1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(2) (8) в потенцналь- механической Н=Ь, Ь=Т+П. где По условию П=П(г). Поэтому, учтя выражение (1), найдем Ь 2 (Р'+г'ф')+П(г), (6) Координата ф явно не входит в (6) и поэтому является циклической. При подстановке выражения (6) в функцию Гамильтона (4) надо использовать соотношения (8). Получим (Т) Напомним, что в случае консервативной материальной системы уравнение Гамильтона †Яко имеет вид Н=Ь.
(8) Используя в (8) функцию Гамильтона (7), надо заменить в ней р, на д8/дг, а рч — иа дЯ/дф, где Ю-пока неизвестная производящая функция. Выполнив эти замены в (8), получим уравнение Гамильтона— Якоби ,вЂ”Ч вЂ” д) + — '(-д-) ~+П(г)-Ь- (2) Так как система консервативна, а координата ф является циклической, то, использовав формулу (21ч), приведенную в обзоре теории, запишем Ю= — ЬР+аф+ Я, (г), (10) УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА ЯКОВИ где механическая энергия л и постоянная и одновременно являются новыми постоянными обобщенными координатами, подлежащими ПОСЛЕДУЮП1ЕМУ ОПРЕДЕЛЕНИЮ.
Использовав функцию (10), найдем д~6 4~6 (11) Внесем результаты (11) в уравнение Гамильтона — Якоби (9): — ~( — 6) + — ",~+П(г)= гг. (12) Оно в данном случае оказалось обыкновенным дифференциальным уравнением, Решив уравнение (12) относительно «86/«г, получим «36 . Г а6 — 1Г2 (Ь-П) —— «г г6 ° (13) откуда «О6= 1гг 2т (гг — П) — —, «г, т. е. г6 аа 86= ~ ~/2т(й — П) — —, «г. Внеся результат (14) в формулу (10), получим преобразующую функцию в виде Ю= — Ы.+сгф+ ~ 2т (Й вЂ” П) — — а«г. (15) г дЯ Рг= д дд Рв= дф' д8 дЗ 11= —— да' Использовав выражения (13) и (16), получим «86 аа р,= — ' = 1тг 2т(л — П) — — рч=а, «г га д г Г а6 ~)1 — ф — — ~ ~г 2т ()г — П) — — «г дад гг г6 д г Г а6 р6=1 — — ~ агг 2т(л — П) — — «г.
да 3 Р' гй (16) (17) (13) Для определения зависимостей между старыми обобщенными координатами г, ф и старина обобйенными импульсами р„рр, а также новыми — постоянными обобщенными координатами й, и и новыми — постоянными обобщенными импульсами р1 и (1 применим формулы (236), приведенные в обзоре теории. В данном случае эти формулы имеют внд влиминты аналитическом михлннхн 1гл. хты Вычислив частные производные в (17) в (18), запишем: г' ~ 2т(Л-В)— гя гв яг (16) (20Р ия 2ги()1- П) Уравнения (16), (10) и (20) содержат четыре неизвестных постоянных Ь, а, 1), и 1)а. ЛлЯ вычислении нх воспользУемса начальными Условиями движения: при г=О имеем г гм ~р О, Р Рм ф=ф„, Значение потенциальной внергии П в момент с = 0 обозйачим через П,.
Использовав выражения (2) в формуле (16), запншем иа глР= 1/2ш(й — П)- —,„глгаф а. (21) Заметим, что формулу (23) можно было непосредственно получить, подставив я (6) г=гм Р=Р„ф=фм П =П,. Внеся результаты (22) и (23) в уравнения (19) и (20), запишем ()ь= %+шгофо ~ (24) г )Г' 2тг( — (Г1+г)ф1)+По — П~ — ю'г1ф,' 2жгя ~ — (Р1+ г1фВ+ Пэ — П~ — яяг1ф1 )(ля вычисления интегралов, стоящих в (24) и (25), надо знать функциональную зависимость П = П (г) (см.
следую шую задачу). Затем, использовав начальные условия движения, следует определить постоянные Вт н ~„ Соотношение (24) является искомым уравнением траектории мате. риальной точки в полярных координатах, а выражение (25) †искомым уравнением движения точки. Задача 17.26, Воспользовавшись условием и решением предылушей задачи, рассмотреть движение космического аппарата под действием силы притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния от аппарата до центра Земли.
Ускорение силы тяжести у поверхности Земли равно л, Й вЂ” радиус Земли. Подставив во второе уравнение (21) г=г,„ф *ф, найдем <а шгофи (22) Внеся в первое уравнение (21) г=г„Р=Рм П =П, и использовав результат (22), получим тРа=К2лг(л — Па) — таг,'сД, откуда й - — ",(Р:+ г,'44)+П.
(23) 1бй $4) уРАВнение ГАмильтонА-якови где и- коэффициент, подлежащий последующему определению. На поверхности Земли, т. е. при г=Я, сила Р равна силе тяжести Р. Поэтому для определения коэффициента и внесем в формулу (2) значения г = )с, Р, = — Р = — тК, где буквой т обозначена масса аппарата. Получим — ту= — Л/Щ откуда й = туйо. Подставив это значение л в формулу (2), найдем Я4ЕЯ' Р,= — —.
