1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 3
Текст из файла (страница 3)
На рис. а изображен трос подвесного моста, несушии равномерно распределенную по его горизонтальной длине нзгрузку () = 34 Т. Определить вид кривой, которую займет трос, н максимальное натяжение троса, если 1= 30 лг, Т= 3,6 лг, )г = 3 лт. К задаче !3.1. Р е ш Е и и е. Выбираем систему координат, помещая начало в нижней точке троса С и направляя ось ж горизонтально вправо, а ось у — вертикально вверх (рис. б). Провисания троса, очевидно, равны г, =Т"= 3,6 м, Та — — г"+й = 6,6 лг.
Интенсивность равномерно распределенной нагрузки ~у = ()/г'= - — = 1,8 Т/и. 64 ЗО Чтобы написать уравнение равновесной кривой троса, восполь- зуемся уравнением (1*). В данном случае сила О равна О=дх, и уравнение принимает вид йу ул бл и' с помощью таблиц гиперболических функций, При решении задач на равновесие гибких нитей необходимо: 1) определить вид нагрузки, действующей на нить (собственный вес, нагрузкз, равномерно распределенная по горизонтальному пролету, и т.
п.); 2) выбрать систему координат и составить дифференциальное уравнение равновесия нити и уравнение для растягнвающего усилия Т; 3) проинтегрировав уравнение равновесия, найти уравнение равновесной кривой нити; 4) в зависимости от конкретных условий задачи нзйтн искомые параметры. 14 1гл хГН РАВНОВЕСИЕ ГИБКИХ ПОДВЕСНЫХ НИТЕЙ Интегрируя, получаем я~ у-, +С,. Поскольку при выбранной системе координат при т ° О координата у О, произвольная постоянная Са О и уравнение равновесной кривой троса будет -4г Это уравнение параболы с вертикальной осью и О вершиной в точке С. Лля нахождения натяжения троса Т воспользуемся уравнением (2з), которое примет вид Т Поскольку, как это следует из формулы, нзтяжение Т возрастает по мере удаления от точки С, максимальное натяжение троса будет иметь место в точке В и составит величину т, = тн'т тат где Ь-расстояние точки С от опоры В, взятое по горизонтали.
Лля нахождения неизвестных пока величин Ь и О можно воспользоваться формулами (6*) и (7э); проделаем это подробнее. Применив уравнение равновесной кривой троса (1) к точкам А и В, найдем (2) ая льа 2Н' 'а 2Н' Вычтя первое уравнение нз второго, получим 2(тя — Яо =О(Ьа — аа). Одновременно имеем, что а+Ь Из последних двух уравнений следует 1 (1~ — /1) Н Ь 1 + ((в-(ь) Н (3) 2 л1 ' 2 л1 Выражение для нахождения величины 0 может быть найдено подстановкой полученного значения для Ь во второе уравнение системы (2). Получаем ~у,— ууи — 7в у,+т,) и+ ч'41'-= О; Решая это квздратное уравнение, находим пАРАВолическая нить 4 е1 В этом уравнении следует принять знак плюс, так как вершина параболы лежит между опорами. Следовательно, минимальное натяжение Н равно дге 1,8 зое Величину Ь можно теперь найти либо нз второго уравнения (2), либо из второго уравнения (3).
Воспользовавшись последним, получаем Ь ! + ((е — 7г) Н 31 (6,6 — 3,6) ° 40,6 2 лг 2 + 1,8 ° 30 Теперь уравнение (1) равновесной кривой троса принимает вид у ' Ад=0,0222 ла. 1,8 2 ° 40,6 К задаче 132. Растягиваюшее усилие в канате, если натяжение в точке В в 2 рзза больше, чем в точке А. Размеры конструкции даны на рис. а. Решение.
Предположим, что вершина С параболы, определяюшей положение равновесия каната, лежит слева от обеих опор (рис. б). Обозначим, как обычно, через а и Ь расстояния опор А и В от вершины С по горизонтали, а через уг и уя эти же расстояния по вертикали. Имеем очевидные равенства Ь а+6, ~я= У,+6. (1) (2) Максимальное натяжение троса Задача 13.2. Канат несет нагрузку в 160 и) на каждый метр длины горизонтального пролета (рис. а). Определить максимальное Равновесие гивким подвесных нитям 1гл.
