1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 11
Текст из файла (страница 11)
лэржкваться, хотя точнее ааэмэать эе вьютоиовой силовой фуикцкей. кяплвэово движении Ьн Если тело не имеет сферической структуры, то потенциал силы притяжения всего тела дается формулой (4з) где г, — расстояние от частицы вгл до првтягнваемой точки единичной массы. Интеграл вычисляется по всей массе тела. Если рассматривать Землю как тело сферической структуры, то ее ньютонов потенциал равен и= — =— и ~М г г ' (бз) где р=уМ вЂ” гравитационный йарзметр, равный произведению постоянной всемирного тяготения нз массу Земли, г — расстояние от центра Земли до притягиваемой материальной точки.
Численно р = = 3,98 ° 10' нмз/сека. Сила притяжения Земли равна го= — ю — г р гй (б ) (7*) где г — рздиус-вектор, проведенный нз центра Земли к космическому аппарату, е — эксцентриситет, р — фокальный параметр конического сечения, ф †уг между полярной осью и радиусом-вектором г. Зто уравнение конического сечения, которое в зависимости от величины эксцентриситета определяет: при е( 1 эллипс, при е= 1 параболу, при е ь 1 гиперболу. Величина е зависит от начальных условий движения.
Кроме укзванных случаев, траектории могут быть при определенных начальных условиях радиальными (прямолинейными) и круговыми, где т — масса притягиваемой точки, г — радиус-вектор притягиваемой точки, проведенный из центра Земли. При изучении движення космического аппарата вблизи Земли последнюю в первом приближении рассматривают как тело сферической структуры, а космический аппарат в как материальную точку. Прн этом масса Земли М несоизмеримо больше массы космического аппарата т, вследствие чего можно пренебречь действием массы лг на массу М.
Задача о движении космического аппарата в этом случае является частным случаем классической задачи двух тел. Траектория космического аппарата, движущегося под действием силы притяжения Земли, дается формулой Р ! — есшф' КОСМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА [гл. Кщ Все пять траектория называются кеплеровыми траекториями, а движения, происходящие по зтим траекториям, называются кеплеровыми движениями. Так как сида всемирного тяготения является консерватнвнок силой, то при двнженяи в потенциальном силовом поле Земли имеет место закон сохранения механической знергии са — — ~ = сопз1. 2 г (е) Задача 1З.1, Точка совершает кеплерово движение.
Найти уравнения движения и построить годограф скорости точки для трех слуе<1 т) чаев кеплеровых траекторий. Определить модуль скорости в любой точке траектории, Решение. Обозначим орты радиальной и траисверсальноп осей чеРез ез н Ва. Тогда скорость точки, движу- шейся в плоскости, будет выл ражаться через составляющие в полярной системе координат в з ваде и = Ке, + гфяя. (1) Найдем проекции скорости на полярные осн координат прн кеплеровом движении.
Прн движении под действием центральной силы проекция ускорения точки на трансверсальную ось обращается в нуль; щ = гф+ 2)ф = О, откуда е>1 т+2 О или 1п ф+ 2 1п г =1п с н, наконец, а) К задаче 162. б) (2) ато есть интеграл площадей. 1(ля нахождения проекции скорости на радиальную ось заметим, что . Иг гэ=ф —, дф Из (2) имеем с Ф= КИПЛВРОВО ДзижВННВ Фп а из уравнения конических сечений в полярных координатах Р Г+ (б) находим лг Рамп ф Ф о-.' Ф (8) Перемножая (4) и (8), согласно (8) и (б) будем ииеть с Рсоп сомп~ гв 1+есавф)в Р Внеся (2) и (7) в формулу (1), получим (7) с с о — е в1п фет+ — еь Р г Или, заменив г согласно (б), найдем (г Л е1 совф в1пф е — в1п ф соа ф Спроектироаав скорость (8) на декартовы оск, найдем о„= — — в1п ф, тя — (е+ сов ф). с с Ф в Исключив из втих уравнений угол ф, получим уравнение годографа с чв св о' + ~о — — е~ Р (9) Из уравнении (б) при ф О, получим Р го= ° 1+в' С другой стороны, иа (1) имеем ов рв+ гвфв.
(1 0) С учетом (7), (2) и (б) последнее равенство преобразуем к виду о. с [еа1пфе,+(1+есоаф)еД. Р (8) Проведем через начало полярной системы координат оси е, у. Тогда направляющие косинусы между ортами полярных и декартовых осей координат будут 74 КОСМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА 1гл, хчт Эта формула определяет модуль скорости в каждом месте меплеровой траектории с радиусом г, Обоаначив черен пе значение скоростн при ф = О, получаем иа (11) с учетом (1О) тге = —, (1+ е)е. Обовначим для краткости е ее е 1+а Тогда равенство (9) перепишется в виде (12) о' +(о„— ей)я = йа. Уравнение (12) представляет уравнение окружности радиуса й. При е=1 полюс годографа скорости лежит на окружности. Траектория точки — парабола.
При е~1 полюс годографа скорости находится внутри окружности, Траектория — эллипс. При е ) 1 полюс годографа скорости расположен вне окружности. Траектория- гипербола. Все три случая иаображены на рис. а. Соответствующие им положения точек на траекториях даны на рнс. 6. Иа уравнения (11) находим модуль скорости, соответствующий параболической траектории, когда точка находится от пентра притяжения на расстоянии г.
