1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(31) 2Ь В заключение займемся определением уравнения движения аппарата по вллипсу. Лля етого надо воспользоваться уравнением (7), в котором постоянная рг подлежит последующему определению. Введя обозначение В тг вг гвв г2 в7~~' а 43 увлвнение гАмильтонА-якови (Наиомним, что Ь(0.) Тогда 2Ь еà — — й =!(л, т. е.
й г ю лл -2ма Поэтому интеграл, стоящий в формуле (30), можно эаписать в виде яг ! ( лл 1 Х с ь— — агса1п —, г2ы 'Фгй~~ — э г — ж л1 Ф ээ Нспольаовав равенства (31), найдем Ыг ! ! )а(2гл+мй))') (32) Г2Бэ+2 ~я ~ ~ -2 ~ глщ~тт2~ Внеса выражение (32) в формулу (30), получим аначение В. Затем подставив его в уравнение (26), найдем т- ре = — ")~2лгйга+ 2ягй!тег — ае— ! Б ы~'1 -Ы ~ каи" +мй (вч эг ~+~~' ' Для определения постоянной интегрирования р подставим в (ЗЗ) начальное условие движению при Г=О имеем г г,„Найдем ! ))в = —— 2Л + — 1 Й(2д+ аО ела агсе1п у.лй э ' 2В„ Внесем это вначение ))а в формулу (33) и одновременно ааменим в ней а и й с помощью выражений (8) и (9).
После несложных преобразований окончательно получим ) 'е/ — (геоа - 28йа)+ ',Лег — г3о3 е!па 3 — геоа сое 6~ + геях — 2Е)1~! Г го +~~" ~- ! ъ гэ"в й)1ь (гы 6 — 2ЕА')' ~ йа ' — (гав-2И') г РЗ Мп' — (гчэ„' — 281!') + дйь о (34) +(гьо! — 2яйе) гро® е)п~ Е.) ' Напомним, что в этом искомом уравнении движения аппарата по эллипсу переменнымн величннамя являются г н ~, начальное положение аппарата определено параметрами г,„о> и 3, л — ускорение силы тяжести у поверхности Земли, Я вЂ” радиус Земли.
Движение аппарата по эллиптяческой орбите имеет место прн выполнении УсловиЯ гчо,' — 28йа(0. Аналогично можно получить уравнения движения космического аппарата по параболе и по гиперболе, 158 элементы АнАлитическон мехАники 1гл, хти Применение уравнения Гамильтона — Якоби при решении двух последнях задач окззалось целесообразным, ибо дало возможность одновременно определить как уравнения движения, так и уравнения траектория точки.
ф 6. Принцип Гамильтона — Остроградского Рассмотрим голономйую материальную систему с тремя степенями свободы. Любому частному значению времени Г=гч соответствует значение трех обобщенных координат ут у», у»=да~ ча=ч»в одно значке определяющих положения всех точек системы. Построим систему осей координат рй ца, оа (рис. 17.1) и обозначим в ней точку М с координатами ц1», ет», д»», которая называется изображающей точкой. Пространство, связанное с системой осей рь да, ~уэ называется лроегирамелюом конфигураций.
При движении материальной системы обобщенные координаты дм и, уа изменяются ггг Ряс. 17Л. Рве, 17.2. в зависимостн от времени. Прн этом изображакяцая точка М описывает траекторию, называемую члркмым лулсем». Так, за промежуток времени Ьг *та — Гт изображающая точка опишет чпрямой путь» М,Ма (рис. 17.2), причем моменту времени ГА соответствует положение М„ а моментУ Га — положение Ма.
Если голономнав материальная система имеет з степеней свободы, то изображающая точка М движется в пространстве з измерений. Значит, в любой момент времени положение изображающей точки М в пространстве е измерений определяется с помощью з обобщенных координат дп у„... „дг уравнения «;=у,(Г), д,=дт(Г), ..., ~у, у,(1) описывают движение данной материальной системы.
Это движение происходит под действием системы приложенных к неи сил прн наличии заданных начальных условий движения. Рассмотрим возможное движение этой материальной системы, допускаемое наложенными связями. Оно описывается уравнениями: Ь =у»+бум ца =Фа+бра °" Ь =у»+бйг При этом изображающая точка, которая ранее двягалась по чпрямому ПРИНПИП ГАМИЛЬТОНА-ОСТРОГРАДСКОГО 169 6 8=~ ЕйЕ (1*) П где Е Т вЂ” П-функция Лагранжа. Движению изображающей точки М по «прямому пути» М1М» (сплошная линия на ряс. 17.2) соответствует дедстзятельное движение материальной системы за промежуток времени АГ=Г« — ГР Вычислив кинетическую знергню Т, потенциальную внергию П и затем функцию Лагранжа Е, определим по формуле (1') величину действия 8.