мпд В задаче указано, что натяжение каната в точке В в 2 раза болыпе, чем в точке А. Запишем это условие в виде уравнения, использовав непосредственно формулы (ба) и учитывая равенство (1). Имеем (3) где Н вЂ” натяжение каната в точке С в нГ, д — интенсивность распрелеленной нагрузкй в нГ(м. В этом уравнении два неизвестных а и Н. 11ля их определения необходимо составить еще одно уравнение. Оно получзется из (2), если величины гд и уа выразить по формулам (баа) и у есть снова равенство (1) д (а +6)д чад 2Н 2Н (4) Возводя обе части уравнении (3) в квадрат и раскрывая скобки в левой части уравнения (4), получим после некоторых упрошений: На+ 4яая — 44яа — 12д)я = О, да+ Зд Н Н (5) Из второго уравнения этой системы находим Н=д)(а+3).
(б) Подставляя это значение Н в первое уравнение системы (5), получаем квадратное уравнение 2а'+ 2а — 3 = О, откуда Таким образом, имеется два значения а. Выбрав положительное значение, находим а= 2 ~0,823 м. — 1+Р 7 Из уравнения (б) определяем Н: 1 =~(Н +бя(а+б)а= ) 1173 нГ. В этом случае вершина параболы С лежит слева от обеих опор (рис.
6). Н=ц(а+3)=150(0,823+3) 573,4 нГ. Возвратившись опять ко второй формуле (5*), находим искомое максимальное усилие в канате ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ НИТЬ Ф т! Если же выбрать второй отрицательныз корень, то а = — 1,823 м, — ! — 1'7 2 Задача 13.3. Гибкая нерастяжимая нить прикреплена в точках А и В, лежаших на одной горизонтали (рис. а). !4а нить действуег вертикальная нагрузка, распределенная по всей длине пролета, причем иа участке длины а интенсивность нагрузки ьум а на участке ! ! йииввь' а! г ! !' '! е) К задаче 133. длины Ь ее интенсивность дз. 11лина пролета АВ=е, наибольший провес Г.
Определить горизонтальное натяжение нити, если ил. Ь и паинизшая точка лежит на участке Ь. Р е ш е н и е. Рассмотрим равновесие всей нити, отбросив мысленно опоры и заменив их действие реакциями (рис. 6). !!ля определения составляющей реакции ВУ составим сумму моментов всех сил относительно точки А В 1 —,Ута — — ОзЬ ~ У вЂ” — ) = О У откуда В=' У= и вершина параболы лежит между опорами. Йля этого случая находим: Ь=4,177 м, Н=176,6 кГ, Те=325,5 кГ, Те=65! кГ, у"г — — 1,46 м Ге=7,46 ле. 18 РАВНОВЕСИЕ ГИБКИХ ПОДВЕСНЫХ НИТЕИ 1ГЛ, Х!П Рассмотрим равновесие отрезка гибкой нити С/7, где С вЂ” наинизшая точка, ай — произвольная точка правой части нити.
Она находится под действием трех сил: натяжения гт в точке С, натяжения Т в точке /7 и вертикальной нагрузки Я (рис. в). Строим на этих трех силах замкнутый силовой треугольник, откуда 139=- - = —. ау Е дл Н' Но вертикзльная нагрузка О= — д (3) (4) где х отсчитывается по горизонтали от опоры В. Внеся (4) в (3), имеем йу Вя — д,л ял Н (б) Отделяя переменные и интегрируя, находим 1 Нт — Нтх — ~ 4,х~+С;.
(6) при х=О у=О. С другой Произвольная постоянная СХ=О, так как стороны, в точке С вЂ” — =О яу Вл и из (5) определяем (7) В ха = —. я чя Подставив в уравнение (6) у = / а вместо (8) м его значение (8), получим щ= — я 2д, ' Внеся в это равенство значение Нт из (2), окончательно находим (Ч,аз+-2д,и — ц,ь')Я (1О) ЩН лу ял л = --+Схч лл Н Задача 13.4.
Канат подвешен к точкам А н В, лежащим на одной горизонтзли. Он несет нагрузку, равномерно распределенную по горизонтали интенсивности д ХГ(м. Расстояние АВ=/. Провес в середине пролета /, Определить длину каната, а также изменение провеса, если длина каната вследствие температурного скачка изменилась на величину ЛЯ. Ввиду малости отношения ///~ 1/1О членами, содержащими его в степени выше второй, пренебречь. Решение. Выбираем начало координат в точке А. Тогда уравнение (1*) примет Вид 20 РАВнОВесие Гибких подВесных нитен 1гл хги гтг»л -д хт а 6 ггя»» — = -- -+СР г»л Н Интегрируя его и учитывая начальное условие у=О при х=О, получим »л~ у = — —,— + Стх.
