1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Решение. На рис. 6 иаображена система, выведенная иа состояния статаческого равновесия, Составляем дифференциальные уравнении движения обеих масс в вертикальной плоскости: жьйа 8 8 +Ра1пыг ха л,-аа ! ! (2) шУ = — 8 — — 8 —. а В (В этих уравнениях синусы малых углов заменены тангенсамн,) После несложных преобразований уравнения (1) и (2) принимают вид 11 !! 1 ш У +Я~ — + — !хт — о )-ла=рз1пыс, !.1 В ! /! 11 — Я вЂ” лт+таУа+о'! ! + — !ля *О. Полъауясь методом механического ампеданса для определения установившегося движения, подставим в уравнения (3) и (ч) пе'"! вместо Ра!п го!, Х,а'"' вместо хт(!) н Хавва вместо ж (!), где Ха и Х,— комплексные амплитуды перемещений хь и ха.
Сократив на ен и 262 теОРия ИААФ дВижении систина 1гл. Хвпв преобрааовав уравнения, получим 18( — „+ — ) лввев1 Хт — 8 — Хв Р, 8 — Ха+18( — + — ) — вввав~ Хв= О, (6) Комплексные амвлнтуды Хд и Хз определяются из этих уравнений с помощью правила Крамера. Определитель системы равен 8( — + — ~ пвввв -8— 1 /1 11 -8— 8~ — + — 1-лв аз гв 1.1 = ~8( — + — ) — лв вв~ ~8~ — + — ) — лвввв1 — —. (7) Определители для невзвестных Хв и Х равны соответственно гч -8- 1 О 81 — + — ~ — лвваз /1 11 гв гв 8~1 + 1) — лв в 1в8 1в Ь7Г 1 — 8— Комплексные амплитуды найдутся такг — 'хв Ь Ь Хв — ' н Хв= — '.
гв ь' х,= Х,з1п(ес-вр,), лв Хв з1п (вг- врв), где Хь- — 1ХА1, Хз=1Хз1-действительные амплитуды. Заметим, что все коэффициенты уравнений (5) и (6) — вещественные величины. ПоэтомУ н комплексные амплитУды Хв=Хта "в и Хв = = Хве ввв в данном случае действительные. Это означает, что фазовые углы врв и <рз могут равняться либо нулю, если соответствующая комплексная амплитуда положительна, либо 180', если она отрицательна.
Таким образом, колебания могут либо совпадать по фазе с возмущающей силой, либо находиться с ней в противофазе. Это замечание относится ко всем системам без демпфирования. Поскольку возмущающая сила синусовдальна, то установившееся движение будет также синусондальным: 233 ывтсщ механического ныцидаиса Отметим еше, что если возмущающие вовдейстаня приложены к обеим массам, то аадача решается аналогично с вспольвованнем принципа суперповнпнн. Задача 13.34. В условиях предыдушей задачи, положив 1т = 1я =* = 1а= 1, и, юа= ая, определитьсобственные частоты и глав- Х~/(а~ ные формы колебаний.
Построить амллнтудно-частотные характеристики системы. Решение. Собственные частоты находятся как корни урав« пеняя А = Ь(е) =О. Оно имеет йЮ внд (см. уравнение (7) в предыдушей вадаче) 28 ~Я ЗЯ вЂ” — лпяа) — — О. (1) ) р у~~г1) Для упрошення последуюшнх а! гт.1 г' а 1 й~/Хг 3 и й) К задаче 1334. выкладок введем бевразмерную частоту по следуюшей формуле: (2) Тогда вместо уравнения (1) получим (2 — га)Я вЂ” 1 О, га — 4га+3 =О. нлн Отсюда находим гь,= 1, г,'=3 н, следовательно, гт 1, гя ° )г 3. (4) ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ !гл. хши Собственные частоты системы равны - -~ — ': - -~'-'-' ° Номплексные амплитуды равны (см. предыдущую задачу) Ь я(2, а) я! Ь 721 ~Ъ е 1 — 4И~.В ' р8 у, 1 г1 ! в д 128 ~а 8® 5 га — ага+3 ' шиа ) 1а (б) (в) в действительные амплитуды 1Я! 2 — гв Х =1з' -а +3 ~* !71 ! ! О г' — аг'+3 ~ (7) (8) Подставив сюда вначеныа собственных частот (4), находим отношения действительных амплитуд главных форм колебаний — '=2 — 1= 1 при та=1, Х, х х, а — =2 — 3 — 1 при г 3.
Соответствующие главные формы колебаний покааанм на рнс. а и б. 11ля построениа амплитудно-частотных характеристик системы воаюльвуемса уравнениями (б) и (6). Задаваясь рааличнымы аначе» пнями беаравмерной частоты г, находим соотеетствующие значения беаразмерных комплексных амплятуд Хд/~ — ~ и Ха/~ —.'), Реаультаты вычыслений сведены в табл, 1. По данным табл. 1 построены кривые, покаванные на рис.
в, Сплошные лнняи соответствуют положитель- ной комплексной амылытуде, т. е. нулевому фазовому углу, штрихо- вые линни-отрицательной комплексной амплитуде, т. е. колебаниям в противофазе. В выражениях (7) и (8) под анаком модуля стоят вещественные величины, Повтому фааовые углы !р! н ~ра могут быть равны 0' илн 180' в аависимости от того, положительно или отрицательно соответствующее число. Отношение комплексных амплитуд равно х 2 — г'. х Влияние ГНРоскоп!ачеокнх сил Табляиа 1 5 9. Влияние гироскопических сил и сил низкого сопротивления на свободные и вынужденные колебании твердого тела с двумя степенями свободы 1'.
