1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 45
Текст из файла (страница 45)
На рис. з, з, ось ротора спроектирована на координатные плоскости ху и хл. 10* ~у / 1 / / 1 / ---г- ! 1/ х,1 / х 1 т,1 з / / / е /у, //у /у 1/ / 1/ л Э бгл/) 6 81 ага 1 К задаче 18,42. теоиня малых движении системы 1гл. хчпг Вырваны координаты центра тяжести и углы ~), ут червя независимые координаты ун гы уа, гя, вполне определяющие положение ротора.
Имеем на основании рнс. 6 в н г Ус — Ут 1+Уа 1 > гя 1г 1 1 гс= — гт — +га— Я 1 1 1' (2) Уг — Уг Ф (3) ги — гг уа = (4) На основании теоремы о движении центра инерции можно написать два дифференциальных уравнения А())с — саут — сау, Мус =* — сага сага, (б) (6) где в правой части стоят проекции на соответствующие оси упругих реакций пружин.
Переходим к составлению дифференциальных уравнений малых колебаний ротора вокруг осей, параллельных У, г и проведенных черев центр инерции колеблющейся системы. Главные моменты количеств движения системы с точностью до малых величин первого порядка малости включительно будут Главные моменты внешних сил относительно осей, проведенных черен центр инерции, легко находятся иа рис. щ Испольвуя теорему об иаменении главного момента количеств движения в относительном движении по отношению к центру инерции и выражения (8) — (12), имеем Ав~) — Ву = — г,с,1, — г,са1ь АвУ+ В1) У са1а+Уаст1Г (13) (14) Е,,=Ав, Ь, Ав~) — Ву, 1., Аву+ Вр. ~ч, 'лгс (Р'„) =О, Х гасу (Ю вЂ” гаса1з- гтст1н ~Ч~~ англо, (Р а) уас,1я+уаст!н (7) (8) (й) (10) (11) (12) 298 ВЛИЯНИИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ а 1а! Подставив в уравнения (б), (6), (13), (14) значения ус, яс, р, у, получим для нахождения уд, уа, лд, я, систему четырех линейных од- н ородных дифференциальных уравнений М (Едуа — ЕЕРд)+ сд(уд+ с,(у, = О, М (Едйа — ЕДд + сд(хд + сд(гд — — О, Ав (Р~ — Рд) — В (2а-йд)+ с~( ЕЯ~+ с~(,(сд = О, Ав (йд - йд) + В ())д — Рд) — с,(а(У, — сд(,ЕУ, = О.
Частное решение втой системы будем искать в виде (16) (16) (1() (18) уд = Рд а1п (рт+ а), у,=Од адп(рЕ+а), яд = Оа сов (рг+ а), ла = Рд соа (рЕ + сд), (19) (сд(+ М(дРа) Рд+(с,( — М(дРа) Р, = О, (сд(+ МЕдРа) 0а+(сд( — М(дРд) Рд = О, — АврРд+ Авр0д+ (сд(дŠ— Вр') Ра+ (са(д(+ Вра) Рд = О, (Врд — сд(Д Од — (Врд+ са(Д Рд+ АврРа — Авр0 — О, (20) Легко показать, что система (20) распадается на две. Действительно, сложив и вычтя первые два и последние два уравнения, получаем (сдЕ+ М(др~) (О, + Рд) + (сд( — МЕ,рд) (Ра+ Рд) = О, (сд(+ М(дРд) (Од — О,') + (сдŠ— МЕдРв) (Оа — Рд) = О, (Вр'+ Авр — сд(Д (Р, + Ра) — (Врд + А вр+ сд(Д (О, + Рд) = О, (ВРд — АвР— сдЕД (Рд — Ра) — (ВР— АвР+ са(а() (Рд 04) = О.
Сгруппировав уравненяя, получаем систему для нахождения Од+Оа ° 0,+0, (сдЕ+ М(д(да) (Рд+ Р~+ Е с, Š— М(дРа) (Оа+ Ра( = О, (Вр' + Авр - сд(д() (Рд+ Од)- — (ВРд + АвР+ са(Д (Ра+ 0~ О, (21) где О„Од, Рм Рм р, а — постоянные, которые должны быть определены так, чтобы (19) удовлетворяло системе дифференциальных уравнений (16)-(18). Внеся (19) в (1б) — (18), получим после сокращения соответственно на а1п(рт+а) и соа(рг+а) и приведения подобных членов однородную систему четырех алгебраических уравнений относительно Рд, Рв Ра, Од' [гл. хипа ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕИИИ СИСТЕМЫ н систему для нахождения Рз-Рз и Р,— О, (сзй+ М)зрз) (Рз Рз)+ (сзу — Мззрз) (0з — Рз) = О, (Врз — Авр — сзуз() (0з — Рз)— — (Врз — Авр+ сз~Д (Рз — О,) = О. Приравняв определители систем (21) и (22) нулю, получаем два частотных уравненняз) (ВРз+Авр-сзр,-сзрз)(сз+сз — Мдз)+(сд! +с)з)з=о (2З) (ВР' — АвР— сзрз — сД) (с(+ сз — МРз) +(сз(з+ сз~ )з О.
