1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 5
Текст из файла (страница 5)
7, или, подставляя сюда известные вели !ины, 120 — — 2 = агсй ( — + 1). /12 (3) с (с Разрешить это трансцендентное уравнение относительно с с помощью точных алгебраических методов не представляется возможным. Поэ- тому для нахождения его корней приходится пользоваться прибли- женными способами.
Рассмотрим даа таких способа: графический и метод итераций. Графический способ заключается в том, что на одном чертеже строятся графики левой и правой частей уравнения. Абсциссы точек пересечения этих графиков и дают приближенные значения корней. )1ля некоторого упрощения представим сначала уравнение (3) в виде с,= (4) 2+агсй ( — +1) Графиком левой части уравнения (4) является биссектриса первого координатного угла. Т(ля построения графика правой части вычислим ее величину при нескольких значениях с, взятых около предполага- емого значения корня. Результаты вычислений сведены в табл.
1. 30 РЛВНОВЕСИЕ ГИБКИХ ПОДВЕСНЫХ НИТЕЙ !ГЛ. Хпг По данным таблицы построен рис. в, из которого следует, что искомое значение с равно 44,1. Метод итераций состоит в следующем. Банное уравнением(х) = = 0 записывают в виде х=ф(х) и находят более точное значение корня хг по первому приближению х„с помощью формулы х,= = ф(хр). Повторив этот процесс несколько раз, можно получить значение корня с любой степенью точности, если на интервале между корнем уравнения и первым приближением 1ф'(х))(1.
Если же это условие не выполнено, то уравнение следует преобразовать (хотя бы переходом к обратной функции). Нетрудно убедиться, что модуль производной правой чзсти уравнения (4) при 30~с~65 меньше 1. Следовательно, это уравнение можно итерировать, приняв за первое приближение ср значение с из указанного интервала. Принимая ср = 46 м, находим ст= = 44,3 лг 120 2+ага!г ~ — -1-1) 112 '(40 и далее ся —— 120 / !2 = 44,12 лг, 2-1-агсй1 — +1) !г44,3 ср= 120 = 44,08 лг. 2+агсй ( — +1) На этом процесс итераций можно закончить, приняв окончательно с = 44,1 .и. Задача 18.9. Гибкая нерастяжимая нить подвешена к опоре А и пропущена в точке В через ничтожно малый блок.
Вес единицы длины нити гу. Определить длину свободно свешивающейся чзсти нити, при которой равновесие не нарушится. Трением в блоке пренебречь. Р е ш е н и е. Выбрав начало координат в нзинизшей точке кривой, воспользуемся для нахождения уравнения кривой уравнением (1") 4' Я у = дх Н' К задаче 13.9. где Н вЂ” натяжение в точке с. Тогда, аамечая, что приращение вертикальной нагрузки гпЯ=диз, имеем су' = — = -- из 30 я Н Н 31 ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ аа1 или, подставляя 1а = У" 1+у" Ь и отделяя переменные, находим = — й гх.
1'!+~'~ и Интегрируя, получим у'+ р' 1+у'а =е"/а+с, (2) где лля краткости обозначено Н!у=а, Так как (у')„= о, то ст=О и окончательно уравнение (2) имеет вид у'+Ф'1-(-у'а- "~' (3) Из уравнения (3) следует, что у ),х1 ф~:Ъ вЂ” е — х(а (4) в чем легко убедиться, перемножив (3) на (4).
Сложив уравнения (3) и (4), имеем у' (еа е а) Интегрируя последнее уравнение, находим (х х1 У вЂ” 1е +е )+ся. 2 (б) Положив л=О и у=О, находим с, а. Перенесем начало координат в точку 0(О, — а). Тогда уравнение (б) запишется в виде т-=н и.и т-н —. ах Ф ах' Согласно (1) это равенство можно переписать в виде т н7 (+у". Ось Ох( называется осноианием Цепной линии. Так как нить находится только под действием вертикальной нагрузки, то проекция натяжения на горизонталь неизменна: 1ГЛ Х!П РАВНОВЕСИЕ ГИБКИХ ПОДВЕСНЫХ НИТЕЙ Вычитая нз (3) равенство (4), находим /» «1 1/е1+у'а = — !атее+ е '1 = -'- 2 и окончательно получаем выражение для натяжения ниги в произвольной точке кривой Н т= — у,=дум Следователы!о, нить будет в равновесии, если длинз сзисаюп!ей насти будет равна ут=Ш).
Задача 13.10. Гибкая нерастяжнмая нить перекинута через ничтожно малый гладкий блок А. Концы нити покоятся на двух шероховатых горизонтальных плоскостях. Левая плоскость расположена выше правой на величину Ь. Определить в предельном случае равновесия рззность длин горизонтальных частей ннтн 2- 1Р Р е ш е н и е. В предыдушей задаче была получена формула для натяжения нити т=ду, К задаче 13.10.
гдеу — координата, отсчитываемая от основания цепной линии. Тзк как на блоке А натяжения левой и правой цепных линий одинаковы, то н основания у них должны быть одинаковыми. Обозначзя парзметры цепных линий через а и ат, ззпяшем, согласно условцю, а — ат=Ь. Натяжение в низшей точке цепной линии Н= ад должно равняться силе трения, т. е. ад гд1. (2) Аналогично для второй цепной линии имеем Н =атд=ХФ1. Вычитая из (2) равенство (3), получаем с учетом (1) а — ат Ь 1 — 11 1 1' Задача 13.11.
