1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 42
Текст из файла (страница 42)
хчуп Иа (3) видно, что всегда и) аа. Следовательно, координаты правого конца вала убывают с течением времени. Свободные колебания вала под влиянием вязкого трения затухают. 3'. В ы н у ж де н н ы е ко л е б а н и я т в е р д о г о т е л а с у ч етом гироскопических сил. Прн составлении дифференциальных уравнения в этом случае дввкения может быть использована теорема об изменения главного момента количеств движения. Выражения для гла3ного момента количеств движения, приведенные в п. 1' этого параграфа, определенные уравнениями (3з), сохраняют силу.
В отличие от ранее рассмотренных случаев малых колебаний, в главный момент внешних снл относительно неподвижных осей входят момент возмущающих сил. Наиболее распространенным в технике видом возмущаяхцнх сил, действующих на твердое тело, вращающееся вокруг оси, являются силы, вызванные неуравновешенностью ротора. При решении задач на определение вынужденных колебаний твердого тела с двумя степенями свободы при действии гироскопических сил рекомендуется следующая последовательность дед ствий 1) выбираем неподвижную и подвижную системы координат; 2) составляем вмражения для главного момента количеств движения тела и главного момента внешних снл относительно неподвижных осей координат; 3) находим дифференциальные уравнения малых колебаний, пользуясь теоремой об изменение главного момента количеств движения; 4) ищем частное решение системы дифференшыльных уравнениИ, определюощее вынужденные колебания системы; б) определяем критические угловые скорости ротора, зри которых возникает явление резонанса; 6) находим предельные значения искомых переменных при неограниченном возрастании угловоп скорости вращения ротора.
Покажем, как исследуются вынужденные колебания ротора, вызванные собственной неуравновешенностью, на следующих примерах. Задача 18.36. Определить вынужденные колебания вала, вызванные его статической н динамической неуравновешенностью, в условиях задачи 18.36. Статическая неуравновешенность, вызванная неточностью изготовления вала, задана смещением центра тяжести иа малое расстояние е (эксцентрнситет) от геометрической осн вращениц Динамическая неуравновешенность, возникающая также иа-за неточности изготовления, задана малым углом 6 между главной центральной осью инерции и геометрической осью вращения. Определить также динамические составляющие реакций упругой и шарнирной опор.
Р е ш ем и е.,Пля составления дифференциальных уравнений малых колебаний вала воспользуемся теоремой о движении центра инерции 275 влияние гивоскопичискнх сил н теоремой об намененнн главного момента количеств двяження в относнтельном движения по отношению к центру ннерпнв вала. Этн теоремы аапнсываются таге М3с =' ~р Мрс Йа НЕс » ге» шс (гла), — „* ~~~'„шс (Рь), (а) где ус, лс-координаты центра ннерцвн вала, й', Я~- проекцвн главного вектора внешянх снл на оси у, л, Ес, Ес, -главные мо.
менты количеств двнження вала относительно осей, параллельных неподвижным осям у, л н проведенных череа центр инерции вала, ~ глс (р'), Я шс,()»„') — главные моменты внешних снл относи- » 1 ь-~ тельно тех же осей. Пусть точка А осн вала, лежащая в плоскости упругой опоры, получила малые смешения у, г по осям неподвнжных осей. Тогда координаты центра инерция вала будут ус у — +есоают, лс = а — '+ еа1п ыб Углы, обравуемые главной центральной осью ннерцнн с координатнымн плоскостямн нл н ху будут и р+бсоа(иг-е) = г +бсоа(юг-а), р» = 7-)- д а1п (иг - е) = — + б з1п (ыГ - е). Ес =Ам, Ес =Або» вЂ” В7», Е,с, Аюу»+ Вф». Здесь )), у — углы, обрааованные геометрической осью врашення с координатными плоскостями лл н лу угол юг — в составлен плоскостью, проходящей череа ось вращении н главную центральную ось инерции, с плоскостью ху.
