1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ззметнм, что решение системы дифференциальных уравнений, указанных в п, 9), обычно представляет большие. трудности. Поэтому законы движения точек сястемы определяют с помощью других дифференциальных уравнений, например уравнений Лагранжа второго рода. Затем, применяя уравнения Лагранжа первого рода, находят реакции связей з виде функций времени. Последовательность решения задач остается прежней.
Выпадает лкшь п. 9), пбо законы движения точек системы определяются помимо уравнений Лагранжа первого рода. При движении матернальной точки массы ла по гладкой поверхности, заданной уравнением ДГ> х,у, л) О, 112 влемеяты АНАлитическоп мехАники 1гл. Куп уравнения Лагранжа первого рода имеют вид дл' ~ "+ ду' л+ д ~ (б ) илн в векторном виде тел= 1г+ Ъ, йгаб~ где Р- равнодействуюшая активных снл, приложенных к точке, а А — неопределенный множитель.
Исключив иа трех уравнений (бь) множитель Х, получим два уравнения. добавив уравнение свяаи (Фь), получим систему трех уравнений. Проинтегрировав эту систему, можно найти х, у, г— искомые уравнения движения материальной точки по гладкой поверхности — и аатем вычислить Х. Реакция поверхности определяется по формуле дд= 1, вагаб У, (Вь) где !а бЛ у 1Ж) +1д„) +1да) ' (7') т. е.
(в ) При движении материальной точки массы лг по гладкой кривой, которая является пересечением двух, поверхностей, ааданных уравнениями Уа(Г, х, у, л),0, Уа(Ф, л, у, л)=0, (й') уравнения Лагранжа первого рода имеют вид ту=Р.+) -3~+) д„, дуг д1и + ~, +)ч д)я (10ь) *+ а дя + "я да > илн в векторном виде лачи )Я+А, йгаб,Ух+ Х, агаб,Уа, где дг-равнодействуюшая активных сил, приложенных к материаль- ной точке, а Аа и )ч — неопРеделенные множители.
Исключив на трех уравнений (10*) 21 и Хч, получим одно урав- нение. Добавив к нему два уравнения связи (9'), получим систему трех уравнений. Проинтегрировав вту систему, можно найти к, у, л — искомые уравнения движения материальной точка по гладкой КРивой н ватем вычислить йа н А,. квдвнвния лагванжа пивного года Реакция кривой определяется по формуле д1= Л, нгаб Л+ Лд йгаб,гь т. е. Зад»ч» 17.4, Два груза с массамн тд и тд соединены невесомой перастяжнмой нитью, переброшенной через неподвижный невесомый блок.
Определить уравнения даиження грузов и реакцию нити, если в начальный момент система находилась в покое, а свисавшие с блока участка нити, поддерживающие первый н второй грузы, соответственно равнялись (д и 1з. Р е ш е н и е. Система состоит из двух материальных точек, на которые наложена одна связь — нить. Изобразим на рисунке активные силы системы: Р,— сяла тяжести левого груза, Рд — силз тяжести правого груза, Ось у направим по вертикали вниз, ьт взяв начало отсчета О в центре блока.
Проекции на ось у активных сил, приложенных к грузам, равны Рд„— — Рд, Рз„- — Рь (1) Уравнение связи — нерастяжимой нити — имеет вид у=уд+уд — 1= О, (2) К задаче 17.4. где уд и у, -ординаты грузов, а буквой Х обозначена длина нити. Частные производные левой части уравнения связи (2) имеют вид — -1, ~ — -1. д7 д) (з) дуд ' уз Уравнения Лагранжа первого рода (1з), приведенные в обзоре теорни, в данном случае имеют вид шдЯд Рду+Л д з шала ~ду+Л д (4) Использовав формулы (1) и (3), запишем уравнения (4) в виде т~Яд — — Рд + Л, таад = Р + Л. (б) Дифференциальные уравнения (б) содержат множитель Лагранжа Л, подлежащий последующему определению.
