1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 7
Текст из файла (страница 7)
а). Найти коэффициенты Ляме, координатные линии и оси, проверить ортогональность системы, если а ~ Ь. Р е ш е н и е. Докажем, что уравнение (1) представляет собой семейство эллипсов, софокусных эллипсу (3) В самом деле, фокусное расстояние эллипса (3) равно системы кРЯВОлинейных кООРдиндт Исследуем ортогональность системы. Аналитическое условие ортогональности для эллиптической системы координат имеет вид дх дх ду ду — ° — — + — ° — = О. дгп дЧз дЧт дчз (15) Вычисляя указанные частные производные, исходя из (11) и (12), и внося их в (15), получим после несложных преобразований 1 ! 1 1 — — — — = О. 4 аз — Зз 4 аз — Ьз (16) Система координат ортогональна.
Это следует и ив известного свойства касательной к гиперболе — она делит угол между радиусами- векторами, проведенными из фокусов в точку касания, пополам, касательная к эллипсу является разнонаклоненной к тем же радиусам-векторам (рис. б). П р и м е ч а н и е. Эллиптические координаты иногда вводятся и при поможи других зависимостей. Так, например, переменные $ и т, связанные с декартовыми координатвмн соотношениями х ссйясозу, у сейл $1п у, также называются зллиптическими координатамн и могут быть определены как функпии зллиптических координат Ч, и Ч„рассмотренных в задаче. Можно легко показать, что координатные линии 5 =сопя! являются зллипсами, а координатные линии у=сопз! — софокусными гиперболами, фокусное расстояние которых равно с.
Задача 14.4. Зависимость декартовых координат от тороидальных дана формулами х=(а+рсозф)созф у=(а+рсозф)з!пф, я=рз!пф, (!) где а=ОС=сопя) — отрезок прямой ОА, вращающейся в плоскости хОу декартовых координат (см. ри- з сунок). Положение любой точки М в пространстве определяется тремя тороидальными координатами: азимугальным углом ф измеряемым между осью Ох и прямой ОА, и 0 двумя полярными координатами р а М у и ф, лежащими в плоскости хОА, 9 с проходящей через точку М. Проверитьортогональность тороидальной системы координат, а также К задаче 14.4. найти координатные линии, оси и поверхности.
р е ш е н и е. для проверки ортогональностя тороидальной системы координат составим аналитические условия (5) из задачи 14.1. 45 СКОРОСТИ И УСКОРЕИИЯ ТОЧЕК 4 з1 Для криволинейной координаты ф получим дк ду дф — = — (а+ р соз ~р) з1п ф1 — = (а + р соз <р) соз ф; дзг То, да ОЧ= (а+Рсоз~Р)а(з1паф+соззф)=а+Рсозф. Задача 14.6. Криволинейными координатами на плоскости являются плошадь треугольника ОММ и з1п6 (рис. а). К задаче 14.6. Найти уравнения для перехода от криволинейных координат к декартовым, а также координатные линии.
Р е ш е н и е. Обозначая для краткости з1п д = д, находим зависимость криволинейных координат от декартовых хуе 2А, у= Я к. р1 дз Координзтные линии соответствующие координате д, найдутся, если положить координату А=сопз1. Это будут параболы (рис. б). Координатные линии, отвечающие координате А, найдутся, если положить д=сопз1.
Это прямые, исходящие из начала координат под разными углами. Система координат неортогональна. $ 3. Скорости и ускорения точек в системах криволинейных координат Задача 14.7. Определить проекции скорости и проекции ускорения на оси сферических координат. Решение. В задаче 14.1 были определены координатные линии сферической системы координат.
Пользуясь формулами (бв), находим дифференциалы дуг координатных линий и затем проекции скорости на оси сферической системы координат (сЬ),=4(г, (гЬ)з=г с(д, (1(з), =гщпд йр 46 кннвмлтикл точки в кэнволннвиных координатах !гл.х!ч н, следовательно, о,* Г, ов *гВ, оч=га1пО ф, (2) где роль обобщенных координат играют сферические координаты чл г чз *0 Ча (р' Тогда, учитывая формулу (6а) е,,-Н! Вь находим коэффициенты Ляме Н, 1, Нв=г, Нч гз)п0. (4) Зная зти коэффициенты, ищем проекции ускорения на осв сферических координат, пользуясь формулой (8"): Т= — е'= — (Га+ га81+га з1п'0 ° ф) 1 1 2 2 и формулой (7*) ! Гд дТ дТ! я~л = — ~ — — — — ) = Р— ГΠ— Г 11П 8 ° фа нл1д! дг дг) так как (6) — — = гВ'+г з)п' О.ф, дТ дТ дл ' дг 1 I д дТ дТ! а'в= — ( — —.
