1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Затем, внеся Г» ††)/ 2/г/у в уравнения (1) и (10), найдем т ,е= О, у =у = О, з= з = /ь итак, условие соединения «прямого» и «окольного» путей в крайних точках О и Мз выполнена По аналогии с формулой (4) функция Лагранжа Х при движении по синусоиде имеет вид /- -л-ш(.та+9»+ гз)+шйх. (11) Вычислив производные (10) по времени, найдем х=О, у ап 1/ — созп 1г/ — 1, з =6А « /2л Гха (12) ~/й ~/а Подстановка формул (12) и (10) в функцию Лагранжа (11) дает /.=глязт + — соз я~ — д Вычисление действия 8 прн варьированном движения проведем по формуле 'у 2й 8= ~ 1~й.
(14) о Заметим, что пределы интегрирования в формулах (6) и (14) должны быть одинаковыми, ибо по условию, положенному в основу принципа Гамильтона — Остроградского, движения по «прямому» и «окольному пути» происходят за один и тот же промежуток времени. Подставив результат (13) в формулу (14) и учтя при интегрировании, что соРи 1»/ — г= — ~1+со»2п 1г/ — 1~, /Б 1/ гй1 л 2 ~ а/ хл /' получим искомую величину действия 8 при движении по синусоиде: 8 гла«(2а)з/2 + з«п«ж ~/ а (15) Для сопоставления величии действий при движениях по «прямому» и «окольному пути» вычтем (9) из (16): (16) Как следует из формулы (16), при произвольном значении параметра е действие 8 при движении по «прямому путы» (вдоль оси з) меньше действия 8 при движении по «окольному пути» (варьированное движение по синусоиде).
163 пвннцнп гямнльтонл-оствоггядского Задача 17ЛВ. Вывести дифференцизльное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси с помощью интегрального принципа Гамильтона — Остроградского. Решение. Нзпомним, что интегральный принцип Гзмильтона— Остроградского имеет вид ц ) (БТ+БА)Ф О. (1) и Для применения уравнения (1) надо предварительно вычислить вариацию БТ кинетической энергии и работу БА активных сил Р,", Р'„', ..., Р'„' на возможных перемещениях их точек првложения.
Твердое тело, вращзющееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем его угол поворота, т. е. !7=<р. Дадим твердому телу возможное угловое перемещение Ьр. Как известно, выражение работы имеет вид БА= ~', лг,.(Рз)8!р, ь ! где з — ось вращения твердого телз. Кинетическая энергия твердого телз, врзщзющегося вокруг неподвижной оси, равна Т вЂ” у,фз, 1 (3) где 1,-момент инерции твердого тела относительно осн врзщения з. Провзрьировзв функцию (3), получим (б) (6) 6 БТ = 7,ф Бф.
Воспользуемся тождеством —,г(фбф) =Фбф+ф378ф. я' .. !г Так, как — Бф=бф (считаем, что взрьирование и дифференцировал! ние-перестзвимые оперзции), то с помощью (б) излишек фбф=,— „(фбф)-Фбф Подставив результат (6) в формулу (4), найдем БТ = — (!Д Бф) — 1,г(!Бщ. 4 (7) Для применения принципа Гамильтона-Остроградскою внесем результаты (2) и (7) в уравнение (1)! влет(инты анллитнческои михлннкн !гл. хтп т. е.
« ~ ~ щ,(У",) -У,ф(Ьр (1+~ У(),фЬр)-9. (8) ь ! 1 Нетрудно видеть, что второй интеграл в формуле (8) обращается в нуль. Действительно, с, 3 ((у,фбф)-у,фьр1,'*. (9) г~ Напомним, что в основу вывода интегрального принципа Гамильтона — Остроградского положено условне соединения начала и конца «прямого» н «окольного» путей. Значит, в денном случае при г=гт я г *Гя имеем Ьр=О.
Повтому интеграл (9) обращается в нуль к уравнение (8) принимает внд !аГ « Я ~ Х.,!»!!- л]ь (10) я ! Согласно основной лемме ввриационного исчисления и учтя прона- вольность Ьр, ив урввнения (10) получим Ч~',щ,(Р») -(,ф =О, т. е. * ! искомое дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси будет ь ).Ф ч„ш. (РР Ф ! Задача 17.39.
Упругий однородный нервстяжимый стержень постоянного сечения, жестко ввделзнный верхним концом, совершает О ивгибные колебания в вертикальной плоскости Оху †плоскос рисунка. Я Длине стержня равна !, р — его плот- ность, Е- модуль упругости, ! -мо- Ч мент инерции площяди постоянного к поперечного сечения. Применив ааривцвонный принцип Гвмнльтона — Острогрвдского, соста- и дг вить дифференпивльное уравнение ив- А гибных колебаний стержня в плоско- сти Олу, ж Р е ш е н н е. Ряссматриваемый уп- К вада«я 17Л9. ругий стержень представляет матери- вльную систему с распределенными паряметрами, т. е.
