1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 4
Текст из файла (страница 4)
После приложения добавочной равномерно распределенной по горизонтали нагрузки р длина половины нити АР найдется из рзвенства (рис. б) 23 ПАРАБОЛИЧВСКАЯ НИТЬ 4 г! находим СЕ=~1+ ~)а ~1+ 0'+4) аг~ (20) С)7=,~!+ ! +яр" ~ (21) (2п'+и) яе — (2пг — 2п) яз — 3 (п — 1) лг — 4л+ 1 = О. Корни этого уравнения л, = 2аг,!1 могут быть найдены графически или приближенными методами. Ниже в таблице приводятся искомые значения при 0 ( и ( 1. Эта задача впервые была корректно решена С. П. Тимошенко е).
"! Ь. '! ! т о а й е и 1с о, доигпа! Егап!с!!и 1па!!!и!е, № 235, 1943, стр. 218. Ввиду того, что нить нерастяжима, длина участка нити А1)е = А17. Внося значения (19), (20) и (21) в формулу (18) и приравнивая ее (17), найдем 2~'+ЗР)=2( +~")[ + 24Н* 1 (и+ )( + 80 ~+ +а~1+ онг' 1, (22) где обозначено рГд п, 2аД=ж При этом учтено, что Е =7(!+ли). Согласно формуле (4) предыдущей задачи Оя — — ~ В!е ' (23) Тогда формула (22) может быть переписана в виде Н = Н 1+ Зил+ Зиглг — (2пг + и) аа. (24) Заменяя Н и Не через 7" и 7" по формулам (13) и (23), находим (25) 1+па (2 — г) Це У!+Зпг+Зпггг — (2пг+п)гг Пля определения участка 2аг, на котором надо расположить добавочную нагрузку р, чтобы провес достиг максимума, надо вычислить производную д~/дл и приравнять ее нулю. Это приводит к урав- нению РАВнОВесие ГиБких пОдВесных нитеп [ГЛ ХН! Задача 13.6.
Гибкий нерастяжимый канат подвешен к шарнирам А и В, лежащим на одной горизонтали. Канат находится под действием нагрузки д к[7м, равномерно распределенной по горизонтали. Затем в наинизшей точке к канату приложили сосредоточенную силу Р (рнс. а). Требуется определить изменение провеса и горизонтального натяжения, если отношение у)[~10 и членами, содержащими это отношение в степени выше второй, можно пренебречь.
К задаче 13.6. дп -8рч Проектируя все силы, действующие на канат (включая силу Р), на вертикальную ось и замечая, что А„=в ввиду симметрии, находим А„= 2 (д1+ Р) = 2 (1+ т), (2) где обозначено Р[д) = ж Разрежем мысленно канат в точке В и составим сумму моментов всех сил относительно этой точки: А — -д — — -Н~=О. »2 2 4 Тогда, подставляя в это уравнение величину А» из (2), получаем у= — ~ — + — [= — (1+ 2и). 1 /дй РП д[а Й~8 4/ 8Н (4) Согласно условию канат нерастяжим.
Следовательно, длины дуг АВА до приложения силы Р и АВ после приложения силы Р равны. Решение. Кривая, образованная канатом при одновременнои действии двух нагрузок, состоит из двух симметричных ветвей пзрабол АВ и ВВ (рис. б). В точке В обе кривые образуют угловую точку В. Горизонтальное натяжение Нч при действии только распределенной нагрузки [д равно 25 ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ Длина дуги АРр равна (см. формулу (8) задачи 13.4) АРо= 2 (1+ 3 га) (5) С другой стороны, длина дуги АР= АŠ— РЕ. Пользуясь формулой (11) задачи 13.4, находим 2 ( +24Н)' ( 6Н~)' или Р 1ч Ь= — = —. 2а 2' Приравнивая длины дуг АР„=АР с учетом (5) и (6), находим Если учесть (1), то после несложных преобразований находим Н=НД/1 +Зч+Зчз, 1+2г У=уч —.
Ьгг+Зч+Зча' Эти формулы определяют изменения горизонтального натяжения и провеса, вызванные приложением сосредоточенной силы Р. $ 3. 1(впная линия Задача 13.7. Гибкая нить длины 30 м и веса единицы длины 7 5 кГ~м свободно подвешена к двум опорам, находящимся на взаимном расстоянии 15 м и на одном уровне.
Определить стрелу провисания в середине пролета и максимальное натяжение нити. В е щ е н и е. Изобразим схематически равновесное положение нити. ~адаче заданы: расстояние между опорами 7= 15 м, длина всей "н"и 5=30 м и вес единицы длины нити у=7,5 нГ(~м. ЗДесь имеет где ь1'2 — расстояние до вершины параболы Е от вертикали, проходншей через шарнир А, Ь вЂ” расстояние от той же точки Е до вертикали, проходящей через точку Р. Так как канат нагружен только вертикальными силами и горизонтальные натяжения в любой точке каната равны, то расстояние Ь можно найти, приравнивая вертикальную составляющую в точке Р. Фиктивная вертикальная нагрузка па участке РЕ, равная дЬ, должна равняться вертикальной нагрузке в точке Р, равной для левой половины каната Р~2, т.
