд — + га— д д 1 Уд — У1 (6) ~ — г, та= д > Подставив найденные значения ус, гс, р, у в дифференциальные уравнения движения ротора (1), имеем МР+ с,уд+ сау, = Мева соа вг, Му+ сдгд+ саг, =Мев'а1п вг, (б) Аврд — Вуд+ садагд + сдддг, = — ( — А) ваб а1п (в( — в), Авуа+ Вид — са1дуа- сну; = (В- А) ваб сов(вГ- з).
Правые части этих уравнений представлают возмущающие факторы, выаванные статической и динамической неуравновешенностью ротора. Использовав установленные в предыдущей задаче соотношения з да! влияния гивоскопичяских сил н систему уравнений (б), находам М (1д Рз — 1зУд)+ сд1Уд+ с,1Уз Ме1в' соз в1, М (1дйз — 1ахд)+ сдрхд+ сз1хд Ме1в' з!и в1, Ав ( Цз — Уд) — В(йа — йд)+ сз1з1хз+ сд1д1хд = — (В - А) вЧб з!и (в1- в), Ав (Хз — Ьд)+ В ())з -Уд) - сз1з1Уз - сд1д1Уд =( — А) вЧб соя(вс- в).
(7) Полученная система линейных неоднородных днфференпнальных уравненнй с постоянными коэффвпнентамн описывает малые колебания ротора, вмазанные статнческой н динамической неуравновешенностькд Решение этой системы складывается на общего решения системы без правой части н частного решеняя полной системы. Общее решение системы без правой части найдено в предыдущей аадаче-оно отвечает свободным колебаниям ротора.
Частное решенне полной снстемы, которое будем искать в виде у, = а, соа в1+ Ь, з!п в1, хд = ад з!и в1+ Ьд соа в1, у, = аз соа в1+ Ьв з!п в1, хз ~ ад з!и в1 + Ьд соз в1, (8) Мвз (1дад — 1,аз) + с,1ад+ сз1аз = МейР, МаР (1з аз — 1дад) + сд 1аа + сз1а, = Ме1ва, — Авд (а, — ад) + ВоР (аа — ад) + сд1з1ад+ сд1д1аз = = — ( — А) 1бв'соз е, АоР (ад — ад) — Ввз (аз — ад) — сд1з1аз — с,1д1ад = = ( — А) СбоР соз е, (8) Мвз (1дрд - 1дйзН- с,1Ьд+ сз1Ьз = О> Мвз (1 Ьд 1\Ь4)+ сдйд+ сз1Ь$0 Авз (Ь - Ь ) + Вва (Ь~ - Ьй+ с~1д1Ь + с~ 11Ь = (В- А) 81вд з!п в, Ав'(Ьз — Ьз)+ Ввз(йз — Ьд)+ сз1з1Ьз+ сд1д1Ьд = =-(В-А)б1взз!па (! О) определяет нскомые вынужденные колебания.
1для того чтобы найти аначення постоянных аь Ьь подставнм решение (8) в уравнения движения (7). Так как этн уравнения должны быть удовлетворены в пронавольный момент времени, то необходимо раздельно дрнравнять нулю сумму всех членов, содержашнх множнтелем созвз, н сумму всех членов, содержашнх множнтелем згпв1. В итоге получаем две системы алгебраических уравнений: 300 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ 1гл. ханш то вти системы однородных алгебраических уравнений имеют только тривиальное решение ад аь Ьд — — Ьа, (20) а,=а,. Ь,=- Ьь Подставив найденные значения искомых постоянных в оставшиеся уравнения (13), (14), (1б), (16), получаем (М1аеа+ сд1) ад — (М1деа — са1) аа Ме1в', [( — А) вд — сд11д] ад — [( — А) во + са1а1] ад = ( — А) 61ед соа в, (М1дв'+ сд1) Ьд -(М1дв' — сд1) Ьа — — О, Н — А) в' — сайд] Ьд — [( — А) е'+ са1в1] Ьв= ( — А) бйо'л1п е.