Кинетический момент (главный момент колячеств двнженпя) имеет проекции на осн координат 273 тиоэня малых движении систвыы !гл. хоп! Главные моменты внешних сил относительно осей у, з, проходяших через центр инерции вала, равны , (Г,') = г,+В„7„ ,~~', яс,(~'ю) = - су7а-Йау (» а-! (6) у:а,соавг+Ьтз!овг, '( л аасозве+Ь з!пв!. ~ (9) Подставив значения переменных (9) и их производные в систему уравнений (8), приравниваем затем коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях (з!пв1„созв!) в каждом из полученных алгебраических уравнений.
Мы получим систему алгебраических уравнений с неизвестными аы Ь, а„Ьа, При условии с)а - (В + М)а! + А) ва Ф 0 (10) находим значения неизвестных с!а — (В+М!) — А) оР— ( — А) !май а!и а ю-гн ~ъя Г-дюж' (11) где й,„, Вас- проекция на соответствуюшие оси реакции шарнирной опоры, -су, — сз- проекции на оси реакции упругой опоры. Таким образом, проекции внешних сил на оси координат таковы: Я„= — су+ К,т, Я,' — сл+ Йы. (7) Подставим в уравнения (1) и (2) найденные значение (б), (6), (7), с учетом формул (8) и (4).
Исключив затем аа системы четырех уравнений неизвестные проекция реакции шарнирной опоры Кав Йы находим окончательно (В+ ЛУ,') Х - Авр+ с(зл *=МсвЧа(а1п в!+(В- А) 1взб а!п(вг- е), (В+ ЛИ,') Я+ Авй + сРу = (8) Мсвз)тЕ соз в!+ (В- А) (ваб соз (ве- е).
Полное решение этой системы обыкновенных неоднородных линейных дифференцпальных уравяений с постоянными коэффициентами состоит из обшего решения однородной системы, которое было получено в задаче 16.36, и из частного решения неоднородной системы. Последнее определяет вынужденные колебанив системы. Будем яскать частное решение в виде влияиии Гиэоскопичиских снл $ я! С учетом полученных эиачений а„бь частное решение (9) может быть записано в виде у ат соа а(+ Ьа а!и а1, л = — Ьт соа а1+ ат а!и аг, (12) илн у =Нсоа(аЕ-са), я=На!п(а(-а), (13) где Ь1 Н ) а', + Ь;, а = агс!а — '. ат ' (14) Таким образом, при вынужденных колебаниях точка А вала будет описывать окружность радиуса Н, вращаясь с угловой скоростью а в направлении собственного вращения вала Ось вала при этом будет описывать боковую поверхность кругового конуса с вершиной в неподвижной точке О.
Вынужденным колебаниям, вызванным неуравновешенностью вала, соответствует прямая прецессня вала с угловой скоростью а, равной по величине собственной угловой скорости вала. Если наменять угловую скорость вала от нуля, то до тех пор, пока будет сР+Ааа ~ «(В+М(])аа, вынужденные колебания вала и воамущаюшая сила будут совпадать по фане, когда же будет (В+М],')аа~сР+Ааа, то оня будут находиться в противоположных фазах. Если неограниченно увеличивать угловую скорость собственного врашеиия вала, то иэ уравнений (11) найдутся предельные значения а, Ьа. — ]а!е(,(+( — А)!Ь сов е] В+ ,'— А ( — А) !б а!па 1!ш Ь, и«а в+ (16) Воспольаоаавшись далее формулой (14), можно найти предельное эначение радиуса окружностя, описываемого правым концом вала. Общее решение дифференциальных уравнений (6) складывается на общего решения этих уравнений беа правой части и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение системы однородных уравнений (27) было найдено в аадаче 18.36.
