1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если абсолютная скорость прнсоединяющнхся частиц равна нулю, то основной закон динзмикя точки Телом переменной массы называется тело, масса которого изменяется в процессе движения вследствие отделения от него или присоединения к нему точек, Будем считать, что после присоединения точки становятся точками рассматриваемого тела, после отделения точки перестают взаимодействовать с телом и исключаются нз дальнейшего рассмотрения. Таким обрааом, присоединяющиеся и отделяквциеся точки не возника|от вновь н не исчезают, а только лишь вводятся или исключзются из рассмотрения. Будем полагать, что массы присоединяющихся и отделяющихся точек з единицу времени мзлы по сравнению с массой тела и что процесс присоединения и отделения точек происходит непрерывно. Основоположник динамики точки переменной массы И.
Б. Мещерскип так характеризует этот процесс. Будем полагать, что ю .. к системе непрерывно присоединяются частицы бесконечно малых масс таким образом, что скорости точек системы изменяются непрерывно, тогда как скорости частиц изменяются на конечные величины в момент вх присоединения к снстемею Динамика точки переменной массы с рззвнтием реактивной техники ирнобрела особо важное значение. Если можно пренебречь вращательными элементами движении тела по сравнению с кинематическими элементами его поступательного движения, то вместо динамики тела переменной массы рассматривают динамику точки переменной массы.
Бели же кинематические вращательные элементы должны учитываться, то рассматривается динамика тела переменной массы. Юля точки переменной массы основной закон динамики записывается в виде ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОИ МАССЫ переменной массы имеет вид ,— (лам) = Р. 13 ) Если относительная скорость прясоеднняющихся или отделяющихся частиц равна нулю, то уравнение (1ь) принимает вид яв лг — =* г'. вг 14Р) В проекциях на вертикальную ось, направленную вверх, это даст ЛР ЛШ гл — = шз — в нг к л" поскольку сила тяжести н относительная скорость отходящих газов направлены вниз, Имея в виду, что г1лг(г11 = — с н, следовательно, Следует учитывать, что в в (Зь) в в (4ь) масса является переменной.
При решения задач динамики тела переменной массы применяются теорема об изменении количества движения н теорема об нрменении главного момекта количества движения с учетом изменения массы тела и его моментов инерции. Решение задач в вто и разделе надо вестн в следующей последовательности: 1) определить из условия зздачи, относится ли она к динамике точки илв к динамике тела переменной массы; 2) если задача относится к динамике точки переменной массы, то, применяя уравнение Мещерского, составить дифференциальное уравнение движении точки переменной массы, проинтегрировать его и определить произвольные постоянные интегрирования; 3) если аадача относятся к динамике тела переменной массы, то, применяя теорему об изменении количества движении в теорему об изменении главного момента количества движения, получвть дифференциальные уравнения движения, Проинтегрнровать ех и определить произвольные постоянные интегрирования.
Задача 16.8. Ракета с запасом топлива имеет начальную массу лг,. Топливо сжигается с постоянным расходом, так что йп/пг = — с, где т — мгновенная масса ракеты. Продукты сгорания выбрасываются с постоянной относительно ракеты скоростью е„ Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость о ракеты, движущейся вертикально вверх, в произвольный момент времени 1. Ускорение силы тяжести д считать постоянным. Р е ш е н и е.
Рассматривая ракету как материальную точку переменной мзссы, запишем для нее уравнение Мещерского 88 косыичвская динамика 1гл, хш ш шо-сФ, напишем уравнение (1) в виде (то- сс) ~ — (лоо - сг) к+ спг пс илн Ис оса — =* — К+ — ° агг т,— сг ' Проинтегрировав н вспомнив, что о, постоянна, находим и с ~а --~~а-;~'~~ 'а, где черен по обоаначена начальная скорость ракеты. Тогда Π— ЕО = — Ф вЂ” Ог 1» (та — СС)+О 1П ЛГО. Окончательно аапншем о по-йт+п,1п —. та та — сг ' Задачи 16.9. В условиях предыдушей аадачн, считая, что ракета стартует с поверхности Земли с нулевой начальной скоростью, найти максимальную высоту подьема ракеты и время, необходимое для достижения втой высоты, Принять, что отношение веса первоначального ааряда топлива к стартовому весу щ, ракеты равно п.
Р е ш е н и е. 11ля удобства интегрирования перепишем полученную в аадаче 16.8 формулу для скорости ракеты в виде во с и — -о 1п~1- — с1-йг ) где а — путь, пройденный ракетой, и учтено„что е О. Проинтегрировав уравнение (1), найдем ,- — ~ „а(1 - — '~~ аа — ~ ааа с ~ | (~ — — '~)а(1 — я-ат. Поскольку )1пхЫх х1пх-х, мы получим а=' " [~» ' С)1п(1 ' 1) ~1 с г) 1п1+11-ф, Окончательно а, ~1+ — 1п — ) — —. та-сГ то-сП ята а то ) 2' Фи динлмивл точки пияиминион млссы 69 Уравнение (2) определяет аакон движения ракеты на активном участке траектории (при работаюшем двигателе) Время г', полета на активном участке траектории равно времени сгорания всего аапаса топлива, т.
е, откуда гь а —, ме е' (а) Скорость ракеты в конце активного участка — %,1п ~1 — е 1) — аг — 1п(1 а) - — о, (4) а высота подъема е=е;-у(8-1т), а пройденный путь а а1+ от (г — Фт) — м(Ф вЂ” Фт)а. 2 Время га достижения ракетой наивысшей точки находится иа условия о=О, т.