Вычислим Л из второго уравнения (б): Л= а))з— (е) 114 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Ц'Л. ХУП подставив его з первое уравнение (б), получим З.=Г.+ Зз — *. Присоединим к дифференцнальному уравнению (7) уравнение связи (2). Для решения этой системы уравнений дважды продифференцнруем уравнение (2): Уа+Уа 0 (8) Теперь иа системы уравнений (7) н (8) находим Ит И6 УА= — а И1+ Иь Иа — Ит Уа — Ю. Иь+И1 (9) Используем при интегрировании системы (9) начальные условия движения: прн Ф=О имеем йт у,=О, у,=(,, Уз=76; в результате мы находим искомые уравнения двяжения грузов Иг — Иь йга Иь — Ит ягь У(= — — +79 Уа= — — +16. Иь+Иь 2 И1+И6,2 Для определения реакции нити предварительно вычислим множитель )ь подставив в формулу (б) значение уа из второго уравнения (9). Получим А=- — '' 8 (10) И,+Из Согласно формулам (36), приведенным з обзоре теории, имеем Учтя а формулах (11) результаты (1О) и (3), находим 26$6И6 йа =Лат= — — Л.
6 И,+Ир Этз легкая задача рассмотрена для иллюстрации последовательности решения задач с помощью уравнений Лагранжа первого рода В данном случае значительно эффективнее применение общего уравнения динамики з сочетании с дифференциальным уравнением движения одного нз грузов. задача 17.б. материальная точка массы и движется под действием силы тяжести внутри гладкого полого цилиндра радиуса г. Ось цилиндра горизонтальна Применив уравнения Лагранжа первого рода, составить днфференцнальное уравнение движения матеряальной точки и определить реакцию цилиндра.
В начальный момент точка находилась в покое. 115 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДА аз1 Р е ш е н н е. К материальной точке приложена одна активная сила — сила тяжести Р. Направим ось з вдоль горизонтальной осн цилиндра, а оси х и у — в плоскости его поперечного сечения. Проекдин силы тяжести Р на оси х, и у и л равны Р„=Р, Р =Р,=О.
(1) Иа материальную точку наложена одна 0 связь — внутренняя гладкая поверхность Р цилиндра, уравнение которой имеет вид )з и Г г = гз — ха — у' = О. (2) РГгх«1 Частные производные левых частей уравнения связи (2) равны дг дг д( дг ' ду * <Тг — = — 2х, — = — 2у,, -О. (5) К задаче 17.5. Уравнения Лагранжа первого родэ (бе), приведенные в обзоре теории, в данном случае имеют вид лг«=Р„+Х- «~, зг)) Р + А — ~, тй=Р +)„~), (4) Подставив результаты (1) и (3) в уравнения (4), получим лгХ = Р— 2)ьх, лгу = — 2Лу, лгу = О, (5) где Л вЂ” множитель Лагранжа, подлежащий последующему определению. Из третьего уравнения (5) находим «з=СР По условию материальная ~очка в начальный момент находилзсь з покое, т. е.
«е —— О. Поэтому «=О и, следовательно, (6) Из уравнения (6) следует, что движение точки происходит з сечении цилиндра, перпендикулярном его оси г. Йля определения движения точки в этом сечении воспользуемся первыми двумя дифференциальными уравнениями (5). Умиожим первое уравнение на у, второе уравнение на — х н сложим их. После сокращения на общий множитель лг найдем ху — Ух=а, д — (ху — рх) = еу, дз Выразим декартовы координаты точки М в зависимости от угла ~р отклонения подвижного радиуса ОМ от оси х (см. рисунок); х=гсоз~р, у=та(п~р. 116 вЛЕменты АнАлитичеСЕОЙ мехАники Вычислив провзводные (8) по времени г, имеем [ГЛ.
