1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пренебрегая весом тяги ВР, определить частоту собственных колебаний системы. Массу диска считать сосредоточенной в точке Е. Решение. Для нахождения частоты собственных колебаний системы применим уравнение Лагранжа. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота рычага АВ. Обозначим этот угол ф. Кинетическая энергия системы равна з =ула 2 + 70О 2 ° Ф' фг (1) где !лв — момент инерции рычага АВ относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести С; (оп в момент инерции вала ОР вместе с насаженным на него диском относительно горизонтальной своводные колевлння системы осн, проходящей через неподвижный дентр О; фд — угол поворота вала ОР. При малых движениях вертикальные перемещения точек В н Р равны, Следовательно, ВС ф=ОР.фд, откуда ВС фд=рПф.
(2) Проднфференпировав (2) по времени и подставив значение фд в (1), выражаем кинетическую внергию через обобщенную скорость 1, +, ~СС)~14* (3) Переходим к вычислению обобщенной силы. Пусть горизонтальное положение рычагов является положением статического равновесия. Обозначим угол поворота рычага АВ, соответствующий переходу от ненапряженного состояния пружин к положению равновесна, через ф,„ Даем углу ф бесконечно малое приращение бф нз положения равновесия, направленное против хода часовой стрелки, н записываем элементарную работу всех сил бА= — сд(АС)а(ф+ф„) бф-сд(ВС)а(ф-~-ф„)бр — М ОВбф,-а — бф, рр 2 нлн бА — сд(АС)аф ° бф-сд(ВС)аф бф— — ~сд(АС)д фы+ сд(ВС)в ф + М ОЕ )д+ Я вЂ” й1 бф, (4) где, согласно (2), л=ВС/ОР, Здесь элементарная работа сины упру- гости, к примеру пружины А, подсчитана по формуле бАд — — Вбх= — с,(х+х„) бх= = — сдАС (ф+ ф„) АС бф = — сд (АС)в (ф+ ф„) бф.
В силу уравнения равновесия квадратная скобка в (4) равна нулю и, следовательно, бА = Яч бф = — сдф ((АС)а+ (ВС)д) бф, откуда обобщенная сила равна (св = — сдф ((АС)в+ (ВС)д). Для составления уравнения Лагранжа подставляем в значения кинетической энергии (3) и обобщенной силы из (б). По- лучаем ~)аз+ )оп ~ — ).~ ф = — сд НАС)~+(ВС)в~ ф. (6) 188 теОРия малых дВижении систвмы 1гл.
хунг Найдем коэффицяенты этого урзвненяя, выразив нх в нГ, дм и сеш )~= — ° 3 = — у~п— - — + -(ОЕ)$ = — + — ' ° 14$. 12 12 9 О (00)$ Ф 2 ° 18$4,3 98 ' 8 ° 3 л 98 ° 3 98 Тогда ~вяз+/оп~оР) 1 =98Г12 9+( 3 +4,8.14$) 18.1 294 ст((АС)$+(ВС)$) = (4+ 12$) 32 148 ° 32. Внеся численные значения коэффициентов в уравнение (8), находим ф+Т82ф-О, Тогда собственная частота системы будет равна й = )/ 782 е"а 28 1(сан. Задача 18.8. Центробежный рстулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью е. Шары регулятора А я В веса Р каждый укреплены на концах стержней ОА н ОВ, шарнирно соединенных в точке О. Муфта М может перемещаться вдоль К задаче 18.8.
вертикальной оси. Муфта шарнирно соединена со стержнями МС и МР, которые в свою очередь соединены шарнирами С н Р со стержнями ОА и ОВ. Длины стержней ОА=ОВ 1, кроме того, ОС= = ОР=МС=МР. Стержни в положении динамического равновесия образуют с вертикалью углы ае. В некоторый момент регулятор был выведен ив равновесного положения и предоставлен самому себе. При этом будем считать, что угловая скорость регулятора ю вокруг вертикальной оси осталась неизменной (регулятор не соединен с ма- л своиодныэ колввяння систвмы Найти период его малых колебаний около равновесного положения.
Массой стержней и муфты пренебречь, Шары А и 8 принять за материальные точки. Решение. Разобьем решение на два этапа, Сначала опредблим методом кинетостатики положение динамического равновесия системы. На втором этапе, воспользовавшись уравнениями Лагранжа в обобшенных координатах, составим дифференциальное уравнение малых колебаний системы и найдем частоту и период этих колебаний.
Первый этап. Применнм к шару А в положениидинамического равновесия метод кинетостэтнкн. На шар А (рис. 6) действует сила тяжести Р, реакция стержня Ж, направленная по стержню АО. Катим силам, согласно методу кинетостатнки, следует прибавить силу инерции Я„. Тэк кэк шары вращаются с постоянной угловой скоростью ы вокруг вертикальной оси, то будет существовать только нормальная сила инерцив, равная по модулю ./„= Ыз1пссаыэ, где и — масса шара. Трн силы,г Р,йг можно рассматривать как находящиеся в равновесии (рис. 6). Строим силовой треугольник (рис. э), из которого находим Р (а ав .l„* шй!и ачыя.
Отсюда находится угол ач, соответствующий положению динамического равновесия: созач = —. э йФ ' (1) Второй втап. )хаем углу пч, образованному стержнями с вертикалью, малое приращение бсс=(). Тогда а =гээ+Р, (й) а шары начнут совершать малые колебания около положения равновесию Регулятор представляет собой систему с двумя степенями свободы. Примем аа обобщенные координаты угол а, определяющий отклонение стержней с шарами от вертикали, и угол ~р -угол поворота регулятора вокруг вертикальной оси. Составим первое уравнение Лагранжа для обобщенной координаты а.