е. е,— ~(т,— т,)-о, откуда с учетом (3) и (4) получим та = 1т+ — = а — — — 1и (1 — а) — а — ° — — 1и (1 — а), ег мо е~ ме ег л е е Максимальная высота подъема ракеты е,* с(га) равна ге-о,а — +о, — (1 — а) 1п (1 — а)--'-,-а+ ме ме еа мо + ~~„1~(1 — а)+ Я ЬЫ(1 — ~)+~М с1 ~ — 1п(1 — а)+се — ~ =оа — +о — (1-а)1п(1 — а)— л Гее /ие1а ме /ле с) ' с 'е само е "ег «ч1а — — '+ — 1ь —" 1п (1 -а) + а — 1 .
йе 2~2 сл' сс,1 211 ее= о,(1т+ — 1п — 1 — — ' е еь ~l 2 о ~а — +(1-а) — 1п(1 — а)~ — — а. ие ме 1 са'т' г с .) 2се Далее на пассивном участке траектории ракета движется, как свободное тело брошенное вертикально вверх со скоростью оь. Поэтому скорость ракеты определяется уравнением космическая динамика 1гл. ху! Раскрывая квадратные скобки и приводя подобные члены, найдем а аа=е,а ~'+е„'~ 1и(1-сг)+ — 1па(1-сг). Задача 16.10. Запуск ракеты производится с поверхности Земли вертикально вверх. Стартовая масса ракеты гл .
Определить скорость ракеты к моменту полного сгорания топлива, если масса ракеты без топлива и„. Сопротивлением воздуха и силой тяготения к Земле пренебречь. Эффективная скорость истечения газа из сопла реактивного двигателя постоянна и равна Р,. Решение. Эту задачу впервые решил К. Э. 1(иолковский, Уравнение Мещерского в этом случае запишется так: где т — масса ракеты — является непрерывной н дифференннруемой функцией времени, чв = Ые/г)г — ускорение ракеты, йи/Ж с,. О— секундный рзсход массы, $',-эффективная скорость истечения газов. Под эффективной скоростью понимается следующее.
Тяга двигателя Т при движении в пустоте складывается нз реактивной силы Ф и силы, вызванной дзвлением газового потока на срезе сопла Т=ф+Зр, где 8-площадь выходного сечения сопла, р — давление в газовом потоке на выходе из сопла, Заменяя реактявную силу ее значением, находим йи Йл вГ1 ше'+'сР= ш( +ЗР,» ) где е, — относительная скорость истечения газов. Эффективной скоростью называется сумма, заключенная в скобки Ж е,=е +Зр —. ел' (2) Направим ось л вертикально вверх. Тогда, спроектировав равенство (1) на ось л и учтя направления скоростей е н е„ получим Илг не= ея —. Проинтегрировав, получим (по условию е,=сопв1) о= — е, 1и лг+С, где С в произвольная постоянная интегрирования.
Так как при 1 = О лг = шм в, = О, то, подставив эти значения переменных в (3), найдем произвольную постоянную С=в,1п лгм динамика точки пивимвннон массы Внеся значение С в уравнение (3), получим о= — о,1п —. ль (4) Отношение массы ракеты с топливом к массе ракеты без топлива называется ччислом Циолковскогогн щ=я, (5) лг„ Формулу (5) можно переписать в виде о„=и 1пл. (7) Эта формула определяет максимальную скорость, которую сообщитракете реактивный двигатель в момент полного сгорания топлива. Соотношение (7) позволяет сделать следующие выводы. Максимальная скорость пропорциональна эффективной скорости истечения продуктов сгорания и натуральному логарифму от числа Циолковского.
Конечная скорость ракеты не зависит от того, по какому закону происходит сгорание топлива, медленно или быстро. Однако ускорение ракеты тем больше, чем быстрее сгорает топливо. Таким образом, чем быстрее сгорает топливо, тем раньше ракета достигнет конечной скорости.
Следует иметь в виду, что прочность ракеты, работоспособность приборов управления и приборов, предназначенных для научных исследований, яе позволяет допускать весьма большие ускорения. Еще большие ограничения на ускорения накладывает присутствие в ракете человека. Лля получения большой конечной скорости необходимо увеличивать эффективную скорость истечения газов или увеличивать число Циолковского.
Воспользуемся формулой (7) и подсчитаем, каково должно быть число Циолковского для достижения конечной скорости оь =9000 м/сел, если эффективная скорость оь= 2400 лг/сек. Имеем г = е"аг" а = ек~lыш ж еала г: 42 5 Таким образом, масса корпуса ракеты должна составлять 1742,5 стартовой массы ракеты. Соответственно топливо должно составлять 41,5742,5 стартовой массы ракеты. Такое соотношение между массами корпуса ракеты и топлива недостижимо для современной техники. Между тем, если учесть потери на преодоление не учтенных Это — формула Циолковского. Она дает значение скорости в зависимости от количества сгоревшего топлива в ракете.
Пусть в некоторый момент времени 1= 1, топливо в ракете полностью сгорело. Обозначим массу ракеты без топлива через т„, тогда скорость ракеты к концу сгорания топлива, согласно (4), будет о„= — т~ч 1п — и. (5) глр (гл. ил космичискдя динамика двигателя постоянна, одинакова для всех ступеней и равна вз. После израсходования топлива в соответствующей ступени она отделяется от ракеты. Пренебрегая притяжением к Земле и сопротивлением воздуха, определить конечную скорость после использования всех ступеней, если известны числа Циолковского для каждой субракеты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
