1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Вынужденные колебання снстемы с одной степенью свободы Если на систему, которая может совершать малые колебания около положения устойчевого равновесия, действует возмущающая сила, являющаяся навестной функцией времени, то возникают сложные колебания, Этн колебания являются результатом наложения вынужденных н свободных колебаний. Дяфференцпальные уравнения двнженея системы могут быть составленьг применением уравнений ЛагР"* *Р РМ бю Р ю ) А. С.
К, К. К. М ° Й. Н.И. Я Влияние неоднородности упругого поля опор на параметрические колебания жесткого вала, доклады Академии наук СССР, т. 193, Ей 6, 1970. 1гл. хтмг 216 теОРия малых движении системы 1'. Вынужденные колебания без учета сил сопрэ. т и я л е н и я. Обозначим обобщенную вовмушаюшув силу () (1). Тогда уравнение Лагранжа второго рода будет дг ~а4~ ад ад - ~ ~— ) — — - - — +(~(1), Д ~дТ~ дТ дП (1*) где и — обобщенная координата системы, Т-кинетическая энергия системы, П вЂ” потенциальная энергия системы. Полагая отклонения сестемы от положения устойчивого равно- весия малыми, можно представить кинетическую и потенциальную энергии в виде Т 1 аяа, П вЂ” — сйа, 2 (2") где в, с-положительные постоянные коэффициенты: а — инерцион- ный, с-квавиупругий коэффициенты, Внеся значения (2*) в уравне- ние Лагранжа (1*), получим линейное неоднородное дифференциаль- ное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами а(1+ей= Я(Г), (3*) или 98= — А ьг(т)81пА(т т)нт, 1 Г (Та) 9+А*4=-, ЯИ (4*) где введено, как и ранее, обозначение с/а=Аз.
рещение дифференциального уравненяя (4ч) в случае, когда возмущающая сила ()(1) является синусоидальной функцией нли может быть представлена рядом Фурье, дано зо втором томе (гл. ЧВ1, $4, п. 4'. Вынужденные колебания материальной точки). При произвольной зависимости возмущающей силы от времени решение уравнения' (4а) дается формулой д — уасоа М+ — „'81п А1+ — ()(т) 81п А(1-т)бт, (б*) 1 Г где йа и ~а — значениЯ обобщенной кооРдинаты и обобщенной скорости системы в начальный момент времени.
Сумма первых двух членов правой частя (б*) определяет свободные колебания системы, возникающие ив-за сообщения системе, находившейся в равновесии, начального отклонения и начальной скорости: да = л, соа Аг+ — '81п А1. (6*) Второе слагаемое правой части (б*) определяет вынужденные колебания системы, возникающие под действием возмущающей силы ()(Г), приложенной к системе, находящейся в начальный момент в равновесии: 217 ВЫНУДСДЕННЫЕ КОЛЕВАИИЯ СИСТЕМЫ Если Возмушзю|цее ВоздвйстВие приложено к системе в Виде единич" ного импульса 8 1, прилагаемого в начальный момент к покоя- шейся системе, то ее последующее движение дается формулой л = ьра (1) = — в1 п И; 1 ав (8ь) эта функция называется релнцплй системы на единичный импульс. Если к покояшейся системе приложить в момент 1=(г постоянную силу ы= 1, то движение системы определяется уравнением Ч Ь (1) ЧГТ (т) йт = Аь (1 — СОЗ нс).
1 Эта функция Ч'(1) называется реакплсй спсгнсмм на единичное зозмуяьсние илп лсреходной проводимостью. При решении задач на вынужденные колебания системы с одной степенью. свободы рекомендуется следуюшнй порядок действий: 1) выбрать обобщенную координату, определяющую положение системьг, 2) составить выражение потенциальной н кинетической энергии системы, выразив их через обобщенную координату и обобшенную скорость; 3) внеся выражения потенциальной и Кинетической внергии в уравнения Лагранжа второго рода, получить дифференциальное уравнение малых колебаний системы; 4) сопоставив собственную частоту с частотой возмушаюшей силы, определить„ будет резонанс или нет; б) проинтегрировав дифференциальное уравнение колебаний, найти уравнение движения системы.
Задача 18.19. На прямоугольной плите веса Рм установленной иа четырех симметричных пружинах жесткости с каждая, находится двигатель веса Р . Двнгатель имеет криво- н шип радиуса г, который врашается с постоянной угловой скоростью ю. )4а конце кривошнпа, массой которого пренебрегаем, л прикреплен груз М веса Ра. Полагзя, что движение начинается из положения статического равновесия н на- К задача !8.19. чальная скорость плиты равна нулю, найти Уравнение движения плиты и собственную частоту колебаний системы. Решение. Система имеет одну степень свободы, и ее положе.
ние определяется одной обобщенной координатой х, смешением по вертикали вниз от положения статического равновесия. Такое заключение можно сделать, так как угол поворота кризошипа является заданной функцией времени и не может поэтому рассматриваться как вторая 21В теогия малых движинин снстнмы 1гл. хтнг обобщенная координата, требующая своего определения. Йля составления уравнений Лагранжа второго рода, найдем потенциальную н кинетическую энергии системы.
