1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 16
Текст из файла (страница 16)
д! дг дг (11) Использовав выраженяе (10) в уравнении (11), найдем искомов дифференциальное уравнение для координаты г азг (1,+ю 'Р (12) и лишь после исключения нз нее !р н !р пришли бы к уравнению (12). Задача 17.2, Решить предыдущую задачу, считая, что трубка ОА Фь приводится мотором в равномерное т!з вращение с угловой скоростью ю„ Р е ш е н и е. В данном случае ' ег Фг трубка ОА реализует для шарика гИ нестацнонарную связь, вращаясь У с угловой скоростью юе Положе. иие шарика А4 относительно трубка ОА определяется с помощью обоб- К задаче !7.к щенной координаты г.
Абсолютную скорость шарика вычислим с помощью теоремы о сложении скоростей п„=е,+в„ Имеем о, = гюв и Р. Значит, ъчг = гав~+ ра. Кинетическая внергня шарика равна Т = — гло,' = — лара+ — шгао4 а 2 2 2 Заметим, что с помощью уравнений Лагранжа (8) мы получили бы систему Р— пра = О, 2тг)чр+(1, + лага) <р =*0 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 1гл, хтн В соответствия с формулой (4*), приведенной в обзоре теории, найдем (2) где Т,— квадратичная функция обобщенной скорости г', а Т, не содержит обобщенной скорости. Движение происходит в горнзонтальной плоскости, следовательно, потенциальная энергия равна нулю: П= 0, (3) и функция Лагранжа (.=Т вЂ” П имеет выражение (1» (. = — тРа+ — т гааз.
1 1 2 2 (4) В данном случае первым интегралом является обобщенный интеграл энергии (см. (бь) в обзоре теории) Т вЂ” Т +П=С, (б) ибо функция Лагранжа (4) явно от времени не завнсит. Использовав в (б) выраженяя (2) и (3), найдем искомый первый интеграл Ра — гваа =С1 (б) Т+П =С. Внеся в (7) результаты (2) и (3), ошибочно найдем г'а+гаа3=Си В этой задаче нельзя применить закон сохранения механической энергии (7), так как в выражение кинетической энергии (1), кроме Та=-2-тРА — квадратичной функции обобщенной скорости Р, входит 1 также член Ть — тг'аа, не зависящий от Р.
Этот член появился 1 в выражении кинетической энергии (1) в связи с нестацнонариостью связи, которая в данной задаче имеет вид ~р ачТ, т. е. явно содержит время. Обращаем внимание, что, не смотря на нестацнонарность связи, время 1 в явном виде в выражение кинетической энергии (1) и в функцию Лагранжа (4) не входит.
Это обстоятельство дает возможность применить обобщенный интеграл энергии (4). (здесь постоянная С разделена на 2т). При решении этой задачи нетрудно впасть в ошибку, применив вместо обобщенного интеграла энергии (5) закон сохранении механической энергии 107 пенями ннтигналы ягавнинин движиння Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в правнльности равенства (б) н в ошибочности формулы (7). Для этого нужно применить уравнение Лагранжа й дБ дЬ вЂ” — — 0 ~И дг дг я проинтегрировать его, умножив предварительно на ог.
Задача 17.3. Гироскоп движется под действием силы тяжести, имея неподвижную точку О. Подвижная система осей Охуг сваляна с гироскопом, причем ось г направлена по его оси симметрии, на К аадаче 17.3. которой лежат центр тяжести С н неподвижная точка О, Эллипсоид инерции гироскопа является для его неподвижной точки О вллипсоидом вращения. Паны осевые моменты инерции 7 )ю у„а также ОС й; масса гироскопа равна щ силами сопротивленйя пренебречь. Минуя составление и интегрирование уравненяй Лагранжа второго рода, найти первые интегралы уравнений движения. Принять в качестве обобщенных координат углы Эйлера ~р, $ н 8.