— — ) =гВ+2Г — г з)п0 сов 8 ф', На к! да дз (7) так как дТ ддТ вЂ”.=гаВ, — —.=гаВ+2гг В; — =га вшО ° сов 0 ° фа; дТ дз ' ИдВ дв 1 /д дТ дТ' а'ч — — — ! — —,. — — ) = г в)п 0 ° ф+ 2Гф з)п 0+ 2г соз 8 8. ф, (8) так как дТ . ддТ др ' д1дф — гав!и'8 ф, — —.=газшзО ° !р+2г ° Г ° гАп10 ф+ +2г в(пО сов О В ф, д — — О.
дт де Задача 14.8. Определить проекции скорости и ускорения точки на оси тороидальной системы координат (см. рисунок к задаче 14.4). Рещение. Пусть прямая ОА вращается вокруг точки О в плоскости О.еу, Возьмем точку С на этой прямой за полюс и обозначим расстояние ОС а. Положение любой точки М можно определить заданием трех координат: азимутального угла ф образованного осью к и прямой ОА, при котором плоскость хОА проидет через М, 121 око~ости и искореняя точек и двух полярных координат р и Ф точки М в втой плоскости при полюсе С.
Координаты р, Ф, Ф называются тороидальными координатами. Декартовы координаты выражаются через тороидальные координаты формулами .е=(а+рсовФ)созф у=(а+р соз Ф) в(п Ф, г=рз)пФ. Находим коэффициенты Ляме, пользуясь равенствами (б*): йв1 Н1йр, йва= Най%ь йва = НайФ. Заметив, что йз1 = йр, йв, = р йФ, йв, =(а+р соз Ф) йФ, (2) и сопоставляя (1) и (2), имеем Нр 1, Нг —— р, Нэ~ а+ р соз Ф. Тогда проекции скорости на оси тороидальных координат будут ер =На'Р Р~ на=На ф=рф* оэ Нэ ф = (а+ р соз Ф) 21ь Модуль скорости точки равен о У ра+рзФ2+(а+рсозФ)афа. Переходим к определению проекций ускорения на оси тороидальных координат. Находим т = ~ са ~ (Р + Р2Ф~+ (а+ Р соз Ф)~ Ф 1 ° 2 Тогда 1 /й дТ дТЧ ыр- — ~ — —.
— — 1=р-РФ2-(а+рсозФ)фасозФ. Нр йт др др Аналогично ц2 =РФ+2РФ-(-(а+Рсоа Ф)Ф з1пФ. 1 й таз= — [(а+рсозФ)2 Ф)=Ф(а+рсозФ)+2Ф (р соз Ф вЂ” РФ 21п Ф). 48 кинРмлтикл тОчки В кРиволинеинь1х кООРдинлтлх 1гл х1ч Задача 14.9. Определить проекции скорости на оси цилиндрических координат (см. рисунок). Р е ш е н и е. Зависимость декартовых координат от цилиндрических выражается формулами х = р соя ~р, у = р в)п <р, л = г.
(1) Находим коэффициенты Ляме: НР = ~/ ( — ") + ( — ) + (-- ) = 3/ соь' <р + а 1п' гр = 1, Тогда проекции скорости на оси цилиндрических координат равны " Р = ОР ' Р = Р 1', = и, ° л = л. (3) Задача 14.10. Найти проекции ускорения точки на оси цилиндрической системы координат (См. рисунок к задаче 14.9). Решение. Криволинейные координаты р, ф, л определяют положение точки Л4 в цилиндрической системе координат.