Для этого положим е 1. Тогда ~/М (1З) Для параболического движения находим граничную скорость (при «р= О), внеся эначеняе ге=р/2 иа (10) в (13) - /'аее е,= ~г — 2й. Ре Таким образом, при зе(2й, пе=2й и пе ь2й точка описывает соответственно эллипс, параболу или гиперболу. Ускорение точки направлено параллельно касательной к годографу. Следовательно, угол оА4Р равен полярному углу <р, а скорость о, направлена по трансверсальной осн. Отрезки ОР на рис.
а дают вектор скорости точки в перигее, а отреаки ОА †вект скорости в апогее. Задача 1В.2. Скорость планеты, совершающей кеплерово движение, рааложить на две составляюшиа от — перпендикулярную к радиусу-вектору г и вя — перпендикулярную к большой оси эллипса. Определить модули этих составляющих скорости и доказать, что это рааложение дает непосредственно полярный годограф скорости, кеплиэово движение зп Р е ш е ни ж Разложим скорость планеты на радиальную и транс. версальную составляющие: с ос «ф=- гс .аг с о,=Р=ф — = — ез1п1р. ае (2) В формуле (1) обозначено г'ф с; это — интеграл плошадей.
Вывод формулы (2) дан в предыдущей задаче — формула (7). Разложим скорость планеты на составляющие о„перпендикулярную к радиусу-вектору и, и зз, перпендикулярную к большой оси (рис. а). г1 пг а) К задаче 16.2. Внеся в эти уравнения значения (1) и (2), получим с /1 сссз~р1 с ог — — — — оз соз ф = с1 — — — 1 с а ) э с о, = — е. Таким образом, составляющая о, неизменна по модулю и направлению, составляющая о1 постоянна по модулю.
Отложим от полюса О (рис. б) вектор ОМ оэ а из его конца вектор е„перпендикулярно к радиусу-вектору г. Сумма этих векторов дает скорость планеты о, а угол наклона вектора о, к продолжению ОМ равен полярному углу ~р, При движении планеты конец Тогда, заметив, что угол, образованный е, и о„равен полярному углу ~р, находим ог и, — озсоз~р, е,= —.' . мп е' 76 1гл. хчт космическая динамика / / / $ ! з св/=у гф. (') Проекция ускоренна на трансверсальную ось равна гф+ 2/ф. (2) К задаче 16.3. Проекции силы ньютоновского притяжения на те же осв тзковы: Дифференциальные уравнения движеняя в проекциях на.вти осн будут г-гфз= — —, /' ' гф+ 2/ф = О.
Переписав уравнение (б) в виде (4) (б) — +2 — =О ф ф / и пронптегрировзв, получим 1пф+21п г 1п с, или гзф = с соней Таким образом, секторная скорость, равная (6) 1 . 1 $= — гзф= — с 2 2 (7) вектора н будет описывать окружность радиуса на с центром М, которая н будет являться годографом скорости. Звдвчв 1В.З. Космический аппарат массы гл выведен ракетой-носителем на расстояние г, Я+В, от центра Земли. В момент отделения радиус-вектор образовывал угол ф, с избранным фнкснрованным направлением; скорость аппарата была и, и составляла угол ба с трансверсальной осью.
Найти параметры траектории космнческого аппарата: зксцентрясвтет е, параметр кривой р, угол фь обрааованный избранным фиксированным направлением с фокальной осью кривой. Решение. Лля составления диффе- в/ ренцнзльного уравнения движения космического аппарата воспользуемся проекциямн ускорения на полярные осн координат. Проекция ускорения на радиальную ось равна кеплвгово движение Тогда Д~г и /Дл! Д»и ДФ Д»и р= —, — с — ~ — ]* -с — — — с»и* —.
а дг~др/ ьр д! дчл' (0) Внеся вто аначение Р с учетом (6) в уравнение(4), надаем дифференциальное уравнение движения космического аппарата Д»и 1 Дфй — + и аи р где введено обоаначение р * с»!р. Уравнение (10) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными ковффициентами. Решение его складывается из обшаго решения однородного уравнения и частного решения полного уравнения.
йля нахождения обшего решения однородного уравнения аамечаем, что корни характеристического уравненвя чисто мнимые лц »= = + !. Частное решение полного уравнения и = !/р. Следовательно, решением дифференциального уравнения (10) является и= — -С»соа~р-С»а!п~р, 1 Р и =* — [! — е соа (~р — ~р»)], ! Р где С» и С» илн соответственно в и ~р, — постоянные интегрирования.
Вернувшись к нсходноя переменной г, находам уравнение траекторин в окончательном виде ! 1 — а~ — — С» соа ф — С» 3!п ф, Г р (11) или (12) 1 -а сс» (ф — в») ' Найдем зависимость между постояннымн интегрирования См С (первая форма ваписи траектории) и постоянными е, ф»(вторая форма записи). Переписав уравнение (12) в вида 1 1 е — — — — сов (ф — ф,) г л р и сопоставив с (11), находим С, соз ф+С»з!и !р — сов(~р — !р»). Р (18) постоянна, Перейдя далее к уравнени!о (4) и введя и 1/г, найдем с учетом (6) Дг Д(!)и) Дл Др ! Дл Др Ди .~ — †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
