1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Рассмотрим два случая: а) «г',р»т„б) гл~гвт, В случае а), когда масса грува больше массы пружины, будем полагать, что максимальное перемешенне линейно зависит от Л. Обо- значив черви Х максимальное перемешенне грува, найдем а) зм,„жХ вЂ” при «а~лат; (12) гз это уравнение, как легко иидеть, удовлетворяет граничным условиям. В случае б), когда масса пружины больше массы грува, примем сияусоидальную зависимость максимального перемешення отЛ.
Тогда, с учетом граничных условий, аапишем б) з~„~м Ха(пй)- при лг ~ ль, иЛ 2а (14) Таким образом, для учета массы пружины достаточно к массе колеблющегося грува прибавить олпу треть массы пружины. 2) Метод Р алея. Рассмотрим ту же задачу методом Радея (рнс. з).
Грув гв прикреплен к концу пружины массы тд. Натуральная длина пружины 1а. В положении О груз находится в равновесии. Перемешеиие грува х отсчитывается от положения равновесия. Масса единицы длины пружины в нерастянутом положении равна лг,~1. Рассмотрим элемент пружнны йЛ, находящийся (при нерастянутой пружине) на расстоянии Л от места крепления пружины. Перемешенне этого элемента иа положения статического равновесия в процессе движения обозначим з. Будем полагать перемешения ж и з малыми по сравнению с начальной длиной нерастянутой пружины 1. Тогда кинетическая энергия пружины Тд Выразится формулой и т, =-',- — "' ') И (Л.
(2) 1о Для вычисления этого интеграла надо выразить з как функцию времени и положения, т. е, з=У(Г, Л). Зависимость перемешения з от времени возьмем согласно уравнению з = а а1п(йз+ 13). (10) Тогда максимальное значение скорости элемента Зтвя = йзаах (11) и максимальная кинетическая энергия пружины получатся подстановкой (11) в (9) 248 твоэня малых двнжннии систпмы !гл. хтпа Внеся значения (18) н (14) в интеграл (12), находим в этш! двух случаях максимальную кинетическую энергию пружины: а) и 2 3 (16) б) Ц т, ! ~' да1 Х'а!па"— Ю= — ~'АаЛа. (16) Итак, если масса груза больше массы пружины, то лдя получения максимальной кинетической энергия всей системы к массе груза надо прибавить одну треть массы пружины. Если же масса груза меньше массы пружины, то для получения максимальной кпнеткческой энергия снстемы к массе грува следует прибавить половину массы пружины.
Таким обрааом, максимальная кинетическая энергия есеи системы равна в каждом случае а) -"+'*-2' ~ +3-) (17) б) т= т,+та- — АХ ~(гл+— ! / 1 2 ! 2 (18) бП вЂ” .И7ва„ 1 (19) где и-напряжение, е — относительное удлиненне, йГ-плошадь поперечного сечения стержни. Исключим нв (19) напряжение при помощн аакона Гука, согласко которому п=вЕ, (20) где Е-модуль упругости при растяжении нлн сжатия. Тогда формула (19) преобразуется к виду бп= 2 д7Еааа+ (21) Абсолютное упругое удлинение Ь стержня под действием растягиваюп!ей снлы Р равно (22) Переходим к вычислению потенциальной энергнн системы. Выбрав положение статнческого равновесня аа начало отсчета, получнм потенциальную энергню снстемы равной цотенцнальной энергвн пружины. Иля спиральной пружнны постоянного раднуса потенциальная энергия может быть вычислена, как для растянутого нлн сжатого стержня.
Потенциальная энергня растяження нлн сжатия элемента длиной ~й равна 249 НССЛЕДОВАННЕ КОЛЕБАНИЙ Отсюда коэффвциент жесткости выражается формулой с У МЕ го (23) исключив прн помощи этого соотношения нз (21) пронзведенне ме, получим ! Паах = 2'сна ~ — / ~6, г.— сЛч1, ~ ~1е/ (27) б) 1 Х'и'(' к А 1 на авва — с — -- ~ сова — — ~ †. сЛэ 21чаа21ч28 а Сопоставив полученные два выражения для максимальной потенциальной энергнн пружины, замечаем, что в случае, когда масса пружкны больще массы колеблющегося груза, максимальная потенциальная внергнэ системы больше в па/8 1,234 раза.