Р е ш е н н е. Введем неподвижные оси Ох,уьеи Кинетическая энергия твердого тела, вращакяцегося вокруг неподвижной точки, вычисляется по формуле Т и ()~ых + )тГЭт + )фЮ) — 2/уФ уыв - 2!а*ы*ыл - 2!лттвз~ыт) (1) Ось г является осью симметрии, а осн х и у перпендикулярны к плоскости симметрии гироскопа в точке О. Поэтому )„т = 7ю = 7„~ = 0, 108 влементы АнАлитическои мйхАники 1гл. ха!! По условию вллипсоид инерции в точке О является эллнпсондом вращения. Значит, 1л = 1у. (з) Приняв во внимание (2) и (6), запишем формулу (1) в виде Т вЂ” !1„(ы„'+ оф) + 1,гаД. (4) Напомним, что кинематические уравнения Эйлера имеют вид ы,„=фз!Пбз!п<р+6соз<р, юу фз!п 6 созм 0 3!пф ы,=фсозб+гр.
(5) Из первых двух уравнений (5) найдем ю,'+муз —— фз з1пз 9+ба, (6) Подставив третью формулу (5) и результат (6) в (4), получим выражение кинетической энергии Т = — (I, (фз з!пз б+ бз) + 1, (ф созб + ср)а~, Р) Потенциальная внергия равна П = лгйх; = лай!г соз 6. (8) Внеся выражения (7) и (8) в функцию Лагранжа 1,=Т вЂ” П, найдем 1. — (1 (ф~з!изб+ба)+1,(фсозб+<р)з~ — лгйй сов 9. (9) Углы Эйлера ф и ф входят в (9) только своимн производными, т. е. явно в функцяи Лагранжа отсутствуют и, значит, являются циклическимя координатами. Зная, что частные производные функции Лагранжа по циклическим скоростям постоянны (см. формулу (12ь), пряведенную в обзоре теории), запишем: д1, —.=а„ дф (1О) (11) (12) Внеся в формулы (10) выражение (9), получнм два яскомых первых интеграла 1,(фсоз 9+ф) =аь 1„фз!па 6+1,(фсоаб+ф)созб а,, $11 пв выв интягяллы и лвнянин движения РОО Решнв снстему уравненнй (11) н (12) относительно <р н ф, мы найдем (13) а, (а,-а,сова)сове (14) 'Р Т, 1„ ы э В Для отыскания последнего первого интеграла можно прнменять аакон сохраненвя энергии (снл» тяжести потенциальна, а опора 0 реализует стацвонарную связь) Т+П *сопзй (16) Приняв во вннманне (11), найдем кмнетвческую энергвю (7) в виде Т ° ~-У,(ф'з)п'9+9')+ 2 7 (16) Подставив выражения (16) н (8) в уравнение (15) н включяв посто- янный член (16) ай(, в постоянную С, получим 9 7„(фяз!па6+Вз)+тдвсоз9 С.
1 (17) В Г 2С аа — а1 сея 6)' 2юяьсэзэ )т а)па 6 7„ (18) Итак, искомые обобщенные скорости, являвшиеся первыми провэводнымн углов Эйлера по времени, даны формулами (13),(14) н (13). Обращаем вннманве„что мы нх легко получили, минуя составленне н ннтегрнррванне системы уравнений Лагранжа второго рода д д1. дЬ д дЬ дЬ д дЬ дЬ вЂ” —.— — = О, — —,— — О, —.— — О.
дГ дэ дср дГ д9 дф сй да дВ Это удалось сделать благодаря наличию двух цнклнческнх коордннат ~р н ф а также прнмененню закона сохранения энергнн, Данную задачу, называемую случаем Лагранжа, можно прн налнчнн начальных условий двнження решить в квадратурах до конца в определить уравнения двнження гироскопа ~р = <р (Г), ф* ф(г), 9 = 6 (Г), Наряду со случаем Эйлера (см.
задачу 15.1), случай Лагранжа относятся к числу тех редких аадач дннамнкн твердого тела я неподвнжной точкой, в которых днфференпнальные уравнения двнження могут быть проннтегрнрованы пря прояэвольных начальных условнях рвн« ження. Внеся в первый интеграл (17) выраженне ф нз (13) н затем решив его относнтельно 9, найдем ВЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ф 2. Уравнения Лагранжа первого рода сгл.
