1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 14
Текст из файла (страница 14)
лазвявп зууз 1ипузгзз К задаче 16.11, П р я м е ч з н в е. Многоступенчатая ракета состоит из полззноге груза (искусственного спутника Земли илв космического летательного аппарата) и ступеней, каждая нз которых включает двигатели, топзиво и приборы управления. Субракетой назмзаегся системз, состоящая из работающей ступени и всех неработающих ступеней вместе с полезным грузом, Для данной субракеты масса всех неработающих ступевей н конечного груза является полез. иым грузом. Таким образом, каждая субракетз рассчитмваетсл как одиоступевчатая ракета, по формулам, приведенным з предыдущей задаче (см, рису. нок). Решение. Юля определеияя скорости ракеты, после окончания действия двигателей первой ступени, применим полученную н предыдущей задаче формулу Циолковского (7) пкз пщ )н ли где пю — скорость ракеты в момент отделения первой отработанной ступени, и„ вЂ” эффективная скорость истечения в первой ступени, в, †чис Циолковского для первой субракеты.
Аналогично находим скорость ракеты в момент отделения второй ступени 'пзз ~ зз1+ Фаз 1и лз — пз1 1п х( + пцз 1и Уэ Здесь ъзз — эффективная скорость истечения во второй ступенн, зз — число Циолковского для второй субракеты, Продолжая расчет, и нашем расчете сопротивления возпуха и силы прятяжепия к Земле, то конечная скорость 9000 лгусеп снизится и не будет превышать первой космической скорости, необходимой для создания искусственного спутника Земли. Таким образом, достижение первой космической скорости с помощью одноступенчатой ракеты прн современных технических средствах практически невозиожно. Трудности, возникающие при этом, могут быть преодолены применением многоступенчатых ракет. Задича 16Л1. Запуск многоступенчатой ракеты производится с поверхности Земли вертикально вверх.
Эффективная скорости истечения газа нз сопла реактивного %6 ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЯРЯМВННОП МАССЫ 93 найдем скорость космического аппарата после отделения последней ступени пав = Пва1П «4+овз 1П «а+ ° ° +Евв!П «в. Если положить в соответствии с условием, что эффективные скорости истечения равны для всех ступеней, то формула (7) из предыду» щей задачи принимает вид пв =пв1П«1«а...«вдов!пг, (1) где «*=«,«,...«„, Заметим, что в случае, если числа Циолковского для всех субракет одинаковы, то, обозначив их общее значение череа «ь мы сможем записать равенство (1) в виде э„лвв 1п «ь Следовательно, в этом случае конечная скорость пропорциональна числу ступеней. Найдем число Циолковского «ь которое должна иметь каждая субракета для того, чтобы космический аппарат получил вторую космическую скорость п,=11200 лг/сея, полагая, кзк и в предыдущей задаче, пв=2400 лг/гек.
Для одноступенчатой ракеты имеем «, = е" а®гама — 106,8. Для двухступенчатой ракеты «, = е" гладь а'зз ж10,4. Для трехступенчатой ракеты «„=е~~ааЮ ааэз 4,76. Сопоставляя эти значения числа Циолковского для одноступенчатой и многоступенчатых ракет, видим, что использование многоступенчатых ракет резко снижает число Циолковского, позволяя инженерам создать реальную конструкцию. Задача 16.12. Ракета массы тв стартует вертикально с поверхности Земли. Относительная (эффективная) скорость истечения газов пв постоянна.
Пренебрегая сопротивлением воздуха и учитывая силу тяготения к Земле, найти закон изменения массы ракеты с течением времени, если ускорение ракеты на активном участке траектории поддерживается постоянным, равным гл Ьу, где л ускорение силы тяжести на поверхности Земли, Ь = сопз1 — коэффициент допустимой перегрузки (перегрузкой называется отношение максимального ускорения объекта к ускорению силы тяжести).
Решение. Для составления дифференциального уравнения движения ракеты воспользуемся уравнением Мещерского. Силу тяготения к Земле можно представить формулой «вфла Р= —— (11 -1-Л)" где лг — масса ракеты в произвольный момент времени, Й вЂ” радиус Зелик, Ь вЂ” расстояние ракеты от поверхности Земли в данный момент времени, 94 КОСМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ггл. хьч Тогда уравнение Мещерского запишется в виде ~Ь лвййв лвл лг' гг = 1вв+а)в ов гг в где о- абсолютная скорость ракеты Ф = — о, — — проекпня на вап в ~г вертикаль реактивной силы, причем — (О. Согласно условию усковГяв ренее ракеты Следовательно, путь пройденный ракетой от поверхности Земли, най.