Электрический провод на переправе через реку подвешен к двум опорам высотой Ь1 и Ьа. Плнна провода 1., а расстояние между основаниями опор (. Вес единицы длины провода д. ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 431 Найти уравнение кривой, наибольший провес и максимальное натяжение, если й1=30 м, йа 12 м, 1 20 м, Ь =4б м, д 1,2б кГ~м. Решение, Если выбрать начало координат в вершине цепной линии О, то уравнение кривой, согласно (10*), будет При ятом неизвестными являютсж положение точки О, заданное отрезками а и й, а также горизонтальное натяжение Н.
1(ля их К задаче 13.1!. й,-й,= — ~сй — -1), Н I да 41 Н Н/ 1 — а й, — йа-— — (СЬ вЂ”. д — 1). а (2) Находим далее длину провода С вЂ” а С-а С вЂ” а й* ~ )с'1+у'адх * ~ ~/1+вйа — часх 1 сЬЯ" с(х=* а -а 'а Н ах 11-а Н I 1 — а аат Н 1а 2а — 1 — зЬ . ~ = — ~ай в су + ВЬ вЂ ) =* 2 — вЬ -у сЬ -г су, (4) Н) д Ф ъп Вычитая (3) из (2), находим йа — йя = — 1 сЬ вЂ” — сЬ вЂ” 2) а 2 - ВЬ -х- ВЬ вЂ” р-б (б) Н! да С вЂ” 1 Н 1 2 — 1 Н Н ) а 2Н 2Н 2 ы.
и, Вать а ар., т. 111 определения воспользуемся условиями прохождения цепной линии через точки крепления А и В, а также формулой, определяющей длину провода между опорами. Имеем 34 РАВНОВЕСИЕ ГИБКИХ ПОДВЕСНЫХ НИТЕЙ 1Гл х!п Для определения горизонтального натяжения Н возведем (4) и (б) в квздрат и вычтем из первого второе: 1.а -(й(- йа)а * 4 ~ †) ВЬа — ~сйа — р — зпа — у) =* ('Н1а 14 ! а 2а — 1 12а — 1 '1(Г / 2Н (, 2Н 2Н = 4~ — ) з1(а2 — 4- Из этого уравнения находим 1 (( (( З ((,— ((' 1 (( 2н 2Й 1' 11 и ' 2н' Это трансцендентное уравнение вида айг=2,06л решается графически построением двух кривых (или подбором по таблице) Г1(г) = айл, Ял)=2,06г. Их пересечение дает л Щ2Н=2,23, откуда — — 4,48 и, Н 20 4 4,46 Н 4,48 ° 1,25 6,6 кГ.
(6) Для нахождения а разделим (5) на (4). Имеем Ь1 — Ь1 2а — 1 — = 1й — д 1, 2Н откуда а — аг1п — + — = 11,9,и. Н й — й(( (г й 2 Остается найти й, из (2) с учетом (6) йа=й1- — ~сй — — 1) ** 2,28 лг. Н I (Га о=1,'( Н Уравнение кривой найдем, подставив найденные значения в уравне- ние (1) у 4,48 (сй — — 1) . 4,48 Ст „, зла Л,-й, — Юа 11 ~ай — ~ (1л У Н Из этого равенства находим абсциссу искомой точки кривой .та = — агап — =- — 3,61 ль и л — а д Переходим далее к определению наибольшего провеса провода. Наи- больший пронес будет в той точке кривой, где касательная к ней будет параллельна прямой АВ; 35 ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ $ 31 ау Я х Н' где Н вЂ” натяжение в самой низкой точке цепи.
Замечаем, что приращение вертикальной нагрузки ЫЯ=роИз, а натяжение цепи, согласно условию, пропорционально толщине, т. е. равно Т = йо, где й — коэффициент пропорциональности. Вычисляя от обеих частей равенства (1) дифференциал, находим Ну = — = — Ых. а2 Н Н (2) С другой Стороны, так как на цепь действует только вертикальная нагрузка, то проекция натяжения на горизонтальную ось х есть величина постоянная йх ох Н = Т вЂ” = йо — = сова( оо ох откуда Н оо о= — —. а а'х' Значение о вносим в уравнение (2). Тогда находим (3) где учтено, что ~й=)/1+У'гьх. Отделяя переменные, получим ау' Р— = — Их (1 +У') А 2* Наибольший правее равен й,-й, /тах = йт 1 (а хт) йо у (хо) йт — — (а — х,) — й — — (сй —.- — 1) = 1874 м.
йг — Ь, Н / дх1 о Натяжение провода, согласно (1!о), будет Тл — — Н+гуу, =Н+ ту(йт — йо) = 40б мГ, Тв=Н+~уЛ=Н+~у(йо — йо)= 17,8 кГ. Задача 13.12. 11епью равного сопротивления назывзется цепь переменной толщины, у которой толщина в каждой точке пропор- циональна натяжению Т. У такой цепи вероятность разрыва во всех точках одинакова. Определить уравнение равновесной кривой и закон изменения толщины цепи.
Решение. Обозначим буквой о переменное сечение цепи, изме- няющееся вдоль ее длины. Если обозначить вес единицы объема цепи через р, а ее длину через з, то вес элемента Ыз равен роИз. Выберем начало координат в самой низкой точке цепи. Для нахо- ждения уравнения кривой воспользуемся уравнением (1*) 36 РАВБОВесие ГиБких подВесных нитеи [ГЛ. ХП! и, интегрируя, имеем агс1еу' = — х+ с!.
» Начало координат выбрано в самой низкой точке, где у кривой минимум. Следовательно, при х= О у'=О и с»=О. Итак, у'=1е — х, Р (4) с(у = 16 — х 4»х, Р » Интегрируя, находим у= — — !псов — х+с. » Р » При х=О у=О и с»=О. Итак, — — у=!псов — х, е» соя — х Р Р У Р »» » или окончательно е» соз — х=1. У Р » Это и есть уравнение кривой равного сопротивления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
