1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Г. Лойцянского и А. И. Лурье <Теоретическая механика», т. 1, т. 2 (книга, определившая современные ~р~диции преподавания мехзники во втузах), а также учебники: Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, д. Р. Меркин, Курс теоретической механики, т. 1, т. 2, В. В. Добронравов, Н. Н.
Никитин, А. Л. Дворников, Курс теоретической механики, С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, А. А. Яблонский, Курс теоретической механики. Кроме того Рекомендуем при изучении отдельных глав настоящего тома следующие книги: Н.
В. Бутенин, Введение в аналитическую механику, 1971, А. И. Лурье, Аналитическая механика, 1961, Я. Л, Лунц, Введение в теорию гироскопов, 1972, Д. Р. Меркин, Введение в теорию устойчивости движения, 1971, Я. Г. Пановко, Введение в теорию мехапических колебаний, 1971. В настоящем руководстве основное внимание уделено решенно конкретных задач, специально составленных для того, чтобы, с одной стороны, избежать разбора задач, входящих в сборник И. В.
Мещер- ПРЕДИСЛОВИЕ ского и иные распространенные в СССР задзчники, а с другой — дать возможность после изучения книги (или ее разделов) самостоятельно решагь главные типы задач. Для облегчения активного изучения материалов в каждом разделе книги даны краткие рекомендации о последовагельностн решения тех или иных типов задач и лишь после этого приведено подробное рассмотрение подобных задач, причем зачастую сравнены и оценены различные методы решения. Предполагается, что параллельно с разбором материала по руководству читатель на основе изученного решает соответствующие задачи из сборника задач И.
В. Мещерского 1переработанное 32 издание 1970 г. и последующие издания) и тем самым научается применять полученные знания. Сравнительно большой объем руководства объясняется тем, что оно составлено в расчете как на последовательное изучение, так и на выборочное использование. Последний способ и является главной формой применения ввиду различия объема материала и порядка его прохом<дения в различных высших учебных заведениях. Первое издание этой книги вышло в свет в двух ~омах в 1961 г.
С тех пор книга неоднократно переиздавалась. Идя навстречу многочисленным пожеланиям, авторы внесли в настоящее издание новые главы, освещающие дополнительные разделы курса теоретической механики. Из большого числа неохваченных ранее вопросов были выбраны немногие разделы, получившие за последние годы наиболее важное н широкое применение в современных инженерных расчетах и исследованиях. Это потребовало увеличения объема книги, в связи с чем настоящее издание выходит в трех томах. Первые два тома охватывают материал, отвечающий основному курсу теоретической механики, а третий том содержит колебания системы материальных точек и дополнительные главы механики. В связи с этим некоторые разделы перенесены из первых двух томов в эту книгу. В нзстоящем томе главы 15, 17, Я 1, 2, 3, 4 и пункты 1' и 2' э 6 главы 20 написал М.
И. Бать. Главы 13, 14, 16, 18, 19, а также Ь б и пункт 3' 9 6 главы 20 написал А. С. Кельзон. Авторский коллектив понес невосполнимую утрату в лице безвременно скончавшегося профессора Г. Ю. Джзнелидзе, соавтора и первого редактора книги. Авторы считают своим приятным долгом принести глубокую блзгодарность И. В.
Бутенину, Д. Р. Меркину, В. К. Прокопову за ценные советы, позволившие улучшить рукопись; Н. И. Алексеевой, Б. Г. Бергер, А. П. Зобнину и В. И. Прядилову за темы некоторых зздзч; Р. А. Кельзону за участие в написании глав 1 3 и 19. Лспинграл, март 19?1 г. М. И. Балгь, А. С. Кельзон РАЗЛЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МЕХАНИКИ ГЛАВА Х111 РАВНОВЕСИЕ ГИБКИХ НЕРАСТЯ)КИМЫХ ПОДВЕСНЫХ НИТЕЙ В 1. Основные определения н зависимости В инженерных конструкциях нередко приходится встречаться с цепями или тросами, подвешенными по концам между двумя опорами и находящимися под действием вертикальной нагрузки, непрерывно распределенной по всей длине нити (рнс.
13.1). Мы будем изучать задачи, в которых заданы величины пролега 1, провесов уг и уя, а также эпюра распределенной нагрузки аА'В'Ь. При исследовании равновесия Н цепей или тросов нужно ответить, как правило, на два вопроса: 1) какоза будет формз кривой, которую ч" займет цепь или трос в положении 4 В равновесия? 2) чему равно натяжение цепи (троса) в любой точке по д Ь длине кривой? Лля ответа на поставленные вопросы рассмотрим равновесие участка СО нити (рнс. 13.2, а). Точка С вЂ” нижняя точка кривой, точка Π— произвольная точка нити с координатами ж и у.
(Направления осей координат показаны там же.) Отсеченный участок С0, который можно рассматривать на основании принципа отвердевания кзк твердое тело, находится в равновесии под действием трех снл: вертикальной силы Я, представляющей собой равнодействующую распределенной нзгрувки на участке С0, и двух растягивающих усилий и и Т, предстзвляющих реакции со стороны каждого из отброшенных участков нити (рис. 13.2, б). Силы И и Т направлены по касательной к кривой соответственно з точках С и О.