го Перейдем к вычислению потенциальной энергии П. Напомним, что потенциальная энергия равна величине работы потенциальной силы при перемещении материальной точки из данного положения в нулевое. Приняв во внимание, что прн г -4-оо мы имеем Р-ь О, запишем П= ~Р,Ыг. Г Использовав выражение (3), найдем Гя'г 1 Ко П = — тй4(о ~ —,, = твайт — ~ Г войско П Г (4) В начальном положении аппарата прн г= го имеем оой114 По = — —. то (б) Найти уравнение траектории и уравнение движения аппарата, считая его материальной точкой.
В начальный момент аппарат отстоял от центра Земля на расстоянии го и имел начальную скорость но> образующую угол 9 с вертикалью (см. рисунок). Силой сопротивления движению пренебречь. У Решение. Проекции начальной скоРоста оо на оси го и 4Р, Равны г М но=44 оосозяэ (1) У о Фо ооч = гофо = ноз1п О. 4Г а По условию проекция Р, силы гго го притяжения Р на ось г выражается зависимостью А Ро 44 в (2) К задаче 17.26. 164 1гл, хчн алименты АнАлитнчнскои мехАники Использовав завнсимости (1), (4) и (б) в формулах предыдущей задачи (19), (20), (22) и (23), запишем: () = — ф+~ (6) г га щг лг 1) =/в св = щгаоа в1п 6 (3) И =, †, (г,'а — 2~йв).
(9) ~та После вычисления интегралов, стоящих в формулах (6) н (7), получим искомое уравнение траектории и уравнение движения ракеты. Обозначим ннтегрзл формулы (6) через А. Сделав подстановку (7) 1 — 8 г и найди — Ыг/та=да, запишем: А= ива Р 2ща+2щаййав оааа' (10) добавив и отняв под знаком радикала тайв/са/сва, получим алг 3 у" где обозначено щайа/14 у =1~ 2тИ+ —, аа (12) Сделав в интеграле (11) подстановку щайоа саа — — = Л„ (13) откуда = — + -- сов(4Р+Ра).
щах/аа найдем аа/ю=аЬ, т. е. Агз=Ых/а. Теперь интеграл (11) примет внд А = ~ , т. е. А = — агссов — . Внеся вто аначение интеграла дх х в формулу (6), найдем 1)а= — ~р — агссов (х/у), откуда х = у сов (ар+ 1) „). (14) Использовав в уравнении (14) формулы (12) и (13), получим щааР' свз — — =усов(ар+ 1)), 166 ввлвнинив ГАмильтонл-якови Применив (1О), запишем 1 Г=„,, ав Ф вЂ” + — со И+В) т.
е. (15) 1+ —, сов (ф+ рв) ат Введя обозначения гвов мов З Р= йв „( «$ — 2аив р' '6 а'в' (21) (22) Траектория аппарата является: а) окружностью прн е=0, б) эллипсом прн 0(е(1, в) параболой при е=1, г) гиперболой прн е «1 (см., например, подробнее исследование уравнения (19) в задаче 8.33 второго тома, стр. 72 — 74). Определим угол рь фиксирующий положение оси симметрии трзектории аппарата. Полярные координаты начального положения аппарата равны г=г„вр=0.
Внеся вти значения в формулу (16), найдем ав т~ф~' г (23) 1+ — сов рв жв81~ ав (16) е= — ~ оввай" (17) ф=вр+Ь (18) получим искомое уравнение (16) траектории аппарата в виде 1+есовф' (19) Как известно из курса аналнтичес)сои геометрии, уравнение (19) является уравнением кривых второго порядка в полярных координатах, причем р (см. (16)) называется параметром кривой, а е (см. (17)) — ее зкспентриситетом. Угол 1)ь значение которого пока не определено, фиксирует положение оси симметрии кривой.
Внеся в (12) значения (8) и (9), найдем г зв )l г (~зов 287( )+ гвов авива (20) Затем, использовав в формулах (16) и (17) соотношения (8) и (20), получим 166 1гл. хтп влимвнты аналитической мзхлннкы Решив уравнение (23) относительно совр„получим ав — твгвйпг соя ~в ~ гват Подставив в это равенство значения (8) н (20), после несложныя преобразований найдем г,з1 Мпв а — й» соз рг гвввв (гвввв — 2ййв) Ипг а+йвйг запишем уравнение (7) в виде с-Рг=у (26) При движеннн аппарата по вллнпсу вксцентрнснтет е меньше единипы.
В соответствии с формулой (22) это имеет место при Условии гвов- 26йг( О, ПРи атом полнаЯ механическаЯ внеРгив Ь (см. (9)) оказывается отрвкательной: Ьа О, Бля вычисления интеграла (26) сделаем подстановку: 2тйг'+ 2зггййгг — иг .з. (27) Вычислив двфференшыл (27), найдем 4тЬг г7г+ 2тгЯ~ г(г = г(г. Принвв во внимание (27) и (28), запишем интеграл (26) в виде 1 в ммфй~й' г„'вв ~ лг -в ~ в ~ г2 вв — ~'" и ~ в2 в,*.~.я~в -~ (28) 1 Г йг твдФГ аг в — ~ 1=- — ~1 (29) 2Ь ~ 2$/г 2Ь 3 ~/2тлгв+2тййвг-аг' Вычислив первый интеграл в (29), получим 1'яви~| а Для вычисления интеграла в (30) воспользуемся равенством 2тйг'+ 2тзййгг -и' тая%в-1-яааг т 2Л 2Ь + — (2гЬ+ гщйз)г, Затем обозначим ясГ в2мв 2Ь вЂ” "— ° (2гЬ+ тийз) =.в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