Сложив это решение с частным решением (13), находим уравнения движения правого конца вала под действием воэмушаюшей силы, вызванной статической и динамической неуравновешенностью вала: у а,а!п(р,(+с!,)+лаз!п(ра(+аа)+Нсоа(ат- сс), ]( и = ат соя(ртт+ ач)-ая соя(раУ+аа)+ На!п (а(-а).) (16) Это решение получено беа учета снл сопротивления, препятствующих колебаниям вала. Как бы малы ин были силы сопротивления, 1гл. хэпг они ведут к быстрому затуханию свободных колебаний, определяемых первыми двумя слагаемыми в правой части уравнений (16), Зто было показано в задаче 18.37 для случая сил вяакого трения. Поэтому при изучении колебаний, вызванных неуравновешенностью вала, в установившемся режиме (при ы сопз1) можно опустить первые два слагаемых в правой' части уравнений (16).
Это нельзя делать при изучении переходных режимов: при пуске и остановке вала, переходе с одного режима на другой, т. е, во всех случаях, когда угловая скорость вала меняется. Рассмотрим критические скорости вращения вала. Если приравнять нулю онределнтель системы алгебраических уравнений, полученных в результате подстановки частного решения (9) в дифференпмальные уравнения (8), то получим частотное уравнение [сР-(В+МРа+А)ы'](сР-(В+МР1-А)ыа) О, (17) откуда получаем два уравнения сР-(В+МР+А)одев О ~ сР— (В+ МР— А) кй = О.
) (18) Эти уравнения не имеют общих корней (за исключением случая а=О, что соответствует отсутствию гироскопических сил), в чем легко убедиться, если вычесть одно иа другого. Иа уравнений (18) находятся критическое скорости вала 1 аУс УВ+ЭП, — А ' ЦУС (йо) Уввм~~Х ' (19) ют >ра~ юа. Вращение вала, удваяваа число критических скоростей,, делает одну иэ них меньше, а вторую больше собственной частоты невращзюще- гося вала.
Заметим, что в случае В+М1,'< А одно значение критической скорости становится мнимым. Как следует из уравнений (11), при вынужденных колебаниях вала, вызванных его статической н динамической неуравновешенностью„ возникают резонансные колебания, соответствующие только одной критической скорости. Действительно, резонансные колебания возникнут при обращенми в нуль знаменателя правой часта уравнений (1 1), Таким обрааом, у вала две критические скорости вращения. Сравнив значения этих критических скоростей со значением собственной ча- стоты невращающегося вала (задача 18.36), находим елмяцик гииоскопичкскнх сил а а1 что дает значение критической скоростк (19).
Ревопансных колебани», соответствующих второму аначенню крнтнческой скорости (26), в случае воамушаюших снл, выаванных неуравновешенностью вала, воаннкнуть не макет, Переходим к определению динамнческих составляющих реакций опор. Йля нахождения реакция упругой опоры составом дяфференцнальные уравнения движения втой опоры, отброснв мысленно вал н ваменнв его действие искомой реакцией Лл. Имеем лф — ау+Яд, лай — ел+)тл„ (21) Кл — — (г — шва) Н соя(ю$- а), Ял, =(е — иаа) Нз1п(гаГ-а). Отсюда ггл=(с-тгаа) Н.
(22) Ив этой формулы видно, что реакция упругой опоры (точнее ее ди- намическая составлжошая) обращается в нуль прн налнчнн статиче- ской н динамической неуравновешенности вала, если масса опоры будет удовлетворять равенству (23) Зная рабочую скорость вала н коэффвцнент жесткости опоры (который обычно выбирается нз соображений оптнмального расположения крнтнческой угловой скорости вала), можно надлежащим выбором массы невращаюшяхся частей упругой опоры добиться, чтобы на ваданной рабочей скорости динамическая составляющая реакции упругой опоры была блинка к нулю. Если вал имеет некоторый диапаэон рабочих скоростей, то, подбирая массу опоры согласно (23) для некоторой средней рабочей угловой скоростн, можно аначнтельно уменьшить реакцию опоры по сравнению с ее велнчнной в случае жесткого креплення опоры. Определим динамическую составляющую реакции шарнирной опоры, Для этого мысленно освободнм вал от шарнирной опоры н нацепим ее дейстане искомой реакцией яг,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