Для нахождення собственной частоты колебаний системы эрнравниваем (в каждом случае отдельно) максимальные значення кннетнческой н потенциальной энергий: а) (28) 2 й'Л (ла+ 8 гл,) 2 ела, — йа ГЭ ~ва+ — Ш1~ — — СХ~. 2 '1 2 1~ 2 8 (29) б) (30) Отсюда находим собственную частоту: а) с — ПРН Ла ~ Ш~, %+ т~/3 (31) б) Л= — 1 — прн и~эг. 1 (32) 6П 2 агава а (24) Относительное удлнненне рассматриваемого элемента пружины равно (25) Внеся это значенне в (24) н проинтегрировав по всей длине пружины, находим потенпнальную энергию системы п =фы, ~ ф)'а, (26) Для вычисления максимума потенциальной энергии првмем, как н раньше, зависимость а от Х согласно (13) для случая а н согласно (14) для случая 6.
Тогда мы в рассматриваемых случаях соответст- венно получим а) 260 твояия малых движенин системы 1гл. хчгп Результат (31) совпадает с полученным ранее первым путем значением собственной частоты (8). Этого н следовало ожидать, так как в обоех случа»х распределение перемещений н скоростей вдоль пружины принято лвнейным. Значение собственной частоты колебаний в случае, когда масса груза меньше массы пружины (32), можно сравнять с известным точным значением собственной частоты колебаннй пружины без груза.
Положив в (32) значение ла. О, имеем (33) 2 У щ~ 2 г /ам~' что совпадает с точным решением. Если положить гл О в формуле (31) н сопоставнть с (33), то ошибка в етом случае может достигать десяти процентов. Заметим, что обе формулы (31) н (32) дают одинаковое значеняе собственной частоты прн гль/гл 2,63. Следовательно, формулой (32) следует пользоваться при значениях лг,/лг ~ 2,63. ф 8. Метод механического имнеданса Метод механического импедансз позволяет быстрее н проще, по сравнению с классическим методом (интегрнровання днфференцнальных уравнений двнження), рассчитать установившееся движеняе линейной системы, подверженной гармоническому возмущающему воздействию. Он применим к линейным системам с одной и несколькими степенями свободы, Прежде чем налагать сущность метода, остановимся вкратце'на векторном представлении гармонических величин, Рассмотрим на комплексной плоско- Ц стн Оху вектор Япостоянной клины Я, всходящий нз начала координат н вращающийся вокруг него с постоянной ыг угловой скоростью м (рис.
18.3). Проекция вектора на действительную Ю (ось х) н мннмую (ось у) оси в любой момент времени равны соответственно ОР х(/) = Усовы/, (1Я) Оа =у(Г) = Яз1 1 (2*) и представляют собой гармонические Рис" 1В.З. функция с амплнтудой Я н круговой частотой еь Сам вектор Я может быть представлен в виде комплексного числа в тригонометрической нлн показательной форме: Я= Я(созе/+1а1п аг) = Яе"".
(3) Переход от одной формы аапнсн к другой основан на известной 281 метод механического нмпнданса (4е) (б*) х (!) Ке ~ — „г (Уе'кн)~, .р (М) = !ш ~ — (Лемм)~, (бе) а также х = Ке ~ —, (Хенн)~, ! ДЗ [,из 3) = !ш ~ — (Яе'"')~ (8*) (9*) и т. д. Поскольку — (Лез") = !юуенн = !юу, Ф ез е!з — (уецн) =(!ю)з Хенн — шаг и т. д,, то, очевидно, что каждому дифференцированию вектора Я соответ- ствует умножение его длины на ю и поворот на 90' против хода часовой стрелки. На рис. 18,4 изображен вектор 2, а также его первая н вторая производные(ю 0,7). В более общем случае, когда вектор г. имеет внд У=*Ее 1~ т1, (1Оь) удобно ввести понятие комплексной амплитуды Я, имея в виду соотношение Хе'нм т> Яе 'тези=Ее'"'.
(1!е) Так как иа (11*) следует, что Я=Ее 'т=Л(сову-!з!пу),(!2з) Рвс. !8,4. то действительная амплитуда 2 равна модулю комплексной ампли- туды Е, т, е. 2=[2[ (!8 ) При решении задач часто приходится рассматривать несколько векторов, вращающихся вокруг начала координат с одной и той же формуле Эйлера ега =созе+!з!пй. Теперь функции (1з) и (2з), описывающие гармонические движения, можно представить как вещественную часть н мнимую часть (коэф- фициент при ! функции (3)), т. е. х (!) = Ке [Ле'~'), у(!) 1ш [т~ас) При этом имеют место соотношения твоэня малых движянин системы 1гл, хчпг угловой скоростью ы.
