1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Во втором положении равновесия 9 = 6, агссоз !! — — г!, (У2 а! 174 !гл. хли теовня мАлых дВижения системы Подставив вто значение угла в уравнение (3), находим Но, согласно (2), — — 2ЬА с. О. аз 4 =П! СО Следовательно, нлн Ь сов 26з-=з!и 9 0 а Ф Ьсоз2 ~ — -9 ! — =з!и 6 О, гп ! а Ь з!и 26 -= з!и 6 0 )'2 и окончатедьно з!В6(2Ьсоз6- — '~! =О т. е. положение равновесия 9 =Ьз ло теореме Ляпунова неустойчиво. Исключение составляет случай, когда 9 = 0 и 4 — — 2Ь' О В что соответствует первому положению равновесия, рассмотренному ранее. Возможные положения равновесия твердого тела могут быть определены и другим путем. Составим три уравнения равновесия для произвольного положения бруса (рис.
6), определяемого углом 9. Первое уравнение-равенство нулю суммы проекпий всех сил на горизонтальную осзс ЙА соз Ьз — )тв з!и 6, = О. (4) Второе уравнение — равенство нулю суммы проекпий всех снл на вертикальную осзк ЙА з!" Ьо+ !Св соз Ьз -Р О. (б) Третье уравнение-равенство нулю суммы моментов сил относительно точки А: йв ° Ьсозба — Р! — "з!В9+Ьз!Взбз) =О. !)"2 (6) Иа уравнений (4) н (б) находим )Ь = Р соз Ьз Подставив вто аначение в уравнение (6), получим РЬсоззб — Р! — з!В9+Ьз!Взб 1=0 !;г' 2 з)- зстончнвость Равновесия системы ф и откуда находятся аначения угла 6, соответствующие двум возможным положениям равновесия: 1) з1п9=0 и, следовательно, 9=6,=0; 2) соей = — — и следовательно 6=9а=агссоз1 — — 1.
г'2 з Ф'2 л1 4 Ь '14 ' Ь/' Первое решение соответствует симметричному положению бруса, при котором его грари наклонены под углом 45' к горизонту. Второе решение возможно, если а 2Ь~ 2. При к=26 Ь' 2 находим сов ба= 1, т. е. а1пба=0, и мы возвращаемся к первому случаю. Находим значения реакций в первом возможном положении равновесию )~А = )~В = — Р1 9'2 2 во втором положении равновесия: 4Ь )тв = — (а + 'г' ЬЖ - а*) Р. 1 4Ь Сопоставляя оба способа решения, видим, что первый способ позволяет прямым путем определить возможные положения равновесия системы и характер устойчивости этих положений равновесия.
Однако этот способ не приводит к нахождению реакций опор. Вто» рой способ позволяет непосредственно определить возможные поло- женив равновесия системы н соответствующие им реакции опор, но не оценивает устойчивости равно- Ч весия системы и характер устойчивости этих положений равновесия. Конечно, после определения 9 реакций и положений равновесия по этому способу для ответа на м Ге вопрос об устойчивости равновесия надо вернуться к теореме 1 1 л Лагранжа — Дирихле. Задача 18.2. Лва стержня Р Я длины 1 и веса Я каждый соединены шарнирно в точке 4. Конец одного из стержней шарнирно К задаче 19.2.
укреплен в точке О, а конец второго В опирается на гладкий горизонтальный пол. В точке В приложена горизонтальная, постоянная по модулю сила Р. В положении равновесия стержень ОАЬ образует угол а с вертикалью, а стержень А †уг 1) с горизонталью, Определить устойчивость равно- весия системы.
тяоэия малых двнжянии систямы !гл. хтщ 'Тепарь выражение для потенциальной ввергни можно прявести к виду ~несущественная постоянная ~Е отброшена) е П =ЯЕи1цр+РЕ(сои33-и!па). Отсюда — =сЕЕсои 33-РЕ! и1п 33+сова — ~ дп / дм! д)3 дР( или, учитывая значение да(д33 из (2), дП д(3 — *= ЯЕ сои 33 — РЕ (и1ц 33+ сои 33 с!и а).