Зависимость декартовых координат от цилиндрических у~ определяется равенствами е = Р соа <р, у = Р а1п ф, Коэффициенты Ляме, согласно (4е), равны О,=1, Н,=Р, 0,=1. К задаче 14 9. Ищем проекции ускорения на оси цилиндрической системы координат. Находим Т= — еа — (Р'+Рйр'+ '). 2 2 Тогда 1 /адТ дТ1 — — — 1= Р— РФ' = н, ~ат ар ар,1 = 1 га дт дТ1 1 а нч1ат'аф аа,) р 'аг " 49 СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК з з1 Первые два уравнения являются одновременно проекциями ускорения точки пз полярные оси координат, применяемые в случзе движения точки на плоскости.
Задача 14.11. Точка Л4 движется по винтовой линии согласно уравнениям .ц= а соз И, у=аз1пИ, г И, (1) (2) (3) где а, А, Ь вЂ” постоянные, Определить уравнения траектории в цилиндрических координатах и ее скорость. Р е ш е н и е. Цилиндрическими координатами являются 4г=Р 4з=гу 4з=з. Находим первую цилиндрическую координату р = рт = Ь' ха+уз = а = сопзй Вторая цилиндрическая координата ф = И. (б) Третья цилиндрическая координата дается непосредственно равенством (3). Исключая время из уравнений (3) и (5), получаем (6) так как в данном случае р = сопз1. Далее И =О, ° ф=р ° А. 1~к=о, 2=Ь.
Наконец, Задача 14.12. Определить проекции скорости дзижупгейся точки на оси эллиптической системы координат. Р е ш е н и е. В зздаче 14.3 были найдены коэффициенты Ламе длЯ эллиптических кооРдинат Т1т и т)„сввзанных с декаРтовыми координатами уравнениями кя уз хя уя — + =1, — + — =1, '+Ч, З'+тп ' ~+а э*+пи (1) где а, Ь вЂ” постоянные величины.
которое вместе с равенством (4) и дает уравнение траектории точки — уравнение винтовой линии в цилиндрических координатах. Винтовая линия навивается на поверхность цилиндра радиуса а. Согласно задаче 14.9 проекции скорости нз цилиндрические оси координат равны 50 кинематика точки в кзиволингиных кооодннатах 1гл.хгг Коэффициенты Ляме рваны 2 Г (ао + Чт) (Ь' + Чт) ' ч' 2 У (ао + Чт) (Ь*+ тт,)' Тогда проекции скорости на оси эллиптической системы координат будут 1т/ Ч вЂ” Ч* чт= ч,'Чт=-2 р (ао)„1)(Ьо,,й)'Чт р и ° = — 1 ..
Ч, („+,(„+„) Чо (3) Модуль скорости равен т-ттооть--,'-У'а.— СледУет иметь в видУ, что Чт ванных в задаче 14.3. Задача 14.13. Уравнения координатах уравнениями „')т т)т 'Ь(ат+Чт) (Ь*+т1т) (ао+т)о) (Ьт+Чо)~' и Ч, должны лежать в пределах, укадвижения точки заданы в полярных р=рое от (1) ф И. (2) Определить траекторию, скорость, ускорение, секториальную скорость н радиус кривизны траектории. Решение Для нахождения траектории в явном виде исключим из уравнений (1) и (2) время р=рое з (3) Для определения проекций скорости точки на полярные оси воспользуемся значениями коэффициентов тут У!яме (см. задачу 14.9) Ор — 1, И„= р.
(4) Тогда, согласно (6о), о„= Ор. р — Арое "т, (5) оэ=~Уо'ф=рй=ройе о'. (6) а Отсюда модуль скорости равен х К задаче 14.13. (8) (9) Направление скорости показано на рисунке. Проекции ускорения на полярные оси, согласно задаче 14.10, равны тер — — Р— Р~Ро = ЬоРое о'- лоРое "' = О, тз,о — — 2)яр+ ртр = — 2йорое "'. Таким образом, полное ускорение точки рвано нт . СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК $ 3! Для определения радиуса кривизны траектории вычисляем касательное ускорение н~т = - = — )/2 рзЬзе ы.
е! (1О) Нормальное ускорение равно (1 1) Радиус кривизны трзектории ез 2 ~Аде зж т — = Р =)/2рзе ы=)/2р. мз Р2рзе Ы (12) Секториальная скорость равна о = — = — рзф = — р'йе ззт. 'зз ! ° ! л! 2 2 а (12) Секториальная скорость связана с проекцией ускорения на трансверсальную ось формулой 2П У те = — — „(р'ф) = — --. (14) Задача 14.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