дется интегрированием (2) прн начальных условиях: прн 1 О, ив=О, ов *О. Тогда ив (2) находим ай1в — 2. (3) Внеся значения (2) и (3) в дифференпиальное уравнение ~1), получим йив вв вял Ьй=— ьйгв)а и лг или, разделяя переменные, Проинтегрировав, получим — эв1пгл+С= вв~Ввв [;~у — ф(ГГв Ч1. (4) 2 Подставив начальные условия при лг=гл„2=0, определим постоян- ную интегрирования: С= о,1п ига. Тогда ив 14) найдем Пв1П ййт+24т ~ Ь + 2Й~ )в/ а — аГС12)В 2~~ 1)~ 2 Это уравнение и дает закон изменения массы ракеты с течением вре- мени. Задача 16ЛЗ. Составить уравнения движения ракеты, запуптенной под углом 6, к горизонту, в проекциях на касательную и нормаль к траектории.
Найти закон измег пения угла 6 наклона траектории г и к горизонту, считая, что касательное ускорение ракеты постоянно. Вес ракеты О=ил. где т-пере- Ю менная масса ракеты, а л — ускореl ние силы тяжести. за Реактивная сила Р и сила сопротивления воздуха Я направлены по касательной к траектории.
Р е ш е н и е, Спроектирован основное уравнение динамики на касательную и нормаль к траектории (см. рисунок), получим ш — Р— ь) — О81пЭ я'я Н г ая ги — О соа 6, г (2) где г †ради кривизны траектории. Поскольку кривизна траектории равна ча и в данном случае Ый~й( О, то яь На — = — Э— г ш' С учетом этого соотношения запишем уравнения (1) н (2) движения ракеты в виде (з) лз — =р — и — ла1п 9, ч'1 о — = — усов 9 Иа М (4) где р = Р/т-реактивная сила, отнесенная к единице массы, д = Я/ш— сила сопротивления вокцуха, отнесенная к единице массы, При по/Ф=ш=сопа1 уравнение (4) легко интегрируется и дает искомый закон изменения угла 9, Действительно, это уравнение можно записать в виде ,18 д аг яг сша в.
в 8 81 динлмикл точки пвэвменнои млссы 95 1гл, хч космичиская динамика Преобразуя и интегрируя, получим в где е,— скорость ракеты в момент схода с направлюощей Поскольку ~ — =*1пад — +С, мы найдем Фк к а1я к 2 1и 1я ~ — — — ~ — 1и 1и ~ — — — ) =* — (1п е — 1п и,) . lп 61 во 1 з 21' ~4 2/ н Пропотенцировав, запишем окончательно (4 2) (э)а/н МЯ 90) ва (б', Уравнение (б) показывает, что изменение направления скорости ра.
кеты на активном участке траектории зависит от отношения скоростей в конце и в начале дуги и/и и отношения ускорений у/тв. Задача 16.14. Весомая цепь, собранная в клубок, лежит на краю горизонтального стола. Найти скорость свешивакяцегося со стола конца цепи, считая, что в начальный момент длина этого конца равна 1, а скорость его равна О. Решение. Обозначим через х длину, а через ла массу свешивающейся н движущейся части цепи.
Эта масса непрерывно возрастает ва счет присоединения элементов с(ла части цепи, лежащей на столе. При этом скорость прнсоединяющихся элементов возрастает в момент присоединения от нуля до скорости движущейся части. Поэтому в данной задаче можно воспользоваться уравнением (Зэ), которое в проекции на вертикальную ось х имеет вид — „,( .)=р'. (1) Обозначив через у вес единицы длины цепи, имеем: ш=* — х, е=й, 7 Р= ух.