Приравнивая дП(дД нулю, найдем условие равновесия системы О=(1$р+с1аа) Р. ))лфференцируя (4) по 33 и учитывая, что — — получим дк слй дР васс ° дсП '6! д(3с — — сЕЕи!ц(3-РЕ(соа р-и!и 33 с!да — — 6. Ипи а( Исключая с помощью (Ь) ив этого выражения значение (е, найдем дп РЕ и -М а 6) ори ( (4) (б) Решение. Рассмотрим равновесие системы, состоящей яз стерж- ней ОА я АВ. Выберем угол 33 за обобщенную координату, опре- делающую положение системы. Начало координат выбираем в точке Ви на пересеченки вертикали, проходящей череа точку О, с горииоятальной плоскостью. Ось х на- правим влево, ось х-вверх. На систему действуют три активные силы Ои =Ои и Р.
Потен- циальная знергня системы равна П = ьЕ(хи+ ги) + Рх, (1) где х~ ги и г — соответствукяцие координаты точек С„ Си и В. Выразим хм хи и х через обобщенную координату Р. Имеем ги — и!и!3, х, Е1и1п)3+ — сова), х=Е(сои 5-и!па). 1 / 1 Из рисунка найдем связь между углами а и р! Е(сова+и!п Р) й, где Ес-расстояние между точками О и В. Из последнего равенства находим сои а — — и1п !3, Ь да сои 33 д!3 ип а' (2) встончивость элвноввсия снстямы сов( — -а)е сов)), а+!)< —.
Это приводят к условию (7) Ясли условие (7) удовлетаоряетсц то разновеске системы устойчИво. Это условие эквивалентно расположению точки В левее точки Ве. Лействдтельно, замечая, что прн совпадении точки В с точкой Ве и — — а=в) 2 находим, что равновесие устойчяво, еслн точка В располагается левее В„ и неустойчиво, если точка В— правее Ве. Задача 18.8. Однородный стержень в! ОА веса Р и длины 21 закреплен своим концом в шарнире О, а в точке В опнрвется на стержень ВС, который укреплен своей серединой в шарнире Оэ Стержень 8 ВС веса Р и длины 21 нагружен вертикальной силой О = 2Р, прнложенной в точке С. Расстояние ООв= 1. Определить возможные положения и устойчивость равновесия системы.
а Решенне. Составим потенциальную энергию системы, состоицей из стержней К ввааче !8.3. ОА и ВС, За обобщенную координату выбираем угол ф, образованный стержнем ОА с вертикалью. Потенцвальная энергия системы выразятся формулой П вЂ” Р1 сов ф - О !1+1сов(180' -2ф)) нлн П = — Р1 сов ф — О (1-1 сов 2ф). 1(ля определения возможных положений равновесия находим производную от потенциальной .энергия по обобщенной координаты дП ~ =* Р1 в!и ф - 2Я1 в!и 2ф н приравниваем ее нулю: Р1 в!пф — 2О1 ° 2 в!п ф сов ф = О. Согласно (8е) равновесне устойчиво, если двП18!)в>0, что равносильно в!пас сов!), нлн теОРия мАлых дВижений систеь«ы 1гл. хтлн Заметив, что (,« = 2Р, находим иа последнего уравнения а1п «р (1 — 8 спз «р) = О. Следовательно, равновесие возможно, если з1п«р=О илн соз«р= 1/8, т« е.
