1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Неподвижные л утл, и подвижные $~)Ь координатные осн направляем так, как было указано выше, в обзоре теории, Следует помнить, что подвижные осн $й~ с твердым телом не связаны. К задача 222. В то время как подвижные оси йт)Ь вращаются вокруг оси аа е угловой скоростью еь твердое тело вращается вокруг мгновенной оси с угловой скоростью е =э+ еь где ю — угловая скорость относительного вращения, юа-угловав скерость переносного вращения. динамика твш лого тала 1гл.
хт Прн вычислении проекций е, н вт на оси 3, и, Ь следует иметь в виду, что параллелограмм угловых скоростей лежит в плоскости ч)Ь. Как видно иа рисунка, еь1=0~ адч —— ав ВШ9, атабаев соей. Испольаовав вти выражения, найдем в„а=еа+в~ — — О, еяч вч+вш=вы а1пй, вс+ваС вт+вы соя 9. Следовательно, главные моменты количеств движения симметрич= ного твердого тела относительно осей 8, ть Ь, являвшихся гхавными осами инерции в неподвижной точке О, имеют внд Еа 11ваа О, Е„1ча„ч 1чвы, а1п8 Ес 11в„а *11(вС+анч соа8).
(л) Так как ЕЫ Е„н Ес постоянны, то лет Уе» лЕ1 -- = — ч= — -О. Й аг яг Для определения главнцго момента внешних снл относительно точки О воспольвуемся динамическими уравнениями Эйлера бЕ, — 1 + атчЕС вцЕи ш~ — Чг втсЕа — щьтЕ1 =. т„'. ~~ + "иЕч-" чЕа шс. После подстановки яначеннй авр ат,„а,~ иа формул (1), выражений ЕЫ Е„, ЕС иа формул (2) н иЕ11йт, иЕч/и1, ФЕ11й ив формул (3) уравнения Эйлера примут вид ша апч а!и 8 111вС+(11-1ч) впч соя 9), В4 = О„ШФ О. Следовательно, главный момент внешних снл иар относительно неподвижной точки О лежит на линни уалов й н совпадает с положительным направлением осн $, если 1сас+ (1с — 1ч) ань соя 9 ~ О.
3вдачв 15.3, Вычислить угловую скорость регулярной прецессии симметричного твердого тела, центр тяжести которого расположен в неподвижной точке, если 9-угол между осью симметрии и осью прецессии, 11- момент инерции твердого тела относцтельно оси снм ВИ РЕГУЛЯРНАЯ ПРЕЦЕССИЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА 65 метрии, 1а 1ч-вкваториальные моменты инерции твердого тела, ы — угловая скорость собственного вращения (вокруг оси симметрии Ц. Решение, Начала подвижных $ТД и неподвижных сауд«а осей находятся в неподвижной точке О. Неподвижная ось «а направлена по оси прецессян, а оси жа и уа-так, чтобы вместе с осью «а обрааовать правую снстему осей координат. Подвижная ось ь направлена по оси симметрии твердого тела, ось $— по лннии увлов, ось т1 выбрана так, чтобы вместе с ося.
ми $ и ь обравовать правую ыт систему осей коордянат. На твердое тело действуют две силы: сила тяжести и опор- $ ная реакция. Так как центр тяжесги совмещен с неподвижной точкой О, то обе внешние силы приложены в точке О «т 6-лиар уамЮ и их главный момент относительно точкя О равен нулю, следовательно, лаа =. О.