Движениям изображающей точки по «окольным 'путям» (штриховые линии на рис. 17.2) соответствуют возможные взрьированные движения, допускаемые связями, за тот же промежуток времени АГ = = Гз — Гь. При атом Т, П и Е будут иметь другие значения. Вычислив действие Ю по Гамильтону при движении изображавшей точки М по «окольным путям», получим значения Яь 8» и т. д. Сопоставив значение 8 с соответствующими значениями 8Ь бм ..., можно обнаружить, что при движении по «прямому пути» действие имеет зкстремальное значение (максимум или минимум).
Это имеет место при равенстве нулю первой вариация действия по Гамильтону. Принцип Гамильтона — Остроградского можно сформулировать так: если при движении материальной системы, подчиненной идеальным, голономным связям, находящейся под действием потениаальных сил, «прямой» и «окольные пути саединяются в крайних точках, то при движении системы по «прямому пули» первая вариация действия 8 равна нулю, ль е. действие илсеет стаиионарное вначение: г, бг=6$ Ей1=6. с, Можно показать, что при достаточно малом промежутке времени АГ действие Ю достигает минимума при движении иаображающеп точки по «прямому пути», по сравнению с ее движениями по «окольным путям», ва один н тот же промежуток времени АГ (см.
А. РЕ Лурье, Аналитическая механика, Физматгиз, 1961). (2 ) пути», получит другую траекторию, называемую «окольным путем». Так как вариации обобщенных координат бап 69» ..., 6о«произвольны, то нвображаюшая точка может иметь бесчисленное множество «окольных путей» (на рис. 17.2 «окольные пути» изображены пунктирными линиями). Наложим следующее условие на вариации обобщенных координат: будем считать, что на концах интервала (Гь Г») они равны нулю, т. е. при Г Гь и Г=Г» будем иметь ба»=бр =...=69, О. Это значит, что в точках Мд и М, «прямой путь» и «окольные пути» соединяются (см..
рис. 17.2). Введем понятие действия Ю по Гамильтону: 1ВО влемвнты АнАлитической мехАники 1гл, хуи В более общем случае, когда отсутствует условие потенциальности сил, имеет место интегральный принцип Гамильтона — Остроградского 4 ~ (ЬА+ЬТ)вт О, (Ь') где ЬА-работа активных сил на возможных перемещениях точек системы, а ЬТ вЂ” вариация кинетической инертна. Надо помнить, что в интегральном в вариационном принципах Гамильтона — Остроградского сопоставляются величины действий 8 при действительном и возможном движениях материальной системы, т.
е. при движениях изображающей точки по «прямому» и «окольным путям» за один и тот же промежуток времени Ы= аз †. (В других вариацнонных принципах, не излагаемых в втой книге, накладываются другие условия.) Общность интегрального и вариационного принципов Гамильтона — Остроградского заключается в нх независимости от выбора какой-либо определенной системы отсчета.
Этими принципами пользуются при составлении дифференциальных уравнений движения материальных систем с распределеннымв параметрами, при выводе различных форм уравнений динамики, например уравнений Лагранжа второго рода, канонических уравнений Гамильтона 1»1 У и др„а также при решение задач дина- Р/1 мики приближенными методами (см. задачи 20.12 и 20.13). Кроме того, вти принципы являются исходной точкой обобщер 1 няй на неклассические области механики ! (волновая механика, квзнтовая механиЮз ка и др.), Задача 17.27.
Вычислить действие 8 т по Гамильтону для случая свободного па- К задаче 17,27. денна с высоты й материальной точки массы т (см. рисунок). Сопоставить полученный результат с велнчвной действия 8 при варьированном движении, описываемом уравнениями У О, у за1пи)/ $(, Я=л —, где в-постоянный малый параметр. Решение, Свободное падение материальной точки происходит по закону ,«-о, у=о, ЕР (1) 162 влимннты аньпнтичнскон мнхьники 1гл. хчы (13) Точке 0 соответствует момент времени Гт= О, а точке М, — момент /з =*3/ 2/г/й. Подставив в уравнения (1) и (10) аначение Гт = О, получим х = л= О, у у = О, л = з = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
