1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Потенциальная энергия маятника равна (4) Т( = — Ру — Ра соя ф. Внеся результаты (1) н (б) в формулу (4), найдем Н= — 1 ф» — Расово. 1 й» (6) Напомним, что этим выражением для Н нельзя воспользоваться прн составлении канонических уравнений, нбо функция Гамильтона должна быть выражена в зависимости от обобщенных координат н импульсов.
Воспользовавшись формулой (3), исключим из выражения (6) обобщенную скорость ф: Н вЂ” рч — Ра совр. 91 В данном случае канонические уравнения имеют вид до, дН Ф-— др, дэ (в) Внеся в уравнения (8) значение (7) функции Гамильтона, получим искомые уравнения движения физического маятника ф —, р = — Раз1пгр. Рз э ч (9) 1Д= — Раз1пф Задача 17.16. Вывести с помощью канонических уравнений Гамильтона закон сохранения полной механической энергии, Решение. В формуле (б»), приведенной в п. 2' етого параграфа, было указано, что функция Гамильтона Н в случае голономной системы зависит, вообще говоря, от времени, обобщенных координат и обобщенных импульсов, т. е.
Н(г р( рг) где 1=1, 2, „з — число степеней свободы материальной системы. б» Два канонических уравнения (9) первого порядка эквивалентны одному дифференциальному уравнению второго порядка Проднфференцировзв первое уравнение (9) по времени и затем исключив рэ ив второго уравнения (9), получим дифференциальное уравнение качаний маятника 132 элнмвнты лнллнтнчвскои мнханнкн 1гл, хчц Вычислим производную функции (1) по времени: дн дН дН дН дН дН . дН .
дН . д! Ь! + Ь»»! ~а +Ц, 1)а+'''+ ду, )»+ар»Р»+ фаР8+"'+дра Р~ или дН дН дН дН вЂ” „- — „+ у', „—,Ь+,'~ — „,)». »-! (2) С помощью канонических уравнений ьн . ьн А —, р»= —— ар, ° = ьа, заменим у» и р, в выражении (2). Тогда дн дН "ь» дН дН Ча дн дН вЂ” = — +,й~ — — - — з „вЂ”вЂ” а! ЬГ,~~ ад, ар, з.'» Ьр, Ьд, »-! » ! дН дН д» = а!. (3) Так как в рассматриваемом случае функция Гамильтона равна полной механической энергии, т. е. Н-Т+П, то нз уравнения (4) следует закон сохранения полной механической энергии Т+П = соп81 Итак, закон сохранения полной механической энергии имеет место в случае консервативной материальной систзмы, т.
е. при наличии потенциальных сил н стационарных связей. Задача 17.17. На материальную систему действуют потенциальные силы, а связи голономны и идеальны. Покааать, что функции Гамильтона Н н — 1 являются сопряженными каноническими переменными. Решение. В предыдущей задаче был получен результат (3) дН дН ' дн — — т. е. Н= — ь ь» д! ' ' ' д( — !)' Сопоставив формулу (1) с каноническим уравнением ° дн Р» = да! ' Если связи стационарны, то время т явно не входит в уравнение (1). В этом случае дН/а1 О и формула (3) примет вид дН/»Н= =О, т. е. Н= сон81 (4) каноннчвскнв т лвнвння гамильтон* видим, что подобно р, и д, О н — г являются сопряженными кано- ническими переменными. Этими переменными нольвуются в квантовой механике.
4'. Первые интегралы канонических уравнений Га- м и л ь то н а. Первым интегралом канонических уравнений называется функция У(г, Дь рг), которая остается постоянной при любых вначе- ниях канонвческих переменных 9~ и р, и удовлетворяет канониче« скин уравнениям ан . ан А — е Рг= —— дрр дчг ' где 1=1, 2, ..., г, т. е. У(т, Вь рв,...