Повтому формула, определяющая проекцию главного момента, Лта =В~а, СОВЕ (1СЮС+(1С вЂ” 1Ч) ЫЬИ СОБ6) принимает вид эта, соа 9 (1~ос+(1С вЂ” 1Ч) от а, соа 9 ) = О, откуда находится искомая угловая скорость регулярной прецессии Рассмотренная регулярная прецессня твердого тела вовникает при движении по инерции. Заметим, что регулярная прецессня по инерции вовможна вокруг любой оси, проходящей черен неподвнжную точку. Задача 19.4. Определить угловую скорость регулярной прецессии юа симметричного твердого тела веса Р, происходящей под действием силы тяжестж Расстояние от центра тяжести О твердого тела ло неподвижной точки О равно а., Даны моменты инерции твердого тела относительно главных центральных осей инерции, угловая скорость вращения ы вокруг оси симметрии и угол 6 между осями симметрии и прецессии, 3 М. И, Бать а Ар., т.
ИГ ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (гл. хч Решение. Неподвижные х,у,г, и подвижные йт)6 координатные ося направлены так, как в предыдущей вадаче. К твердому телу приложены внешние силы: Р— сила тяжести твердого тела, Яь ат„Яе — составляющие опорной реакции в точке О, Вычислим главный момент внешних сил относительно оси веа= Раа!п9. Подставив вто аначение вгае в формулу ,та = ю~,, а(п 9 [1СюС+ + (16 — 1,!) ю!е, соа 61, получим квадратное уравнение относительно проекции на ось ла искомой угловой скорости регулярной прецессии ы1„.' ,,6 (1~ — 1„)ю'„,соа6+ К задаче (ВД.
~. 1,„,„„Р. =О. Решив квадратное уравнение относительно ыы„находим два его корни: 1Сеей В [геС ( С 2(1,— 1ч)е В т е. твердое тело может совершать регулярные прецесснн с равными угловыми скоростями (конечно, вто движение воаможно только при выполнении условия 1(ы6+4(1С вЂ” 1ч) Ра сов 6 ~ О; при достаточно больших значениях проекции угловой скорости вс вто неравенство всегда выполняется).
Вычислим величины ынн в случае вращения твердого тела с большой угловой скоростью собственного вращения юс. Приближенное определение днскриминанта квадратного уравнения дает 4Ра (1С вЂ” 1,!) еав В ')/фа~+4(16 — 1)Расоа6 =1СюС у 1+ е ж 1се"В 1 2 (1е — 1ч) Расее В 1 1АС (+ 1К а и вигклявная пввцвссня снммвтвичного тела 2(11 — 1ч) Расова 1 2(11 1ч)Расова в 1[1 $ ) х~ч-/ — —.Р— —.
а) ссвс Внеся значение (2) в формулу (1), находим искомые приближен. иые проекции угловой скорости регулярной прецессии: угловая скорость медленной прецессии Ра Ювв lсмС и угловая скорость быстрой прецессии /смс (11 — 1„) сов В Значение проекции угловой скорости быстрой прецессии совпадает со значением проекпнн угловой скорости регулярной прецессии по инерции, полученной в предыдущей задаче.
Значение проекции угловой скорости медленной прецессии совпадает с результатом, подсчитанным при решении аналогичной задачи с помощью приближенной теории гироскопов (см. второй том, стр, 563). Задача 16.6. Вычислить дополнительный динамический момент, возникающий при движении системы, описанной в задзче 10.66 (см. второй том). К задаче 15.5. Решение.
Направления неподвижных х,утят н подвижных $в)Д осей координат указаны на рисунке. Колесо 2 совершает регулярную прецессию с угловой скоростью гз, вокруг оси гн Угол нутации 5 равен и/2. Зв дннлмнкл тввРДОГО телА !гл. хч Вычислим главный момент внешних сил по формуле ва~ вниз!п6(11вС+(11 — 1ч)е!,,соз61 (1) ПРн 9 и находим: тг=1свсеы„что соответствУет РезУльтатУ, полученному в формуле (3) задачи 10.66 (см.
второй том), так как Р я г, 11~ Р я еь= ь!!в~ вл л ' г, ' г, Использование формулы (1) быстрее приводит к результату, чем применение теоремы Резаля, с помощью которой была решена задача 10.66, но требует наличия у читателя сведений по динамике твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точка. Формулу (1) можно также с успехом применить при решении задач 10.64 и 10.66 второго тома. Задача 16.6.