хин Если связн заданы уравнениями .Гс(хд, Уд, гй .", хс» У., л»), (1') где 1=*1, 2, ..., г, то урзвнения l лсАУА» 1ча»+ ~~ Ас— »1 дс'с дэьс с с Лагранжа первого рода имеют вид А~) = ° +~,»ч,—, %1 4с с с эсьуа= Аьс+ ~ Зс ЗЛ л',г дгь ' с=с где и 1, 2... „и; 1= 1, 2, ..., г. Здесь РА„, РАЙ с»а, — проекции на оси х, у, з равнодействукнцей активных сил, приложенных к л-й материальной точке, а )ч, Х„ ..., Х, — неопределенные множители.
(Уравнения Лагранжа первого рода иногда называют уравнениями Лагранжа с множителями.) Эти Зл уравнений (2») совместно с г уравнениями связей (1») образуют систему Зл+г уравнений с Зп+г неизвестными (Зп коор- динат п материальных точек и г неопределенных множителей).
Суммы, стоящие в правых частях уравнений (2»), численно равны Г 2, — г, )Ч вЂ” = вас» )сС вЂ” Яьд» Ь. — КА„(З ) 1 д(с ъ1 д)с цд д(с дхь ' ~~с дть "' ~с дгь с-с с-с с 1 где а=1, 2, .„, ск 1 1, 2...„г. Здесь ста„, Яьд» )дь,— проекции на оси х, у, г равнодействующей реакций связей, наложенных на й-ю материальную точку. Определив г множителей сдс, можно по формулам (Зэ) найти реакции связей. Задачи на определение законов движения точек системы н реакций связей с помощью уравнений Лагранжа первого рода рекомендуется решать в следующей последовательности: 1) изобразить на рисунке активные силы; 2) выбрать систему декартовых осей координат; В 2 б гл.
Х второго тома была приведены дифферендиальные уравнения движения материальной системы, называемые уравнениями Лагранжа второго рода. Помимо этих широко распространенных уравнений, существуют и другие формы дифференциальных уравнений движения системы, в частности — уравнения Лагралаеа первого рода. Рассмотрим несвободную материальную систему в составе и материальных точек, подчиненную г голономным связям. Чясло з степеней свободы втой системы определяется по формуле а Зл — г. зэлвнкиия лагклижа ивяного иода 3) вычислить проекции на декартовы осн координат равнодействующих активных сил Ра„, Рат, Рьм приложенных к материальным точкам системы (й = 1, 2, ..., л); 4) составить уравнения (1*) связей Я=О, наложенных на материальные точкя системы (1 1, 2, ..., г); б) вычислить частные производные левых частей уравнений связей по декартовым координатам материальных точек системы:— д6 дка ' —, —, где 1 1, 2, ..., г; я=1, 2, ..., и; ЗЛ д(, ду~ ' дка ' 6) использовав результаты подсчетов в пп.
8) и б), составить систему Зп уравнений Лагранжа первого рода (2э). В эти уравнения войдут г неопределенных множителей Хь Х~, ..., Х;, 7) выбрав уравнения в числе, равном числу г неопределенных множителей Ц, решить эти уравнения относительно Х„ Х„ ..., Х, (при этом множители )э окажутся, вообще говоря, функциями координат н их производных по времени); 8) подставить полученные в и. 7) значения г множителей Х~ в остальные Зл — г уравнений Лагранжа первого рода; 9) присоединить к этим Зп — г уравнениям Лагранжа г уравнений связей н, проинтегрировав эту систему Зл уравнений, определить искомые законы движения материальных точек системы; 10) подставить координаты точек системы, а также их прокзводные по времени в выражения множителей Х~, определенных в п. 7); 11) вычислить проекции искомых реакций связей Йак, Й», Йа„ где л 1, 2, ..., и, по формулам (Зь); 12) определить модули искомых реакций и направляющие косинусы по формулам )сь Р гс +Иу+К$ э соа(х> тга)= ~», соа(у,тса)= — т-, соз(2> ага)= —, ~а Ра ' 1 Я где А = 1, 2, ..., л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