Естественно, что в этом случае представляет интерес только их взаимное расположение. Поэтому соответствуюшую векторную диаграмму строят в какой-то фиксированный момент времени, например при С=О. Положение вектора (10*) н момент Х=О совпадает с положением вектора, изображающего комплексную амплитуду (1й') Из алгебры известно, что сложение и вычитание двух и более комплексных чисел равносильно сложению н вычитанию изображающих этн числа векторов.
Поэтому при сложении врашаюшихся с одной и той же угловой скоростью векторов можно пользоваться правилом параллелограмма. На этом, однако, аналогия между комплексными числами и векторами заканчиваетса Так, умножение комплексных чисел и умножение векторов совершенно различные операции, а делению комплексных чисел в векторной алгебре не соответствует вообше никакая операция. При решении линейных днфференанальных уравнений введение комплексных показательных функпий види УеП'" У> вместо действительных гармонических функпий вида Есоа(ю1 — у) или Еа1п(гэФ-Т), как правило, зна(ительио упрошает выкладки и оказывается весьма полезным.
При этом используется следующая важная теорема. Если линейное уравнение лая дл-1л ях — +а,а„, +...+и. а, +а„х ря (14*) имеет действительные коэффициенты ага) и Р=гчт+(р„где гч, н г'а также действительны, то его решение будет комплексным: е = = х,+1х„причем хь и хя будут с Ю решениями уравнения (14*) с правой частью, равной соответственно г"'а и Ем Метод механического импеданса основывается на этой теореме, а также на том обстоятельстве, что 0 установившееся движение линейной системы, подвергающейся гармоническому возмушению частоты ю, опиРкс. 18,8. сывается гармонической функдией той же самой частоты ю. Поэтому для онределениа этого движения достаточно найти соответствуюшую комплексную амплитуду.
рассмотрим обшнй случай линейной системы с одной степенью свободы, падймйдаюшейся сннусоидальному возмушаюшему воздействию (рнс. 1б.б). Точка О обозначает положение статического равно- ) Овн могут быть постояанымв нлв фувкцнямв б метод мехАническОГО импедАнсА 263 весна, от которого отсчитывается координата х массы т. Жесткость пружины обозначена буквой с, а постоянная демпфера (ковффицнент пропорцяональности)- буквой а. движение рассматриваемой снстемы описывается уравненнем шУ+ай+сх=Ра1пюй (1бе) Введем комплексную возмущающую силу Р Ре'"'.
(16е) Очевидно, что действительная возмущающая сила Р31пои= 1шР. (1У ) установившееся движение системы происходит с той же частотой ш, но отстает от возмущения на фазовый угол ~р. Поэтому комплексную координату .аапнсываем в виде (10е) Х=Хе'1вг '». (18е) Тогда на основанян сформулированной выше теоремы действнтельное перемещение найдется как х(Г) 1ш Х= Хз1п(юФ вЂ” ф). (1йв) Х (Х) н ~р — аге Х (20*) Для этого следует комплексную функнию, стоящую в правой части равенства (18е), представить в анде Хешг, найти ее первую и вторую пронаводные по времена 1(Х от времени не завдсит) и подставить этн величины в левую часть уравнения движения (16*) вместо х, х н х соответственно, а правую часть уравнения записать в виде Рею( Тогда после сокращения на е™ находим Х=Хе 'в= с+ гак — яксз ' (21*) Зная комплексную амплитуду (21*), нетрудно написать формулы для действнтелы(ой амплитуды Х н фазового угла ~р, нспольвуя формулы (20е).
Имеем Х ! Р ~ Р ~- ~м ! Га=ймчт р (22*) (модуль частного равен частному модулей) и 2 (с-шва)+йке йс — — сказ (23е) Расчет установившегося двнження системы сводятся, таким образом, к определению комплексйой амплитуды перемещения Х=Хе 'Я, что равносильно нахождению велнчнн 2б4 твоэня малых двнжнннп систвьпз [юь хчти агй — — агй Е, где Е- любое комплексное чнсло). Подставнв най1 денные значення Х и ф в уравненне (19з), найдем установнвшееся двнженне системы, Прн решении конкретных задач с числовыми даннымн нет смысла пользоваться готовымн Формулами (22з) н (23в), которые пришлось бы в этом случае запомннть. Лучше, проделав все выкладки, найтн комплексную амплнтуду Х, а потом определить модуль н аргумент полученного чнсла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