Обобщенная потенциальная энергия «). системы запишется в виде П(х г), с (х+~„)а-(Р +Ра+Ра)х+Раг(1 соаюМ)+сопя(, 1 где са*=4с-суммарная жесткость четырех пружин, Д, -статическая деформация пружин, которая может быть определена ив условия минимума потенцяальной энергии в положении статического равновесия; д„~ „е саУа — (Ра+ Ра+ Ра) = ба дП! да ~а-О откуда Ра+ ра+ ра lаа = 4а 'Гогдз окончательное выражение потенциальной энергии системы примет вид П= 2е~х+ ' ' а) — (Ра+Р +Рйх+ 4а +Р,г(1 — созю1)+сопай (1) Кинетическая энергия системы складывается из двух слагаемых: Т=Т +Т, где Т, — кинетическая энергия плиты и двигателя, движущегося вместе с плитой как одно тело, Т,-кинетическая внергия груза, закрепленного на кривошипе Имеем 2 Ю (2) Кинетическую энергию груза найдем, рассматривая иго абсолютную скорость как геометрическую сумму скорости полюса Р и скорости во вращательном движении по отношению к полюсу Р.
Тогда Т = — — '= — — (та,+та,)(о,+ ). 1Ра 1Ра а 2 Переносная и относительная скорости по модулю равны оа=х, о.-юг Следовательно, Та — — ' мага + — — ' Ха + — ' Х юг соя (90' -)- Ы), где (90 +юг)-угол между векторзмн оа н та ') А. И, Л у р ь е, Аналитическая механика, Фиаматгка, 1961, стр. 195. 219 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕВАННЯ СИСТЕМЫ Находим д» = — (Ра+Ра+Ра)Х вЂ” — ыгз1пгвЕ, Ра д ('дТ') ! Ра и1Ы1= и а — ~ = — (Р,+Ра+Р).9 — — ыагсовыГ Е а дT — „=О д» дП ! Ра+р +ра, л =4с(Х+ ас ~ — (Ра+Ра+Ра)=4сх, д» Внеся зти значения в (б), получим (Р +Р +Р)»+~ х=Р' оааг г.~~а. д К Обозначая для краткости (О) ася Рагааг Р1+ Ра+ Ра ' Ра+ Ра+ Ра запишем уравнение (О) в аиде у+ Аах = )а соз ЫГ, (7) где А а! +р Р— собственная частота колебании системы.
.Г че Решением уравнения (7) является функпня х=ха+х„где ха— общее решение соответствующего однородного уравнения О+7аах=О н ха — частное решение уравнения (7). Следовательно, х = са соз де+ с, аш К+ —,, соа ют, л (8) йля определения произвольных постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями движения: прн г = 0 имеем х= О, Х О. Внеся этн значения переменных в (8), наадем са = аа — на ' Проднфференцировав (8), получим .Ф = 7аса ып Н+ йса соа И вЂ” „, з!п юд Ьы (9) Просуммировав (2) и (3), наедем окончательное выражение кнне- тическоЕ энергии 7'= — (Ра+Ра+ Р ) Ва+ — — 'гаага — — ~.евг в1п ааЕ.
(4) =ЕЕ Переходим к составлению уравнения Лагранжа второго рода 220 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ [гл. хч!и Внеся в это уравнение второе начальное условие, найдем се=О. Следовательно, уравнение колебаний плиты будет х — — соз лг+ е — — соз гвт.
Ь Ь аа — аФ аа:~ (10) Такпм образом, движение плиты склздызается из колебаний, имеющих частоту свободных колебаний (первое слагаемое правой части) и вынужденных (второе слагаемое правой части) колебаний. Задача 18.20. Твердое тело массы ш движется в прямолинейных горизонтальных гладких направляющих под действием силы притяжения к центру О, пропорциональной расстоянию от точки О до центра инерции тела (коэффициент пропорциональности с).
К телу приложена сила () ~ ре аг направленная вдоль.направляющих. В начальный момент центр инерции совпадал с центром О и его скорость равнялась нулю. Найти вынужденное движение тела. Решение. Выберем ось х совпадающей с горизонтальными направляющими и примем центр О за начало координат. Для составления дифференциального уравнения движения применим теорему о движении центра инерции в проекции на ось х. Имеем вау = — сх+Ре ег. где х — координата центра инерции тела.
Запишем уравнение (1) в виде х+лах=гте е' (2) где для краткости обозначено — йз с а Дальнейшее решение проведем двумя способами. 1-й. способ. Приложим к твердому телу вместо заданной возмущающей силы Я = Ре " единичный мгновенный импульс 8= 1 в момент времени 1=0. Под действием этого импульса тело получит начальную скорость 8 1 .'Са =~ — =— а лг' при начальных условиях Т О, хз О, х, = Цеь но не получит начального отклонения. Таким образом, движение тела прн 1 ь 0 найдется интегрированием уравнения у+ йзх= 0 221 вынтждннныи колввлния снстимы Решением является реакция системы на единичный импульс (8ч) х = фт (С) — а1п йг. (4) Если единичный импульс прикладывается не в начальный момент, а прн г=т, то вместо (4) движение тела будет опясываться уравнением 0 при г« л-ф(С-т)= 1 — а1п А(г — т) при Ф)т.
(б) яьь Представим действие произвольной силы ()(г) аа время от О до г как последовательное приложение бесконечно малых импульсов (б) но а (т) ° ит. Согласно (б) движение, вызываемое влементарным импульсом Ф8, определятся произведением (7) Я(т) фт(С вЂ” т)бт. результирующее движение определится как наложение движений, вызываемых каждым элементарным импульсом. Следовательно, движение тела описывается определенным интегралом с с ж ()(т) фа(й-т)бт — „,„Я(т) Мпй(Ф вЂ” т)~й.
(8) 1 Ло сих пор вывод сделан для произвольной возмущаюшей силы Я(С) н результат (8) естественяо совпадает с формулой (7*). Внеся в (8) значение Я(1)=Ре и, находим — — ~ е 'та1п(йт — И)Фт яй З1 или окончательно ,к = — (е + — а1п йе — соа йт). Р Г г а ш(аа+аа) 1 Вто и есть уравнение колебаний тела при нулевых начальных условиях движения. 2-й с п о с о б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