Вертикальная сила 11 проходит через центр тяжести той части эпюры, которая расположена между рассматриваемыми сечениями. Эти трн силы должны образовать замкнутый силовой РАВНОВЕСИЕ ГИБКИХ ПОДВЕСНЫХ НИТЕИ 1ГЛ. Х!П треугольник, показанный на рис. 13.2, з. Из этого треугольника находим 3= на Так как 136 =нуГвх, это выражение принимает вид (1*) С другой стороны, из силового треугольника следует, что Уравнения (1*) и (2э) являются основными при расчете гибких подвесных нитей. В этих уравнениях сила Н постоянна, а сила ьт является, очевидно, функцией х.
Рис. !3.2. Уравнение (1*) является дифференциальным уравнением кривой н положении равновесия и после интегрирования дает ответ на первый из поставленных выше вопросов. Второе уравнение отвечает па второй вопрос. Относительно характера внешней нагрузки на нить необходимо отметить следующее. На практике наиболее часто встречаются два случая распределения этой нагрузки. 1) Тонкий трос или легкая цепь подвержены воздействию равномерно рзспределенной нагрузки, приложенной с помощью вертикальных подвесок (рис.
13.3), Обычно эта нагрузка велика по сравнению с весом самого троса или цепи, и можно считать, что она распределена равномерно по длине горизонтального пролета. 2) Гибкая нить свободно висит в поле сил тяжести, находясь под действием только собственного распределенного веса (рис, 1 3.4), Эпюра такой нагрузки определяется, очевидно, видом кривой, форму которой принимает нить. Г ~ г основные опведеления и зависимости 4 П В первом случае нагруженная гибкая нить принимает форму параболы, во втором — цепной линии.
Приведем основные формулы для определения характеристик нити в обоих основных случаях. П а р а б о л и ч е с к а я н и т ь. Если на нить действует равномерно распределенная по длине пролета 1 вертикальная нагрузка интенсивности д (рис. 13.3), то уравнение равновесной кривой нити при выбранном направлении осей координат имеет вид У=— члч 2Н' т. е. нить образует участок параболы с вертикальной осью.
Рис. 13.3. Рвс. !3.4. Натяжение нити вдоль кривой изменяется в соответствии с уравнением (2*) т-рз 4ьлг (4*) т, = гн4т'дю, (ба) где расстояния а и Ь нижней точки С относительно опор А и Н опРеделяются из уравнений ячз ух= Н (6*а) яаз Л-— 2Н или из уравнений Ь=-+'-"' !Л уН г —,"Н (6" б) 4! Во о всех этих уравнениях остается пока неизвестной величина минимального натяжения Н. Она определяется по формуле Н= 7* 2( 6 х УГ)~ ( ) откуда следует, что натяжение нити будет минимальным в самой нижней точке С (где оно равно О) и что оно увеличивается к концам нити, достигая максимума в верхней опоре. Силы натяжения на концах нити в точках А и В соответственно равны 12 РАВНОВЕСИЕ ГИБКИХ ПОДВЕСНЫХ НИТЕЙ [ГЛ.
ХП! г 1е .Тг — Те — Т, =Ь= — и Н==. 8) ' Цепная линия. Будем считать, что нить свободно подвешенз и поле сил тяжести и подвержена действию только собственного веса, равномерно распределенного по длине нити (рис. 13.4). Введем следующие обозначения: гг — вес единицы длины нити, а †дли дуги СВ. Тогда связь между координатами г и х точки 0 дается уравнением *) пл а = — ай —. Н' (8е) Длина нити Б между опорами равна Б= — (ай —,+ВЬ вЂ” ). Н / пп пат й Й) (йе) Уравнение равновесной кривой нити при выбранном напрзвлении координатных осей имеет вид у=а( чн-"-1) Это урзвнение цепной линии с вертикальной осью.
Натяжение нити в произвольной точке 0 равно Т=Н+ 1У. (1'*) Из этого уравнения следует, что натяжение Т будет минимальным в нижней точке С нити, где оно равно Н, затем оно увеличивается к концам нити и достигает наибольшей величины в верхней опоре. Натяжения на концах А и В соответственно равны Т = Н+е)Т„Ть — — Н+г)(я (12*) Если требуется опрэделить расстояния а н Ь, то следует воспользоваться формулами (1 0е) а= — агсй( — +1ь Ь= — агс)т1 — +1). Н Гает 1 Н /4, е (,й 1' П '1й (1Зе) '1 Напомним, что гиперболические синус и косинус определяются фор.
мулами ев е= — (ее — е «), сп е — (ее+с е). 1 В этом уравнении знак плюс соответствует случаю, когда вершина параболы, определяющей положение равновесия нити, расположена между опорами, как это показано на фигуре. Знак минус относится к тому случаю, когда вершина параболы лежит по одну сторону от обеих опор. В важном частном случае, когда обе опоры находятся на однол~ уровне, имеем 13 пАРАБОлическАя нить !1аконец, величина Н находится из уравнения 4 - = агс 3 ф+ 1 ) + агс)г (уйе + 1) (14*) 9 2. Параболическая нить Задача 13.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