у„рь р„..., р,)= сопят. Проинтегрировать 2г канонических уравнений, вначит, найти 2а невависнмых первых интегралов у,(Г, д„дм ..., йм р,, р„..., р,)-С,, (9") где / 1, 2, ..., 2з, лбо, решив уравнения (9ч) относительно кано- нических переменных д„д„..., д„р„р„., „р„найдем: д,=да(г, фф..., Сы), д,=д,(г, с„с„..., с„), д,-д,(т, с„с, ..., с„), р,-р,(г, С„См ..., С„), ра=р,(Г, ~„б' ..., с". ), р,=р,(1, фф...„С„). Этн вначенвя у, и рь где 1=1, 2, ..., а, по определению первых ннтегралов, удовлетворяют каноническим уравнериям Гамильтона. Если материальная система консервативна, то одним ив ее первых интегралов является полная механическая.
внергия Т+ П = Ь, равная в атом случае функции Гамильтона, т. е. й Н. Этот первый интеграл навывается интегралом внергии. Значительно упрошается отыскание первых интегралов при наличии циклических коордират. Напомним, что циклическими (см. стр, !02) навываются обобшенные координаты, которые явно не входят в функцию Лагранжа Ь = Т вЂ” П. Например, координата ~у~ является циклической, если г-=1(1 рь рв °" 9~-ь ру+м " рл Ь тль " И.
Прн атом координата ~у~ не входит также явно в функцию Гамильтона и= Яр,ф — 1., т. е. г ! н=н(г д„д, ..., д, „д, ..., д„р„р, „р). 1йй влнмннты лнллнтнчвскоп михлникн 1гл. хчп Бели одна из обобщенных координат л» вЂ” циклическая, то сопряженный с ней обобщенный импульс р» постоянен, т. е,р» — — С» — — совас и является одним нв первых интегралов канонических уравнений. Итак, число постоянных обобщенных импульсов, являющихся первыми интегралами каноняческнх уравнений, равно числу циклических координат. Поэтому при выборе обобщенных координат надо стремиться к тому, чтобы среди иих окааалось возможно большее число циклических координат.
Если все координаты являются циклическими, а свяэи †стационарными, то функция Гамильтона зависит только от постоянных обобщенных импульсов: Н=Н(рп р„..., р,). При этом все обобщенные координаты окаэываются линейными функциями времени: д,= у,с+)уь (1О') дН дН где 1=1, 2, ..., а, у, — — сопИ, )21 — постоянные интегрндш дС~ ровання. В этом случае интегрирование канонических уравнений не составляет труда. Поэтому, если бы можно было в ходе решения задачи перейтн от набранных обобщенных координат к циклическим координатам, то интегрирование канонических уравнений совершалось бы элементарно. Однако этот переход к циклическим координатам в общем случае неиавестен.
Задача 17.16. Найти с помощью канонических уравнений Гамильтона закон движения свободного твердого тела, совершающего по инерции плоское движение параллельно плоскости Оху. Даны начальные условия движения; при 1=О имеем хо=О,ус=О, ~р=О, хо=во„, рс =по», ф= ю„ где С вЂ цен масс твердого тела. Решение. Для определения положения твердого тела зададим три обобщенных координаты: хс, ус и ~р, Кроме этих обобщенных координат, каноническими переменными явля1отся обобщенные импульсы р,с, р»с, рч.
Кинетическая энергия твердого тела равна Т = — Мос + — У, юа. 1, 1 Так как ос=хс+ус, а юя=фа, то Т = — , 'М(й;+У;)+ — , ')„Р. Потенциальная ввергая свободного твердого, движущегося по инерции тела равна нулю: П= О. (2) Внеся реаультаты (1) и (2) в функцию Лагранжа А = Т вЂ” П, найдем Ь = — М(хд +у~с)+ — 1, ф'. (з) 135 ввлвниннк гамильтона-яковы $ й Воспользовавшись выражением (3), вычислим обобщенные импульсы Р с Р»с~ Рч дь дд Р» = д. Жс Рч = дф = у~сф (4) »с д1, Рлс = у- = д(»дс с В данном случае все три обобщенных коорлинаты хс, ус и ф не входят в функцию Лагранжа Ь (3) и являются циклическими.
