1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Взяв первые н вторые производные по времени функций (2), получим У = — айда!и й», У = — айй а!и й» вЂ” айяда соа й», (7) аИ соа й», я= айу сов й» вЂ” айггг а!и й». Подставив значения (7) У и у' в уравнение (6), после несложных преобразований получим лг2=тл — глагйг», т. е. (8) где обозначено ! -1-агйг По условию кольцо в начальный момент находилось в покое в положении Мг, т. е. при Г О» 0 и Е=О. Поэтому, проинтегрировав дифференциальное уравнение (8), получим ЬР Е=дг, »= —, ° 2 (9) Подставив значение» из второго уравнения (9) в уравнения связей (2), найдем АЬ! АЫг л= — асов — у= а г!П— 2 ! (10) Совокупность уравнений (9) и (10) определяет искомые уравнения движения кольца.
Частные производные левых частей — =О, — 1, д!г д!г дг ' ду уравнений (2) равны -дг =айз!Ей», дгг — =* — ай соа». д(г дг 119 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА а в! Переходим к вычислению реакции проволоки. В соответствии с уравнениями (11в), данными в обзоре теории, проекции искомой ревкцян равны к дк ' У Аду +Льду ~ Йк= Лв д +Лв д дй ЬГв Подставив вначения (3), получим Й„= Ль Йу — — Лв, й, = Лчай в!п Ьк — Лвай сов Ью Из лервых двух уравнении (5) следует Лв — — тУ, Л, = ту'. (11) (12) Теперь уравнения (11) прннимают вид й =тх, й„=т3Л й,=таЬУв!НЬк — таЬРсовйг. Использовав значения х, у я к из формул (9) н (10), получим после очевидных преобразований АЬН АЬН ~ Й вЂ” таИ ~в!п — +ЬЬР сов — ), АЬН АЬН ! Й =тодд сов — — ЬЬЬв в!п — ) т ! 2 2 )' Й, = — тавдвд, (13) где 1+авва Направляющие косинусы могут быть вычислены по формулам Йк Йт Йк сов(х, Й)= —, сов(у, Й)= — ~, сов!,к, «)=-й., Применение в этой задаче уравнений Лагранжа первого рода для определения реакции проволоки оказалось целесообразным, ф 3.
Канонические уравнения Гамильтона 1'. Обобщенные импульсы. Обоба!елмым цнлульсолв рн соответствующим обобщенной координате уь называется частная проивводнвя кинетической энергии Т по обобщенной скорости Еь т. е. ЬГ Р! =— дт! ' (1') Модуль реакции равен й= у'й;+йу+й,". После подстановки значений (13) найдем й = таЬЬ'|'! + авда + Ьвдвьв. 120 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 1гл. хтп Число обобщенных импульсов материальной системы равно числу ее обобщенных координат. Значит, число обобщенных импульсов равно числу степеней свободы материальной системы.
Размерность обобщенных импульсов зависит от размерности соответствующих обобщенных координат (см. задачи 17.7 и 17.8), Обоб. щепные импульсы применяются в канонических уравнениях Гамиль. тона. Если на материальную систему с з степенями свободы наложены голономные стационарные связи, то кинетическая энергия системы является однородной квадратичной функцией а обобщенных скоростей !)и фв ..., фм т. е. Т вЂ” (ага4 ! !+ амит+... + а,Я + 2 ага!Яа + +2ааа!)т!)а+...+2а! ! !р !),), Здесь коэффициенты агт зависат от обобщенных кооРдинат !7„ р„..., <7, и времени т.
Применение формулы (1*) приводит к результатам: дТ рт — =инта+итака+ "+ ими = ~'„иа!!)г, д4~ ! ! ОТ Р, — =аа!)а+а,4я+...+и„»,= ~', аа!1)г, д~д 3=! (2*) дТ Р = — =а т1)т+ам4а+". +аЩ =,~„а,в)!. д!)~ ! ! !)!=А0?ь рь "~ ра> Рь ра1 .." Рз)! 1З ) где1=1, 2,..., д Задача 17.7. Вычислить обобщенные импульсы материальной точки массы гл и выразить обобщенные скорости в завнсимости от обобщенных импульсов и обобщенных координзт, если движение точки аздано: а) в декартовых координатах, б) в полярных координатах, в) в сферических координатах.
Р е ш е н н е. а) При движении матернальной точки массы ла в декартовых координатах ее обобщенными координатами являютси В соответствии с формулами (2ч) обобщенные импульсы являются линейными функциями обобщенных скоростей. Решение системы уравнений (2ь) относительно обобщенных скоРостей уп Ря, ..., Р, дает возможность выРазить их в зависимости от обобщенных импульсов рь ра, ..., р, и обобщенных координат д„!)а, „., !)и входящих в козффициенты а!Л т. е. 121 клноничвскии ввьвниния гамильтона Обобщенным координатам ж, у, я соответствуют обобщенные импульсы р р, р Использовав выражение (1), найдем дТ дТ дТ Р» да ~~' РГ= д =~Уф Ре дз т В т.