Уравнение (1) дает Д~у хх) ух яли хх+ха=их. (2) Это нелинейное уравнение второго порядка не содержит явно независимой переменной †време 1 и поэтому допускает поииженяе порядка на единицу. Здесь удобнее всего ва новую неизвестную функ- Ф а1 динАмиКА тОчКи пяоеминнои мАссы цию принять и =ха, а ва новую независимую переменную Тогда ЛЕ д.с 1 д, , 1 Ги у = — = — Х вЂ” — г.Е»1 й Ы 2о»( ' 24.» ваять х 1 аи — х — +и= их 2 о» или оа 2 — + — и 2у. л»» (3) Представим переменную и как пронаведение двух функций Тогда и' о'еа+ оа '. Внеся ати аначения в уравнение (3), получим +~ +» Лля нахождения переменных о и ги одну иа них можно проиавольно. Полагаем 2 ю — — а>, » выбрать (6) или г(ва/ю= — 2йх/х, откуда 1пеа=1п(1/ха) и, наконец, ! еа = —.
Аа Внеся (6) и (7) в уравнение (б), получим .оо ! о»»а — — 23. Следовательно, э=-их»+С 2 '3 и, согласно (4), и = — ~ — дха+С1 — их+ —. 1Г2 1 2 С »®~3 / 3»»' Воавратившись к исходной переменной, находим С 2 х~ ~ — + — йх. «а 3 и М. Н, вать а ЛР„И НН н уравнение (2) приводится к линейному уравнению первого порядка КОСМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА [гл хш Подставив в это уравнение начальные условия: при х= 1, /С = О, находим произвольную постоянную интегрирования 2 С= — — Ас 3 Тогда 2 / 11 2 хо-1 х = — л1х- — 1= — л— =3 ~ ~ 3 хо или ,/ 2 )/хт — 1 3 х Это была исторически первая вшшча динамики переменной массы, решенная в 1857 г. английским математиком Кэйлн.
Задача 18.16. Найти закон изменения массы во времени для ракеты, движущейся на активном участке траектории с постоянным ускорением а. Считать, что движение происходит в пустоте при отсутствии силы тяжести. Решение. Лля решения этой вздзчи воспользуемся формулой 1Хиолковского, полученной в задаче 16.10 (уравнение 14))„ /л о= — о 1п— ло о где о, — постоянная эффективная скорость истечения, л/о — начальное значение массы ракеты, т - текущее значение массы ракеты, о— скорость ракеты. В данной задаче о10) = 0 и а =о2о/Ю = сопзс. Поэтому в = ас н уравнение 11) примет вид ло а/ 1п — = — —. лоо зо Пропотеннироваз, найдем ло -а//о,. то '1 или, окончательно, и т а а//Фо о Г Л А В А ХЧ1! ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ б 1.
Первые интегралы уравнений движения. Обобгденный интеграл энергии. Юикличеекне координаты. Функция Рауса Напомним, что движение голономной материальной системы с з степенями свободы, находящейся под действием потенциальных сил, описывается системой з уравнений Лагранжа второго рода 4 дг. дЬ вЂ” — — — =0 дгад, дз,= (1 ) где 1=1, 2, „,, к здесь д,— обобщенная координата, Д вЂ” обобпгепная скорость, 1.— функция Лагранжа, причем 1.=Т-П, где Т— кипетическая, а П вЂ” потенциальная энергии материальной системы. Уравнения Лагранжа являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка и представляют собой, вообще говоря, зависимости авда Уг(Ь тэг рг 1)=О где / 1, 2, ..., ж Поэтому для определения уравнений движения д;=э;(1) приходится интегрировать систему дифференциальных урав- нений второго порядка.
В этом пзраграфе рассмотрены случаи, когда возможно, минуя интегрирование уравнений Лагранжа, непосредственно получить все или некоторые вз первых интегрзлоа, т. е. уравнения рт(1ь дь 1, С„) =О, где г=1, 2, ..., з, а С,-постоянные интегрирования. В этих случаях задача значительно упрощается, ибо для нахож- дения уравнений двяжения ог —- п~(1, Сь Сг), вместо интегрирования системы (2а) второго порцдка, остается проинтегрировать систему (Зэ) первого порядка.
К числу наиболее распространенных методов определения первых интегралов относятся: а) применение обобщенного июпеграла энергии, б) использование циклическигг коордикалг. че влвмвнты АнАлитнческои мехАники 1гл хун а) Применение обобщенного интеграла энергии. Рассмотрим голоиомную материальную систему, находящуюся под действием потенциальных сил. Ее кинетическая энергия Т зависит, вообще говоря, от обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