Повтому все обобщенные импульсы (4) постоянны, т. е. трн первых интеграла канонических уравнений равны Р'с = ЬЫс Сь Р»с = дЮс = Св Р р =1 сф = Са (б) Использовав в (5) начальные условия движения: при г=О дано .дс оо ус = по ф = юа найдем: »го=по» ус=по» ф=юа. (6) Проинтегрировав дифференциальные уравнения (6) и применив начальные условия движения: при с=О дано со=О, ус=О, ф=О, получим еще трн первых интеграла канонических уравнений-искомые уравнения движения жс = ео»11 ус '= ноут~ 'р = мат. (у) Уравнения (7) соответствуют формуле (10*) в обзоре теории. Наличие всех трех циклических координат дало возможность, минуя составление канонических уравнений, легко получить нх шесть первых интегралов. ф 4. Уравнение Гамильтона †Яко 1'.
Канонические преобразования. В п. 4' $3 втой главы было показано, что при наличии стационарных свяаей и всех обобщенных циклических координат можно сразу записать первые интегралы, минуя составление н интегрирование канонических уравнений. Это обстоятельство подчеркивает особую важность удачного выбора переменных при решении каждой конкретной задачи. Однако, начиная решать задачу, очень трудно сразу найти наиболее целесообрааную комбинацию переменных, которые предельно упростили бы интегрирование соответствующих канонических уравнений. В связи с этим возникает задача о каноническом преобразовании, т. е. о переходе от одних переменных к другим, упрощающим интегрирование соответствующих канонических уравнений.
Назовем первоначально избранные переменные д, (координаты) и Р, (импульсы) старой системой переменных, а искомые переменные 3, (координаты) и Ч, (импульсы) — новой системой. Элементы АнАлитическон мехАникн аГЛ. Х>аИ 'гаеобходимо найти зависимость между старыми и новымн переменными, т. е. ча®а>га (У> Еь Еь ° ° > Еа> Чь Чь ° ' ° > Ча)> Ра=рад Фь $» " $а Чь Чь " > Ча)> где а=.1, 2, ..., а, обеспечивающую переход от канонических уравнений старой системы дН ° дО ада ° Ра ва > дра ' д>аа ' а где функции Гамильтона равна Н ~~рада — ь'(а, ра, ра), к канониаа ! ческим уравнениям новой системы: д>с Ча ф> где функция Гамильтона равна Й=* ~~.'',Чааьа-у И яьь Ча) Для большей наглядности составим следующую таблицу: д>с $а=д —,„, Новая свсииа аа.
аь".* аа Ча, Ча " > Ча Л=~ЧаЬ-~(Г, Фь Чд а=ь дН ° д>с са —, чг дд, да ' где Г= 1, Е,..., а ые координаты е импульсы амильтона кис уравнения аали канонического преобравования„т. е. для перехода от старой системы переменных к ионой, надо выбрать функцию К нааываемую производящей Функцией и зависящую от времени, старых и новых обобнгенных координат, т.
е. )г-)~И Ь'у " Ь $» $ь *"* ~). га а) дР Н=дС+Н, (2е) При наличии проиаводящей функции Кдля функций Гамильтона гс и Н имеет место соотношение 1ЗУ ТРАВнение гамильтОНА якОВи $41 а старые и новые канонические перемвнные связаны зависимостями йр дУ Р' =ач4 ° "' щ где 1 1, 2, ..., з. Произведя вычисления по формулам (Зз), получим (Зз) Р4 Р4(Т, 414 ь" 44 Вь Вь" $4) Ч4-т)4(Т Рь 4У ° ", У. Вь Вь "., В ) (44) где1 1,2,...,к Решив систему, уравнений (4з) относительно $4 и 4)ь выразим новые канонические переменные $4 н 4)4 з зависимости от старых Р, и дат е з4=з (Т 4)4, Р4) 4)4 з)4(1 4уь р4) (1=1, 2, ..., з). Задача 17.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
