1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Составлаем дифференциальные уравнения движения центра инерцни вала в проекциях на осн (1) с учетом (7): МУс = — т+)7„~ Млс = — ел+ 1сы. ) (24) Здесь ш-масса той части опоры (подшнпннка), которая не вра. шается вместе с валом, но колеблется вместе с ннм. Перемешення у, л упругой опоры найдены ранее (13). Подставив втн функции н нх пронвводные в уравнения (21), получям теояия малых движении системы 1гл. хч11г Подставив в зги формулы значения ус, хс в соответствии с (3) н пе.
ремешения у, х упругой опоры (13), находим йтх (с — Мв' — ~ Нсоа(вг -а)-Мева соя вс, йы —— (с — Мва г 1Нз1п(ве — а) — Мевзз!пвг, откуда получаем )та ~/ (с-Мва — '1 На+ Мав'ея — 2Мв'е 1с — Мвя — 1Н, (25) 1> 1) При увеличении угловой скорости вала реакния шарнирной опоры неограниченно возрастает. Звдича 18.89. В условиях задачи 18,36 определить вынужденные колебания вращающегося вала, если на него действует возмущающая г ха К задаче 18.39.
Г. =Аоф-(3+Мфу, '( Е,=Аву+(8+М)ч)р, / где Р=1 У (3) сила гг, направленная параллельно оси у и пряложенная на расстоянии а от неподвижной тощи О (см. рисунок). Проекния возмуш,аюшей силы на ось у наменяется согласно формуле г' = г'о соя вт, (1) где со-наибольшее аначение возмущающей силы, в-угловая скорость собственного вращения вала. Р е ш е н.и е. Воспользуемся проекциямн кинетического момента на неподвпжные оси у, х из задачи 18.36: 881 Ф!з! влияние гиеоскопнчесхих сил Ч; в,(Рь)=сй; Ф ! ~ч~~ ~и!,()зз) = — йу — Р а соя вт. (4) 3-! Внеся втн значения в теорему об изменении главного момента коли- честв движения, находим — „[Ав[) — (В+ МР!) 7) = сй, (б) [Аву-[-(В -[- МР) р1 — с1у — Гза соз в(. Подставив в втн уравнения значения углов (3), получим (В+ МР!) й — Авф + сР» = О, (В+ МР!)Я+ Авс+ сРу = — Рза 1соз в1.
.(6) ь(аст«ое решение уравнений (6), определяющее вынужденные колеба- ния вала, ищем в виде у=йсозвт, л дз(пвс. (7) Подставив (7) в уравнение (6) и сокращая соответственно на соева и Ып в!, получаем систему алгебраических уравнений для определения Ь и Й АвзЬ+ [сР— (В+ МР!) вз' г(=* О, [сР— (В+МР) вз) Ь+Ав'В = — Рза!. у (8) Из уравнений (8) находим РзЫ (с!з (В+МЩ ез] 'в'- (сР— (В+ !!) вз -Веа( Аиз (8) А'вс — [сР— (В+М5 иЧз Обращение в нуль знаменателя в этих равенствах указывает на неограниченное возрастание амплитуды колебаний правого конца вала.
Это явление называется резонансон. Итак, резонанс наступает при Азвз — [сР— (В+ МД) вз)з = О. (10) Проекции главного момента внешних сил на неподвижные осн у, л будут 1гл. хвггг тиоэия милых двмжимнп систшяы Отсюда находятся два внзчеивя критической скорости 1рс )'В+М11 — А ' гас Р'В+Мг;+А ' (11) Таким образом, в отличие от рассмотренных в предыдущей задаче вынужденных колебаний, вызванных неуравновешенностью вала, в данном случае резонанс наступает ирн любом иэ двух значений критической угловой скорости вращения вала. Найдем отношение амплитуд вблизи резонанса, соответствующего второму значению критической скорости.
Иэ. (9) имеем ср Ь и (В+МФ с (В+Ми В+МГ(+А 1. (12) В+М3',+А1 Отсюда следует, что при этих колебаниях ось вала описывает круговой конус в направлении, обратном собственному вращению вала. Такое движение называется обратно» прецессией вала Найдем далее отношение амплитуд вблизи резонанса, соотаетствукнцего первому аиачению критической скорости. Имеем сп ы — (в~.мяч ' ~ + '~вГвт — с В+М1," — А В этом случае движение оси вала соответствует прямой прецессии.
Итак, если вынужденные колебания вызываются силой, постоянной по направлению, перпендикулярной оси валз, величина которой меняется с частотой собственного вращения вала, то возможно появление резонансных колебаний двух видов, соответствующих обоим значениям (11) критической скорости. Первые колебания соответствуют прямой прецессии, а вторые обратной прецессии вала 4'. Влияние гироскопических сил на вынужденные колебания твердого тела при резонансе, Дифференциальные уравнения движения твердого тела составляются в соответствии с общимв правилами, указанными в Я 4, 6 и 9, и.
3', настоящей главы. При решении задач на определение вынужденных колебаний твердого тела при резонансе рекомендуется следуюгцая последовательность действий: 1) выбираем обобщенные координаты; 2) пользуясь уравнениями Лагранжа нли общими теоремами динамики, составляем дифференциальныеуравнениядвижения твердого тела; $ аг влияние гиэоскопигшскнх сил 3) рассматривая задачу о свободных колебаниях тела, каходим частоты свободных колебаний (резонансные частоты); 4) для случая резонанса находим частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений движения и, накладывая на него общее решеяие однородной системы, получаем искомое общее решение задачи.
Звдвчв 18.40. Определить вынужденные колебания вала, вращающегося с постоянной угловой скоростью ю вокруг оси симметрии, если вал закреплен шарнирно в точке О и имеет в точке А упругую опору с коэффициентом жесткости с в любом направлении, перпендикулярном оси симметрии валз. Центр тяжести вала находится в точке С.