2Н (2) Задача 13.5. Гибкая нерастяжимая нить, закрепленная в точках А н В, лежащих на одной горизонтали, и нагруженнав равномерно распределенной по горизонтали нагрузкой гу кГ~м, имеет провес у». Расстояние АВ=1. Затем нить догрузили симметркчно расположен- $~ ной равномерно распределенной по горизонтали нагрузкой р мГ(А» на участке длиной 2а (рис.
а). Найти урзвнения кривой равновесия в г л нити, ползгая стрелку провеса малой. Определить изменения провеса у и горизонтзльного натяжения О. )га Найти отношение 2а/г, пРн кото- ром провес у становится макси- И А1 т» мальным. С Гд, Р е ш е и и е.
Обозначим буквой и С точку нити, расположенную нз вертикали, проходящей на расстоянии а от центральной оси. Точка С делит нить Ай на две параболические ветви АС и САА, которые у в точке С имеют общую касзтель- ную (рис. б). У А~ В самом деле, разрежем мыс- 1 ленно нить в точке С и рассмотрим ! равновесие э гой точки. На точку .р С действуют две реакции — нагяжет» ние части нити АС и части нити СО. Под действием двух снл точка л,21 С может находиться в равновесии только при условии, что они изп- 4 рззлены по одной прямой. Но на- К задаче 135. тяжения напрзвлены по касательным к соответству1ощей части нити. Сле- довательно, касательные к частям нити АС и Со в точке С должны совпадать. Выбирая оси координат с началом в точке А, запишем уравнение ветви АС, согласно (1*), в виде 21 ПАРАВОЛНЧЕСКАЯ НИТЬ диалогично пзходим уравнение ветви С0: — = — — х+ 0Ь ЛУ Ч+Р ах интегрируя которое находим у= — — ха+0,Х-(-0.
»+Р 2Н 3' В точке С с абсциссой хт = — -а равны ординаты обеих ветвей и их производные, определяюшие угол наклона касательных: — — х+С,= — — х,+0, »х, »+р Н Н вЂ” — + Стхт —— — — х~ + 0,ха + 0э »х", »+Р з 2Н 2Н (6) Из (б) и (6) находим 0т = Сд + — хп Р Н (7) я х З= — — ХР 2Н (8) Тогда уравнение параболической ветви С0 будет у= — — +С х — — (х-х,)'. Чхх Р 2Н т 2Н (9) Подставляя эти условия в (9), находим С, 1+а »1 ра 2Н Н (11) Итак, уравнение ветви С0 окончательно будет у = — — + — + -( х — — (х — х,)'. Чх~ ( »1 Р" т Р 2Н (2Н Н( 2Н (12) Из этого урзвнепня находится правее 7', если подставить значение х=7г2: у= — [» +ра(7 — а)~ (18) Заметим, что формулу (13) можно получить и другим путем. Йействительно, рассмотрим равновесие половины нити А0 (рис.
Ч), Пля определения произвольной постоянной интегрирования С, воспользуемся условием горизонтальности касательной к кривой посредине пролета, т. е. -У вЂ” =0 при Х=772. ау ах (16) РАВнОВесие Гибких подВесных нитВП [ГЛ. Х!Н находящейся под действием нагрузок: !Уг/2, ра, горизонтзльных реакций Н и вертикальной составляющей реакции УА. Из равенства нулю суммы проекций всех сил на ось у находим Ул = — +ра. л! 2 Составляя далее сумму моментов всех сил относительно точки Р, получим д! 1 а Рт — УА — + — — +Ра ° — = О 2 2 4 2 или УН = — -)- — (1 — а), др ра что совпадает с (1 3). Уравнение ветви АС получаем, внося в равенство (2) значение произвольной постоянной интегрирования (11): (14) Найдем абсциссу точки Е вершины параболы АС.
Для этого првравняем нул!о производную (14) Еу е! ра я», =-О, ах 2н и н (15) откуда Е ! р Ха= — = — + — а 2 2+а Переходим к определению горизонтального натяжения Н. Для зтого находим длину половины нити АР, при равномерно распределенной по горизонтали нагрузке а, согласно равенству (8) предыдущей задачи АР— !1+ — — -! ! / 8 а 21 З !а) ° (17) АР = АŠ— СЕ+ СР. (18) Находим слагаемые правой части, пользуясь формулой (11) предыдущей задачи. Имеем (12) Далее, замечая, что с учетом (16) где уч — правее нити под действием нагрузки д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