при двух значениях угла: 1) ф« = 0 н 2) «ра = агссоз — = 82~48'. 8 Для определения устойчивости каждого из втих положений находим вторую производную от потенпиальной энергии по обобщенной координате — = Р1 соя гр — 8Р1 соа 2ф д«П дв 1 или д«П а дчя — = Р! (соз «р — 8 соз «р+ 8 з1пз «р). Далее находим величину втой производной в первом положении равновесия, подставив аначение «р=О: — 1 = — ™~0 д«П д«?А в-о Согласно (8а) первое положение равновесия неустойчиво. Во втором положении равновесия при ф=агссоз — мы 1 8 получаем Р1~ — — + — )=Р! —: О.
д«П «Г1 1 63«68 д«РА 1«ь (,8 6 8Г' 6 Второе положение равновесия устойчиво. Задача 18.4. Материальная точка М веса Р может перемещаться в вертикальной плоскости по гладкой окружности радиуса г. Точка притягивается к двум пентрам А и В, ?г расположенным на горизонтальном диаметре, К задаче 18А. симметрично относительно пентра окруж- ности, с силами, прямо прппорпиональиыми расстояниям: Рл =са МА, Рц=() МВ, гле а, (1 -постоянные коэффициенты. Расстояния ОА =ОВ= а. При каком угле «р точка М находится в равновесии? Исследовать устойчивость равновесия точки. Решение. На точку М действуют три активные силы: сила тяжести Р, направленная по вертикали вниз, две силы притяжения, направленные соответственно по МА и МВ.
Возможное перемещение точки М направлено по касательной к окружности и равно по модулю 6г г Ьр. Составим элементарную работу всех сил на возможном перемещении, тстончивость вавновесия системы и, следовательно, Рл = сс (МО+ ОА) Рв = ($ (МΠ— ОА) Так как вектор МО нормален к возможному перемещению, то Рл бз= — аагбфюпф, Рв ° бз=!) агбфз!пф.
Таким образом, злементарная работа всех сил на возможном пе- ремещении равна 6А г(Рсозф+6) — сс) аа!пф) бф. Следовательно, дП дф — = — г (Рсоа ф+(() — о) а з(п ф) Приравняв зто выражение нулю, находим положение равновесия точки: р (а-р)а' (3) (2) Далее — = — г ( — Рз!и ф+(() — а) асов ф) дтП дЕЯ или, с учетом равенства (3), даП аа (и — Р) дфз ом ф Здесь возможны четыре случая: н дЯП 1) есля а) р и угол ф< —, то —,) О; дЯП 2) если и<() и угол — <ф<и, то — >О.
3 два В зтих случаях положение равновесия устойчиво, точка М нахо- дятся иа нижней половине окружности, в первом или втором квад- рантах. 3) Бели а ь() и и <ф < — и, то — <О; 3 даП 4) если а<() и — и<ф<2п, то — <О. 3 2 де В двух последних случаях положение равновесия неустойчиво, точка М находится на верхней половине окружности, в третьен или четвертом квадрантах. Реакпия гладкой окружности нормальна к возможному перемещению. Следовательно, ее работа равна нулю. Работа силы тяжести равна 6Ат РсоафгЬр.
Для вычислении работы снл притяжения замечаем, что МА =МО+ОА, МД=МО+ОВ=МΠ— ОА тзовия малых двнжвннп систзмы 1гл. хчгп Задача 18Л. Двойной маятник состоит ив стержней длин ОА= (д и АВ 4, соединенных шарнирно друг с другом и прикрепленных шарнирно в точке О к фундаменту. Силы тяжести приложены Р, в точке А и сала Ря в точке В. В шарнирах О и А к стержням прикреплены спиральные пружины, которые у1 ! ! находятся в недеформированном состоянии при 1 вертикальном полпжении маятников. ! Пренебрегая трением в шарнирах, опреде- лить жесткости спиральных пружин ет и см 1 при которых вертикальное положение равнове- сия является устойчивым. 'Т Р е ш е н н е. Система имеет две степени Р свободы. Углы фт и фз, определяющие отклонения стержней маятника от вертикали, примем ва обобщенные координаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