е. РАВНОВЕСИЕ ГИБКИХ ПОДВЕСНЫХ НИТЕЙ 1ГЛ ХП место второй основной случай нагружения, когда нить принимает форму цепной линии. Для определения величины провисания нити 7 необходимо составить уравнение равновесной кривой нити. Выбрав систему координат 1 Сху, кзк показано на рисунке, воспользуемся основным дифференциальным уравнением (1ч), которое принимает вид с ю где з — длина дуги СО. К задаче 13.7, Для интегрирования этого уравнения надо предварительно выразить длину з как функцию координат х и у. Для этого используем известное соот- ношение =)/"1+Я' (х, которое после подстановки в него значения Ыу1с1х из уравнения (1) примет вид Проинтегрировав это уравнение, получим — агай — = х+СР Н да 4 Н (2) Постоянная интегрирования Ст определяется из раиной системы координат з = О при х = О.
уравнение (2) принимает вид Н ял з= — зй —, Н' условия, что для выбОтсюда СТ=О. Тогда Подставив это выражение для з в уравнение (1), получаем дифференциальное уравнение равновесной кривой нити г(у = зй — дх. ял Н После интегрирования найдем у = — сй — +С. Н ял д Н Поскольку при х = О координата у = О, полу чаем С, = — Н/д и оконча- тельно у = ~ (сй У~ — 1), (4) ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ Теперь мы имеем все уравнения, необходимые для решения задачи. Действительно, положив в уравнении (3) зг=l/2, получим Д Н 41 — = — ай— 2 д 2Н' или, после подстановки числовых значений, 1!2,5 56,25 — = ай — ' Н Н Это уравнение вида 2я = ай я. С помощью таблиц гиперболического синуса находим подбором его решение*) д = — ' 2,177, 56,25 Н откуда определяем натяжение нити в точке В: Н- 25,84 нГ. Искомое провисание нити найдется теперь из уравнения (4), если положить в нем А =772: У'= — ~сй — — 1) = — ' ~сй — ' — 1) 11,94 ль Н/ д1 а 25,64г 7,5!5 Е '1 2Н ) 7,5 ~ 2 ° 25,64 11ля определения натяжения нити используем основное соотношение (2е), Вспомнив, что О = пз, и, применив уравнение (3), найдем а=Наин' Подставив это в уравнение (2е), получим т=Ъ'не+О.а=осй Ян, или, используя соотношение (4), Т=Н+ду.
Из последнего уравнения следует, что натяжение нити достигает максимума в точках закрепления А и В, где оно равно Тмая = 77+ ~7Т= 25~84+ 75 ° 11,94 115 4 лГ. Задача 13.8, Часть гибкой нити с равномерно распределенным по длине весом лежит на горизонтальной плоскости. Остальная часть инги проходит над небольшим блоком А (рис. а). К концу нити прикладывается постепенно увеличивающаяся сила Т. При этом длина линии контакта ВС нити с плоскостью уменьшается и стремится к какому-то определенному пределу с, при котором начинается скольжение нити по плоскости.
Определить это предельное значе- ние с, если с(= 60 лг, ут= 6 м, коэффициент трения между нитью и плоскостью Д =0,5. ') О других способах решения подобных уравнений см. в задаче 13.6. РАВНОВЕСИЕ ГИБКИХ ПОДВЕСНЫХ НИТЕН [ГЛ. Х11! Решен ие. Участок чВ нити, который примет форму цепной линии, изобрзжен схематически нз рис, б. При решении этой задачи будем пользоваться формулами, данными в начале этой главы, учи. тывая, что в данном случае точка В является нижней точкой кривой, В а~ г5 50 55 00 М,Г Ф5 50 55 00 вр К задача !3.8, Следовательно, Во всех этих формулах надо положить а=а, О=О, С увеличением силы Т возрастает и натяжение нити Н в точке и.
Нить начнет скользить, когда это натяжение станет равным силе трения между участком ВС нити и плоскостью. Запишем это условие в виде уравнения Н = Осло, где д — вес единицы длины нити. 29 ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ 2 2! Таблица ! мо и с !+— !2 асса (3+ — ) 2+асса (1+ — ) 2+асса(! -1- — ) ж 30 35 40 45 50 55 0,4000 0,3429 0,3000 0,2667 0,2400 0,2!82 0,8670 0,8062 0,7557 0,7150 0,6800 0,6491 1,4000 1,3429 1,3000 1,2667 1,2400 1,2182 28670 2,8062 2,7557 2,7150 2,6800 2,6491 41,86 42,76 43,55 44,20 44,78 45,30 са 44,1 м Величина Н должна удовлетворять уравнению (14Я), которое а данной задаче принимает вид — = агсй( — '+ 1), (2) 11сключая из уравнений (1). и (2) величину Н, получаем уравнение — = агсй ! - — ' + 1), с!а 1с!а из которого и определяется искомый размер с. Поскольку с = сг — с . э го уравнение можно записа гь в виде ! (с -- — — = агсй(--+1) 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