Рассматриваем движение шара как составное: переносное (вращение вокруг вертикальной оси) н относительное (вращенне вокруг горизонтальной осн, проходящей через точку 0); находим абсолютную скорость шара по теореме сложения скоростей па+ пг 190 тновия малых движннни снстнмы 1гл. хщп л = с' соз сь 6г = — с з!и а бсс. Ее вариапия есть Элементарная работа силы тяжести 2Р, единственной активной силы, приложенной к системе, равна 6А =2рбл= — 2Р1з1п ссба, и следовательно, обобщенная сила равна Я~ — 2Р1з!Псс.
(4) Подставляем найденные аначенс(я кинетической анергни и обобщен- ной силы в уравнение Лагранжа (б) имеем дТ Р дТ Р вЂ” 2 — Рсз, — 2 — Рфз з1п сс соз а. до я ' дм и Заменив, согласно (2), получим вместо (б) 2 — РР— 2 — РФз з!и (ссз+ !)) сов(аз+ Р) = — 2Рс з!и (сгч + (2) (б) Р Р Ы Ы нли, разделив на коэффициент при старшей производной и заметна, что ф=ы, находим р-свая!п(аз+ !)) сов(аз+ р) =- ~ з1п(аз+ р). (7) Угол )), согласно условию,-малая величина.
Следовательно, з!п(сс,+Щ-:~з!пстя+)) совая, '( сов(ссч+ !)) ю совая — р з!и ич, )! где прнближенво принято з!и!)ж~, соз~ж1, (8) Модули переносной и относнтельной скорости равны !о,~=сз!псс в сз1па ф, ~о,~ !сь Заметив, что н, лежит в плоскости, совпадающей с ромбом ОАВМ, з о, перпендикулярна к втой плоскости, имеем о'=о,'+ о*, = Р(фаз!и'сс+аа). Кинетическая внергия двух шаров равна Т= 2 — = — Р(фаз!паса+ссз), лсзз Р 2 я (3) Переходим к определению обобщенной силы.
Вертикальная коор- дината шара л равна 191 своводныи колнвлння системы Внеся значения (8) и заменив аф= евсовач, согласно (1), в уравнении (7), получим Р— ыа(з!и а, + !3 соз аа) (соз ач — Р з!п ач)+ +оРсозач(а!п аз+ Р сова,) = О, нли Р+ю~з!п~аф+юяз!па созачря=О. ОтбРосив юаз!паасозачРа как величинУ втоРого поРЯдка малости, находим окончательно дифференциальное уравнение свободных малых колебаний центробежного регулятора ~)+гааз!паа Р = О. (9) Частота свободных колебаний есть й=ыз!па„ Период свободных малых колебаний равен Т= — = зп йк (1 О) а мйп Второе уравнение Лагранжа, соответствующее обобщенной координате ф, не потребовалось.
Это объясняется тем, что в условии задачи изменение координаты ф задано. Ее производная, угловая скорость регулятора при вращении вокруг вертикальной оси постоянна. Задача 18.9. Грув веса Р подвешен к не- растяжимой нити АВ, перекинутой через блок с неподвижной осью О. Вес блока Р. Его масса распределена равномерно по поверхности круга радиуса г.
Конец нити В прикреплен к вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой равен с. Определить колебания грува, если в начальный момент груз находился в покое, его вес уравновешивался натяжением пружины и ему сообщили начальную скорость ем направленную ~о вертикали вниз. Трением между осью блока и подшипниками пренебречь. Весом нити пренебрегаем. з Р е ш е н и е. Воспользуемся уравнениями К задаче !Вчц Лагранжа второго рода.
Выбираем ось х с началом в положении равновесия грува и направляем ее по вертикали вник Тогда координата х грува в произвольный момент времени полностью определяет положение системы и может быть принята за обоб- щенную координату. 192 твоэня мАлых движвнни снстпмы 1гл, хьчп Нинетическая энергия системы складывается ив кинетической энергии грува н кинетической энергии блока: льаа 1~в' Р 1 Ргз +ЯМ бз+ юе 2 2 2я 2 2я Напоминаем, что У Мга~2 =Р'гзЩ Скорость груза равна по величине скорости точки на ободе блока Следовательно, окончательно выражение кинетической энергии системы через обобщенную скорость принимает внд т=~~,~+ — "2~А' Для определения обобщенной силы дадим системе возможное перемещение бх и составим элементарную работу задаваемых сил, Элементарная работа складывается из работы силы тяжести грува н работы упругой силы пружины 6А = Р бх- с (х+ М бх = (Р— с Ь- с х) бх = — сх бх, ибо в положении равновесия сЬ=Р.
Буквой Ь обозначено статическое удлинение пружины. Обобщенной силой является коэффициент при возможном перемещении бх в выраженно для элементарной работы Я = — сх. Заметим, что в этой задаче обобщенная сила Я может быть легко вычислена н другим путем. Составим выражение потенциальной энергии системы, выбрав ва нулевой уровень положение равновесия грува Р. Тогда П вЂ” сха 1 2 и обобщенная сила равна дП Я= — — „= — сх, дх что совпадает с (1), Составляем уравнение Лагранжа.
Так как то (Р+ — ) — — сх, или У+ — — х= О. сд Р+о,бР 193 своводиыв колевания системы Решение этого однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид .«= аа1п(лг+()), (2) где частота л находится иэ равенства йа сй Р+О,ЬГ ' Проиэвольные постоянные интегрирования а и р определяются из начальных условий при С =О имеем л,=О, Еэ — — оа. Подставив эти аначения в (2), находим О=аа1п1), нли 13=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