ХШГ .Ф вЂ” Гр жп ф, я Гф соз ф. (9) Использовав формулы (8) в (9), находим .Фу рл ~ — Гафз 3! па ф — Гафз со за ф ~~ — Гзф. (1О) Подстановка результатов (8) н (10) в дифференциальное уравнение (7) дает — Гф 8з1пф, т, е. Ю ф — — з1п ф. Г (11) )" 3~ (дл) +~д ) +~да) Определим множитель 3 нз второго уравнения (б): Использовав выражения (3), получим )8гадЯ 3~ (дх) +(д ) +(д ) =2 рглз+у~ 2Г, (14) Подстановка результатов (13) н (14) в формулу (12) дает ГС, -тгк-, (13) Для выражения нормальной реакции )г„ в зависимости от угла отклонения ф воспользуемся при вычислении ф второй формулой (9).
Находим Р = — Гфз з1п'ф+ Гф сов ф. (16) (13) Применив результат (16) н вторую формулу (8) в выражении (16) получим в впв — фссзф (1 7) Таково искомое диФференциальное уравнение движения материальной точки в поперечном сечении полого цилиндра. Это уравнение проше было получить, применив теорему об язмененни моментз количества движения материальной точки относительно оси г, либо с помошью дефференциального уравнения движения точки в проекции иа касательную т (см, рисунок), Точное н приближенное решение етого дифференциального уравнения было приведено во втором томе, Для определения реакции А' внутренней поверхности цилиндра воспользуемся формулами (6") и (7ь), приведенными в обзоре теории.
В проекции на главную нормаль п аапишем: 117 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДА $21 Подставив в (17) значение ф иа уравнения (11), получим проекцшо на главную нормаль искомой реакции внутренней поверхности цилиндра: рс„= яргфа+ лай соа ф. (18) Для выражения ф в лавнсимостн от ф надо знать начальные условия движения точки и проинтегрировать дифференциальное уравнение (11), предварительно умножив его на йр. Заметив, что фиф = = байр, найдем — — соа р+С. ф Ы 2 Г (19) К радара 176 В начальный момент кольцо М находилось в покое в положении М, укаэанном на рисунке. решение.
На кольцо действует одна активная сила Р. Ее проекции на оси л, у, я равны Рр Рр — 0~ Рр~~ ° (1) Единственная связь реализуется проволокой, изогнутой по винтовой линии. В соответствии с условием, ее уравнения имеют вид ,~п х — асов йл О, гя У-аа1пйл О. (2) По условию в начальный момент точка находилась в покое. Если при атом ее положение определялось углом фр, то прн ф=О имеем ф=фм Подстановка этих зчачений в уравнение (19) дает С= — й соафр.
Поэтому уравнение 27 Г (19) вапишется в виде ф' = 2 — (соа ф — соа фр). (20) й Г Испольаование выражения (20) в формуле (18) окончательно дает Рр глл (3 соа ф 2 соа фр), Задача 17.8. Кольцо М массы лр, надетое на гладкую проволоку, изогнутую но винтовой линии, соскальзывает под действием силы тяжести. Определить уравнения движения кольца и реакцию проволоки в виде функции времени. Винтовая линия явлвется пересечением двух поверхностей, ааданных уравнениями х асоалл, у=аа1пЫ, 118 вЛемеНты АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ !гл.
хаи (3) уравнения Лагранжа первого рода, приведенные в обзоре теории в формуле (10*), в данном случае имеют вид ~У ~г+Хг д +Ц д ~г ~у+)г д +Хе д д!г д)„д1г дЬ Ура-Рг+),— +), —. дг! дгг дг дг ' (4) Подставив результаты (2) и (3) в уравнения (4), получим тУ =Ц, л()) = Ли глй = ту+)!г ай г!п й» вЂ” )!тай соз й», (б) где Ц и )ьг — множители Лагранжа, подлежапгие последуюгцему определению. Исключяв )ч и Аг из системы уравнений (б), найдем тй тй+ тайл а!и й» - тайу соа й», (6) Для интегрирования дифференциального уравнения (6) присоединим к нему уравнения связей (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