(24) Локажем, что уравнения (23) и (24) не имеют общих корней. Предположим, что общий корень Рд существует. Тогда при Р=Р оба уравнения удовлетворяются одновременно. Вычитая из первого уравнения второе, получаем 2Аврд (с(+ сз - МР,') = О, т. е. общими корнями могли бы быть Рз=" ИРз » Гс,+сз М но оба вти значения не удовлетворяют исходным уравнениям. Пока. жем теперь, что корни частотных уравнений вещественны. Йля этого рассмотрим функции уз (Р) (ВР'+ Авр - сА' — сзрз) (сз+ сз - Мра)+ (сауд+ сзуз)з, (26) уз(Р) = (Вр - Авр — сД вЂ” сзрз) (сз+ сз - Мрз)+ (сз!д+ сзуз)з (26) и найдем их значения для некоторых характерных значений аргумента Р: ') По существу описанная операция означает разложение на миожителз частотного уравкевия системы (Ю). Влияние гиэосиопичвских сил 4 яз уа 0а з!и (Р!+ а), лт О, сов(рт+а), уз 0з з!и (рт+ а), в,=0асоз(рг+а), (29) К задаче 18.42, д.
так как система (22) в этом случае имеет только тривиальное реше- ние 0а — 0з 0 и О,— 04=0. Аналогично для корней второго частотного уравнения получаем ут 0а з!и (р!+а), ад — — — 0т соа (р!+ а), (30) уз 0а а!и (Рг+ а), аз= — О, соз(рт+а). Легко проверить, что вследствие указанной выше особенности корней частотных уравнений можно ограничиться подстановкой в (29) н (30) лишь положптельных корней соответствующих частотных уравнений, ибо отрийательные корни не приведут к новым линейно независимым частотным решекиям. Из таблицы впдно, что непРеРывные фУнкпми Уа(Р) н Уз(Р) пРВ изменении аргумента Р от — оо до+со четыре раза меняют знак. Вспомнив, что (23) и (24) явлюотся уравнениями четвертой степени, можно утвержлать, что каждое иэ уравнений (23) и (24) имеет по два отринательных и два положительных корня, т.
е. корни обоих уравнений вещественны. Отметим, что рассматриваемые корни обладают интересным свойством: отрииательные корни одного уравнения равны по абсолютной величннеположительным корням другого, и наоборот, Прн угловой скорости ю, равной нулю, уравнения (23) и (24) совпадают и принимают вид (ВРа — сара — сД)(с!+са — Л4рз)+(гт!а+са7з)э=О. (27) Корни уравнения (27) определяют частоты свободных колебаияй неврашюошегося ротора. Иа рис.
д представлены графики функпий Л(Р) уа(Р) и Уо(Р), буричем через Аэ(Р) обозначена левая часть (27). Как видно из графика, положительные корни этих уравнений, т. е. чзстоты свободных колебаний ротора, располагаются в следующем порядке: Ра(Ро(Рг(Ра(Ро(Рь (23) Здесь рв Ра-частоты свободных коле. баиий невращающегося ротора. Из уравнений (21) н (22) видно, что для корней первого частотного уравнения частное решение будет иметь вид 296 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ !ГЛ.
ХЧ555 В итоге корням ре и р,' отвечают первое и второе главные колебания, прн которых ось ротора описывает круговой конус, вращаясь в том же направлении, что н ротор. Эти двиЖения называются «прямой» прецессией ротора. Прн «прямой» прецессии вектор угловой скорости твердого тела (при вращении вокруг осн симметрии) н вектор угловой скорости оси ротора образуют острый угол. Корням р, и р,' отвечают третье и четвертое главные колебания, при которых ось ротора описывает круговой конус, вращаясь в направлении, обратном вращению ротора. Этн движения называются «обратной» прецессией ротора. При «обратной» прецессии вектор угловой скорости твердого тела (при вращении вокруг оси симметрии) и вектор угловой скорости осн ротора образуют тупой угол.
Таким образом, свободные колебания ротора складываются иа четырех гармонических колебаний, два нз которых соответствуют «прямой» прецессии и два «обратной». Подчеркнем, что частоты свободных колебаний вра5цающегося ротора, как видно из А5 5 уравнений (23) и (24), зависят от его угловой скорости. Заметим еще, что задача решена для горизонтального К задаче !8.42, е. ротора, центр тяжести ротора лежит вне участка между опорами.
Если же центр тяжести ротора лежит между опорами (рис. е), то во всех УРавнениах надо изменить знак пеРед 5« на пРотивоположный. 2'. Влияние гироскопических сил на вынужденные колебаняя твердого тела. Сам оцентрирование. При составлении дифференциальных уравнений малых движений твердого тела можно применить теорему о движении центра инерции системы материальных точек и теорему об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек в относительном движении по отношению к центру инерции. Указанные теоремы используются в форме и. б' настоящего параграфа (уравнения (1«), (2»), (3«)). Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний отличаются от рассмотренных в п. 1' этого параграфа уравнений свободных колебаний наличием в правых частях возмущающих сил и их моментов.
К весьма распространенной в технике категории возмущающих снл относятся силы, вызванные статической и динамической неуравновешенностью роторов. Статическая неуравновешенность обусловливается смещением центра инерции ротора от геометрической оси вращения, Динамическая 99Ч влиянии гивоскопичзсхнх сил неуравновешенность является следствием наклона главной оси инерции твердого тела по отношению к геометрической оси вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