е. обобщенные импульсы равны проекциям количеств движения материальной точки на соответствующие декартовы осн координат. К аадаче 17,7. Рещив систему уравнений (2) относительно обобщенных скоростей .Ф, р, Ф, имеем М -к р* — д р Ру Ра т ' т ' т В данном случае обобщенные скорости являются пикейными функциями обобщенных импульсов и не аависят от обобщенных координат ч,у, ж б) При движении материальной точки массы т в полярных координатах ее обобщенными кооРдинатами ЯвлаютсЯ 7т г, да ф. ПРи атом обобщенные скорости равны фа* г, ра=ф. учтя, что о'= га-)- +г'ф', напишем кинетическую энергию в виде Т вЂ” теа = — т (уа+ гафа). 1 1 2 2 (4) Обобщенным координатам г и гр соответствуют обобщенныв импульсы р, и рв.
Испольаовав выражение (4), получим д7' д7' р = —. тг р — = тг'ф. дг ' и дф д =.е, р =у, ра=ж При этом обобщенные скорости равны ~ь .У, да=Я, Ра=д, а кинетическаа энеРгиа имеет вид У= —, и*- 2 тЫа+Р'+йа). 1 1 (1) элементы АнАлитическои мехАники [Гл, ХУАН Решив систему уравнений (5) относительно обобщенных скоростей г и ф, найдем Ре . Рч г= — ф=— (6) Г *= — тва = — т (р'+ раф' а1па В + рздв) 1 1 2 2 Обобшенным координатам р, гр, 6 соответствуют обобщенные импульсы рр, р, ра. Использовав выражение (7), найдем дТ .
дТ я . ВТ ре= —.=тр, рч — — —.— — тр'а1п'6, ра= —.=трай, (8) др ' дф ' да Решив систему уравнений (8) относительно обобшенных скоростей р, ф и В, получим РР . Р, Ра р=-. ф= —. 6= ю' жрянпаа ' жр' (9) В данном случае обобщенные скорости ф и В вависят не только от обобшеппых импульсов, но также от обобшенных координат. Задача 1У.В. Твердое тело врашается вокруг неподвижной оси а по вакону ф=У(1).
Момент инерпии твердого тела относительно, оси л равен У,. Приняв угол поворота <р ва обобщенную координату, определить обобшенный импульс. Р е ш е н н е. Кинетическая энергия твердого тела, врашаюшегося вокруг неподвижной оси, имеет внд Т вЂ” !,фа. (1) Использовав выражение (1), вычислим искомый обобщенный импульс.' р = — =уф дT дф (2) В данном случае обобшенный импульс является главгыч моментом количеств движения твердого тела опюснтельно его оси врашения г. 2'. функ пня Гамильтона. Функцией Гамильтони Н нааывается выраженив Н=~", р,61 — у., (4*) 1-1 В данном случае обобщенная скорость ф зависит не только от обобщенного импульса р, но также от обобщенной координаты г. в) При движении материальной точки массы т в сферических координатах ее обобщенными координатами являются Вт=р, е =ю, да=В.
Соответствующие обобщенные скорости будут Вт=р, ра=~р, Фз= 6 Учтя, что ва=ра+рафаа1паВ+рйба, аапишем кннетическу|о энергию в виде 123 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА где 1.=Т-П-функция Лагранжа (кинетический потенциал), з— число степеней свободы материальной системы, Д вЂ” обобщенная 1-я скорость, рг †обобщенн 1-й импульс.
Обобщенные скоРостн Уь входвщие в фУнкцию Гамильтона (4ч), должны быть выражены в зависимости от обобщенных координат д~ и обобщенных импульсов р, (см. формулу (3*) в обзоре теории предыдущего пункта). Поэтому функция Н, вообще говоря, имеет вид Н=Н(г рь М где 1=1, 2„..., ж функция Гамильтона, которой приходится пользоваться при составлении канонических уравнений (см. следующий пункт этого параграфа), имеет размерность энергии, В случае стационарных связей функция Гамильтона Н равна полной механической энергии, т. е. Н= Т+П.
(6ь) Обобшеняые скорости уь входящие в выражение кинетической энергии Т в формуле (6"), должны быть вырзжены в зависимости от обобщенных координат д, и обобщенных импульсов р, (см. формулу (Зь)). Итак, при наличии стационарных связей функция Н зависит от обобщенных координат ль обобщенных импульсов р, и не зависит явно от времени 1: Н=Н(вь р,), (7") где 1=1, 2, ..., з. Если нз материальную систему наложены нестационарные связи, то при составлении функции Гамильтона приходится пользоваться формулой (4ь).
При стационарных связях проще применять формулу (6"), В этом случае рекомендуется след ующая последовательность действий: 1) выяснить число степеней свободы материальной системы и выбрать равное ему число обобщенных координат; 2) вычислить кинетическую энергию Т материальной системы, выразив ее в зависимости от обобщенных координат и обобщенных скоРостей, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