Решить задачу 10.16 (см. второй том), воспользо- вавшись теорией регулярной прецессии симметричного твердого тела. Решение, Решение задачи 10.16 второго тома, основанное на методе кинетостатики, было довольно громоздким. Оно сводилось к системе четырех уравнений Р1л +Ил =Л4.хсв +Л4усз, )Улу+)Уву 1Иусв' — Л4хсв, Фата -!Увкб — 1,вз+1 а, 1!!Ахп + !Увлб 1дув +!уев. При этом предварительно .были определены пентробежные моменты инерции 1„, и 1„„ Вычисление 1, и 1, потребовало ряда выкладок, выполненных в решении задачи 9.12 второго тома, Эту задачу можно решить значительно короче, если рассматрн. вать вращение цилиндра вокруг оси г как частный случай регуляр- ной прецессии при отсутствии его собственного вращения вокруг осн ь. Для этого достаточно определить гироскопический момент паг"э цилиндра, являющийся моментом его сил инерции, которые приво- дятся к паре искомых боковых дополнительных динамических давле- ний на опоры А и В: гм""я= — ла' о Угол нутацин 6 в данной задаче обозначен а, следовательно, ~""г = вцч з!п и (11вз+(11- 1„) выл созе).
(1) Ввиду отсутствия собственного вращении вс О, а вьв следует заменить на е, так как угловая скорость вращения цилиндра вокруг оси ат является угловой скоростью регулярной прецессии. Теперь формула (1) принимает вид иьгвэ=(1г-1я) ваз!пасоза. 69 ан впълявнья паяцвссня снимет ичного ткял Р!га п1 Для цилиндра 1С:-Рга122 и 1ч--~ — +-~ т. е, з1 лг вт = — — — — ~ ыа аш 2щ Рlга Ж вЂ” а~а з~ Гироскопячесний момент является моментом пары дополнительных боковых давлений на опоры А и В с плечом АВ=2Ь. Повтому и~а Р тта п~ ! Ил ! = 1 Мв ~ = — — ~ — — — ~ ма а1п зж за ада~а з1 Метод решения втой задача может быть с успехом использован при решении ряда задач на определение динамических боковых давлений, приложенных к опорам твердого тела, вращающегося вокруг неподвяжной осн. ГЛАВА ХЧ! КОСМИЧЕСКАЯ-ДИНАМИКА.
ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЪ| В 1. Кеплерово движение (движение под действием цеитрильной силы) Две материальные точки взаимно притягиваются с силой, модуль которой равен уюдглэ (1 ) г' где лэ, и глэ-соответственно массы первой и второй точек,У вЂ” постоянная всемирного тяготения, г — расстояние между точками. Формула (1") выражает закон всемирного тяготения, открытый Исааком Ньютоном. Иногда этот закон называют законом Ньютона, Еслн взаимно притягиваются не материальные тачки, а тела, то формула (1э) сохраняет свой простой вид, если тела имеют сферическую структуру; каждое иа тел имеет форму шара я плотность одинакова во всех точках тела, находящихся на одном н том же расстоянии от его центра.
В этом случае задача исследования движения центров инерции двух тел под действием взаимного притяжения не отличается от исследования движения двух точек, взаимно притягнаающихся согласно закону Ньютона. Эта задача называется классической задачей двух тел.
Ее геометрическое решение дал впервые И. Ньютон. Аналитическое решение было затем дано Даниилом Бернулли. Леонарду Эйлеру принадлежит подробное исследование этой эадачи. Сила всемирного притяжения (1*) является консервативной силой. Силовэя функция поля этой снлы У определяется формулой (2*) Положив та=1 в формуле (2э), получим функцию и=у — ",, (йэ) называемую ньютоновым потенциалом *). ') В этой формуле опущен индекс у массы, В научной литература к формуле (3") всегда прямэяяется укаэанное название, которого а мы будем при.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