Влияние гироскопических сил на свободные колебания твердого тель Прн составлении дифференцяальных уравнена малых колебания с учетом гироскопических сил можно применять теорему об иамеиенни главного момента количеств данжения относительно неподвижных осей координат в1.» %Л сы.я %! !гц (р»й) . я „(р~й) .
» „(рв) (1в) й-! й ! й-! где 1,, В Ц-главные моменты количеств движения относительно неподвижных осей косрдинат х, у, л; ч „ 'я!(рй) †главн моменты й ! внешних сил относятельно тех же осей. Если осесимметрнчное твердое тело, нмеюшсе неподвижную точку, врашается с большой угловой скоростью ю вокруг оси симметрии, которая совпадает при равновесии тела с неподвижной осью л, то с точностью до величин первого порядка малости главные моменты количеств движения относительно неподвижных осей координат будут В» Аю> Ьу — — Аю~ — ВТ, Ц = Аюу+ В1, (йв) где А-момент инериии твердого тела относительно осн симметрии,  — момент инерцяи относительно любой оси, перпендикулярной к осн симметрии и проходящей череа неподвижную точку, 11-малый угол поворота осн симметрии, отсчитываемый от неподвижной оси х в плоскости лу, Т-малый угол поворота оси симметрии, отсчитываемый от неподвижной оси т в плоскости лж тзоэня малых движении сыстзмы 1гл.
хтгы Прн решении задач на свободные колебания твердого тела, вращающегося вокруг своей оси, рекомендуется следующий порядок действий: 1) выбираем две системы коордннат-ненодвижную и лодвижную-с началом в неподвижной точке; 2) вычисляем главные моменты всех внешних сил относительно неподвижных осей ж, у, л и главные моменты количеств движения относительно этих осей; 3) пользуясь теоремой об изменении главного момента количеств движения относвтедьно осей л, у, г, находим дифференциальные уравнения малых колебаний системы; 4) задаемся частным решением системы н подставляем его в дифференциальные уравнения движенна Находим уравнение частот, из которого онределяем собственные частоты системы; б) находим далее отношение амплитуд колебаний, соответствующих каждой частоте; 6) составляем уравнения первого и второго главных колебаний м общее решение как сумму главных колебаний.
Задачи 18.36. Ротер, имеющий неподвижную точку О, вращается остью ю вокруг оси симметрии Ос и совершает малые колебания вокруг неподвюкных осей у, г. Найти главнмй момент ко. личеств движения ротора с точностью до величин первого порядка малости. Момент инерции ротора относительно осн Ос равен А, а относительно главных осей инерции а и Ь равен В.
с угловой скор Решен ив. Выберем ненодвиж- У ную систему координат туз с началом в неподвижной точке О и подвижную систему осей а, Ь, с, являющихся главными осями инерции твердого тела в точке О. Найдем пересечение нлоскости ас с плоскостью ху †лин узлов ОМ и будем определять положение подвижной системы осей при помощи углов р и у. 'Тогда составляющие угловой скорости ротора будук ю, нанразленная по оси Ос, 11, направленная ио оси л, у, направленная в отрицательную сторону оси ОЬ.
Находим нроекции угловой скорости ротора на главные оси инерции а, Ь, щ Ь К задаче 18.35 ю,=в+~)з1пр, ы =~совр, ыа — чь Полагая углы р и у, а также их нроизводные малыми величинами первого порядка, найдем значения проекций угловой скороехц влиянии гнгоскопичиских сил на главные осн иперцяи с точностью до малых величяи первого по. рядка включительно. Тогда з!пТ»ь Т, сову»ь» 1 и даме мь=е+р'7~ га ыа 1 ыз T Главные моменты количеств движения относительно главных осей инерции або будут Еа = В~. Ез = — Вру ~.с =. Аеь Далее находим проекции главного момента количеств движения на неподвижные оси: Е„Е, саз Т соз р — Еь з!и Т совр — Ез Ып р ~чи Аы — Вру+ Вур> у» 1.,сову а1пф-l.,ыпуа1пф+Ьзсозфгч»Ао4 — ВЯЯ-ВТ, Е, Ь з!пТ+Е созржАыу+В~. Отбросив члены, порядок малости которых выше первого, окончательно получим Е,, А4в> Е» — — Аоф — ВТ, У., Аау+ В$.
Задача 18.3б. Горизонтальный вал массы М вращается е постоянной угловой скоростью й вокруг оси симметрии. Левый конец К задаче Юаб. вала вращается в шарнирно закрепленном самоустанавлнвающемся подшипнике, который может свободно поворачиваться вокруг центра О. тновия НАлых движенин систньпя 1гл.
Хт'ц! Правый конец вала вращается в упруго закрепленном подшипнике А Ковффициент жесткости с упругого ноля, в котором перемещаетск правая опора А, одинаков в любом направлении, перпендикулярном ОА. Венгр тяжести вала находится в точке С (рис. а) на расстоянии 1з от точки О и на расстоянии (а от опоры А. Расстояние между опорами 1. Главные центральные моменты внерцин вала: А — отвоснтедьно его продольной оси ОА и В-относительно любой оси, перпендикулярной ОА и проходящей через центр тяжести С.
В горнаонтальном положении вал находится в положении статического равновесяя. Найти малые колебания вращающегося вала около положения равновесия. Решение. Выберем неподвижные осн координат лу» (рис. о) с центром в неподвижной точке О, направив ось» вдоль оси вала в положении статического равновесия, осьу — в горизонтальной плоскости н ось «-вертикально. Оси»у» образуют правую систему координат. Для вывода дифференциальных уравнений свободных малых колебаний ротора воспользуемся теоремой об изменении главного момента количеств движения в проекциях на неподвижные оси х, у, «(1*).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