(21) Теперь легко находятся все искомые величины. Иа втих двух систем могут быть наВины значения всех восьми постоянных а„а,„ав а„Ьд, Ь„Ь„ЬА так, чтобы частное решение удовлетворяло исходной системе дифференпиальных уравнений. Проще всего вти постоянные определяются, если сложить и вычесть первые два и последние два уравнения каждой системы. Тогда ив первой системы получим (М1ав'+ сд1) (ад — аа)-(М1дв' — са1) (аа- ад) О, (11) [(В+ А) ва — сдйд] (ад — аа) — [(В+ А) ва+ с,йя] (ао — ад) О, (12) (М1,ва+ сд1) (ад+ ад) — (М1деа — сд1) (аа+ ад) = 2Ме1еа, (13) [( — А) еа — сдйд] (а, + ад) — [( — А) еа+ сдйа] (аа+ ад) 2 ( — А) 1бва соа е (14) Аналогично иа второй системы находим (Мудвв+сд1)(ьд Ьд) (М1двд са1)(Ьа Ьд) =О (15) [( — А) еа — сдйд ] (Ьд — Ьд) — [( — А) во + са1д1] (Ьа — Ьд) =* =2(В-А)1беаа!па, (16) (М1ава + сд1) (Ьд + Ьд) — (Мтвд — са1) (Ь + Ь ) = О, (17) [(В+А)ед — с,йд](Ьд+Ьд) — [(В+А)вд+са1д1](Ь,+Ьд) =О.
(18) Рассмотрим совместно уравнения (11), (12), (17), (18), представляющие по существу две группы однородных уравнений относительно сумм и разностей искомых величин. Если Л (е) = [(В+ А) в'+ с,йа](М1аеа+ сд1)- — [(В+ А) ва — сайд] (М1два — са1) ~ О, (19) зо1 Вдиянии гнвоскопичиских сил Если, кроме того, Уд(е)= ](В-А)одз+ся1з1](М1зез+сд1)— — ]( — А) еа — саад] (М1дез — ся1) ве О, то пост'оянные будут равны ад=-( — ]Ме1ез ](В-А) еа+сз1з1]— 1 д м) — (М1дез — сд1) ( — А) 1бе' соз з], (23) аз = — ]Ме1ез 1( — А) ез — сд1д1]— 1 й (е) - (М1зез+ сд1) (В - А) 1без соз Е], (24) Ьд — Г= (М1додз — сз1)( — А) 1бидд з1п е, 1 Б (и) (25) Ьо = — -Г- (М1дез + сд1) ( — А) 1без з1п в.
(2б) де) Введя вместо постоянныя ад, а„аь ао, Ьд, Ьд, Ь„Ьо новые посто- янные г, гь у„др, связанные с ними соотношениями а; аз гдсозу, Ь,=-Ь, *гдз1пу, (27) а, а, гзсоздр, Ь, — Ьо=гзз1пдр, перепишем уравнения (8) в виде (22) у, = г, соз (е1 — у), лд = гд з1п (е1 — Х), уя —— г, соз (е1 — дЬ), аз = гоз1п(е1-др). (28) 1(пд ад=1дбсозв-е, 9 ОЪ ) пп аз = 1зб соз з — е, 1дгп Ьд 1дб з1п а, И ОР Иш Ьз - — 1збз1пз. и-~<о (го) На основании уравнений (28) заключаем, что вынужденные колебания ротора, иызванные его статической и динамцческой неуравновешенностью, представляют чпрямуюь препессию с угловой скоростью е, равной угловой скорости роторе Заметим, что статическая и динамическая неуравновешенность в данной системе не могут вызвать вынужденные колебания, соответствуюшие «обратной» препессии ротора.
Найдем теперь предельные значения постоянныя, определяемыя равенствами (23) - (26) при неограниченном воарастании угловой скорости: твоэыя малых двнхшннп сметным !гл. тчпг Внеся предельные значения постоянных в уравнение (8), находим выражения координат прн гв=оо: Вш у, = — е сов Ы+!;6 соа(ыг — и), В ОР 1!гп х,=- ез!пгаз+46з!п(аг!-з), й сч И!п у, = — е сов юг+ гзб сов(вг — з), 1пп за= — ез!пю!+Е,бз!п(гз1-в).
(30) Для определения предельных аначенип координат центра тяжести ротора и угла отклонения Его главной осв инерции от геометрической оси ротора подставим предельные значения координат (30) в уравнения (2), (3), (4). Используем зависимости (бь В итоге получаем 1!гп ус=О 9 00 1!гп [1 О, 1пп лс О, в со 1пп у О. (3!) Следовательно, при неограниченном увеличении угловой скорости вращения неуравновешеннып статически и линамически ротор стре- мится совместить ось вращения с главнов центральной осью инерции.
При неограниченном увеличении угловой скорости жесткий ротор, вращающипся в двух упругих опорах, располагается так, что устра- няется его статическая и динамическая неуравновешенности. Ротор с четырьмя степенями свободы (не считая вращения вокруг оси) обладает замечательным свовством самоцентрнрования. Это свойство находит широкое применение при конструировании совре- менных высокооборотных машин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