Главные центральные моменты инерции вала относительно оси симметрии А и относительно любой оси перпендикулярной оси симметрии В. Расстояния ОА* 1, АС=)„ОС=1 Вследствие неточности изготовления центр тяжести вала находится на. расстоянии е от геометрической оси вращения, а главная центральная ась образует угол 8 с геометрической осью вращения.
Найти вынужденные колебания вала при резонансе. Решение. Воспользуемся результатами, полученными прн решении задачи 18.38, когда для этого же зала были найдены вынужден. ные колебания при значениях угловой скорости вращения, отличных от резонансных. Нифференцнальные уравнения малых колебаний вала имели внд (В+М~) 2 — Аюу+сРл Маада4д арл ада+( — А) Аэаб з(п (ют — з), (В+МРд) Р+ Аздак+ сРу = = Мсюз41 соа эдт+ ( — А) йадб соя(Ы вЂ” е), где у, з †координа точки А вали, Частное решение, определяющей вынужденные колебания, дается формулами у = ад соя эд1+Ьдз1п ей = Нсоз (оФ-п), л= — Ьдсозгат+ада!пыт Нз1п(ыг-сд).
(2) Это решение удовлетворяет системе дифференциальных уравнений движения вала при всех значениях угловой скорости вращения, кроме критического (резонансного), равного 1'г'с (3) г'В+Ы1',-А для которого знаменатель коэффициентов а„Ьд в (2) обращается в нуль. Перейдем к определению вынужденных колебаний вала при резопвисе, когда угловая скорость вала равна критической, Тогда частное тиозия мАлых движвннн системы !гл. Хчнс решение системы дифференциальных уравнений (1) вследствие ее структуры следует искать в виде у = (аз+ Ьтг) соз е1+ (аз+ Ьзг) з!л в1, (4) л (аз+ Ьзт) з!и е1+(а,+ Ьзт) соз е1.
(б) Подставлаем вти функции и их производные в систему (1) и приравниваем ковффициенты соответственно при з!пв1, соя е1, 1з!нет, 1созвт в левых и правнх частях уравнений (1). действительно, так как полученные после подстановки (4) и (б) в (1) уравнения должны быть справедливы в любой момент времени, то сумма коэффициентов при каждой тригонометрической функции должна быть равна нулю. В результате получаем систему восьми линейных алгебраических УРавнений с восемью неизвестными аь Ь, (1=1, 2, 3, 4).
СгРУппнруем вти уравнения так, чтобы они составили две независимые системы ив четырех уравнений с четырьмя неизвестными каждая: (сР— (В+ МР) вз) аз+ Ав~аз+ 2 (В+ МР) еЬз+ АеЬА * = МсеЧ,1+ ( — А) 1взб соз в„(6.1) Аеза,+(сР— (В+МР)е ) аз — АеЬ,— 2(В+МфеЬА —— = МсеЧ,1+ ( — А) 1езб соз з, (6.2) 1сР— (В+ МР) ез) Ьз — АезЬА = О, (6.3) — Ав'Ь +(СР— (В+МР)е ) Ь =О, (ЬА) (сР -(В+ МР) вз!аз — фозаз- 2 (В+ МР,') еЬА+ АвЬз = = ( — А) 1взб з!и а, (7.1) (сР— (В+МР)е )Ь +Ав'Ь =О, (7.2) — Ав'а, + (сР— (В+ МР) вз! аз АеЬ, + 2 (В+ МР) ебз = = — ( — А) 1взб з1п я, (7.3) АвзЬ~+ (сР— (В+ М1',) вз$ Ьз = О, (7.4) Рассмотрим систему (6).
В силу выполнения равенства (3) уравнения (6.3) и (6.4) не отличаются друг от друга и имеют решения Ь = — Ь. (8) Далее сложим и вычтем почленно (6.1) и (6.2У. ИсР— (В+ М/7) ез) + Авз) (а, + аз)+(2 (В+ ЛИз) е — Ав1 (Ьз — Ь4) = 2МевЧА1+ 2 ( — А) 1е'6 соз а, (О) (сР— (В+ МР!) ез — Авз) (ат — аз) + + (2 (В+ МР~) е+ Ав) (Ьз+ Ьз) = О. (10) Выражение в фигурной скобке в первом ив полученных уравнений ВЛИЯНИЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ равно нулю по условию (3). Тогда с учетом (8) из (9) находим МШ~+( — А) Ьсова 11 ь- — В, ~~.ь, ( ) рассмотрим систему (7). Совершенно аналогичным образом нз (7.2) и (7.4) получаем Ь,-Ь„ (12) у= 1(Ьа соя юг+ Ьаз!и ю!), 1 « = 1(Ьа з!и юг- Ьа соз ы!).
/ (14) Введя обозначения Ьа = )2 соа сс, Ьа=Е)з!па, (16) перепишем уравнения движения (14) в виде у=1Мсоз(ю! — и), (( «=Жз!Й(е! — са). ) (16) Ось вала описывает конус, радиус основания которого возрастает пропорционально времени, причем обход поверхности конуса происходит с угловой скоростью, равной угловой скорости собственного вращения вала. бо. Влияние вязкого трения и гироскопических сил на вынужденные колебания твердого тела Рассмотренная в предыдущих пунктах теория вынужденных колебаний системы хорошо согласуется с действительностью во всем, за исключением одного результата. Хотя прв резонансе и наблюдается рост амплитуды колебаний, но этот рост никогда не становится неограниченным, как это получалось в предыдущих задачах. ОбъясНеиие етого несоответствия кроется в наличии сил сопротивления, которые не учитывались в пп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