мвтерпальную систему с бесчисленным множеством координат. В недеформироввнном состоянии стержень лвнимал вертикальное положение ОА Ивобравнм его иа рисунке в процессе ивгибных коле. а а1 ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА-ОСТРОГРАПСКОГО )65 у= у(х, г), д Для применения вариационного принципа Гамильтона — Острогради ского определим действие 8=) 1. юЫ, где функция Лагранжа 1. равна и разности кинетической и потенциальной энергии, т.
е. 1.=Т-П. Приняв во внимание непрерывное распределение масс, вычислим кянетическую энергию стержня с помощью определенного интеграла: с т=' р~ Ь, 'а где р-плотность, а и-скорость точки стержня. Прн вычислении квадрата скорости по формуле из= ха+уз, учитывая равенство (1), найдем: оз=р'. Внеся это значение оа в подынтегральную функцию (3), получим т-- р рМх, 1 Как известно иа курса сопротивления материалов, потенциальная энергия упругой деформации изгиба равна П-~ ~ (й) Ь, (б) где Е-модуль упругости, а 1-момент инерции плошади постоянного поперечного сечения стержня.
Впредь для упрощения записи введем следующие обозначения частных производных по ли бани» в промежуточном положении ОАР При этом произвольная точка стержня переместилась из положения К з Ка с координатами х иу, Бели принять у аа величину первого порядка малости, то при. условии нерастяжнмости стержня разность бх между абсциссамн точек К и Кт (см, рисунок) окажется величиной второго порядка малости. Пренебрегая ею, будем считать, что абсцисса х точки К в ходе колебаний остается постоянной и, следовательно, х=О.
(1) Величина у зависит от положения точки К на стержне, т. е. от,х. В процессе колебаний Р меняется также в зависимости от вре. меня т, т. е. 166 1гл. Етсс ВЛЕМЕСВГЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЫЕХАНИКИ Позтому запишем формулу (б) в виде (6) Определим функцию Лагранжа Ь=Т-П. Приняв во внимание результаты (4) я (6), найдем 1, = — ~ (руа-Е!у"а) с(х. (7) Ь 1(ак известно, действие 8 по Гамильтону равно 8=* ~ 1.(11. Использовав выражение (7), получим с, с с р $р(~(рр — с(у"'(р. (6) и Вычислим вариацкю действяя 8, данного формулой (6» с, с 68 = 1Ж ~ (рР 60 - Е1у"Ву") с(х.
с, о Согласно принципу Гамильтона — Остроградского, решение вариационной задачи об отыскании зависимости у=у(х, г) сводится к опредемению такой функции у, прн наличии которой действие 8 имеет стационарное значение, т. е. то значение, при котором первая вариация действия 8 равна нулкс 68 О. (10) Напомним, что искомая функция у=у(х, г) должна быть непрерывной и иметь непрерывные частные производные по х и по 1, а ее вариации в начальный 1т н конечный Га моменты времени должны быть равны нулю (это значит, что чпрямойь и чокольные путна по концам интеРвала сьг=та — ст соесшнЯютсЯ): Ву(х, гт)=0, Ву(х, Тя)=0.
(11) Подставив выражение (9) в уравнение (10), получим с, с ~ сст ) (рР бу — ЕIу" Ву'") ссх О. а Выполним ряд преобразований уравнения (12» Использовав переставнмость варьирования и дифференцирования, запишеш Вр- — "Ву ВудГ ' дл ПРННПИП ГАМИЛЬТОНА-ОСТРОГРАДСЯОГО Теперь уравнение (12) примет яид с, с вв) [оУ в вв-в)в" — 'вв]в -о. ссс дк с, .Р— „бу — „с Ос бу) — Яву, д у" д БР'= д (у' бу') — у"'бу' у "бу'=у'" —,Ву= — д(у"'бу)-у Ву. 167 (15) (14) (15) (! 6) (1О) Лакее с 1 Ж(у'"бу-у"бу') дх=у"'а Г) бу(б Е) — у"„(г, К) бу'(1, Г) о — Уаа (О) С) 6У(О, Г)+У" (О, Ф) бу' (О, С).
(2О) Подставив (16) и (15), найдем У" дк 'У' = дк (У"'У'-У"'У)+У"У Внеся результаты (14) и (17) а уразнение (13), получим с, с а ~ [о о)У)У) — оУЫ о)о)У"'вв-У"ьУ) — е9' Ь]в о, св т, е. со с. о'! вв1,оо)сво)в — )а) РУ+ввв Эвов,~. Ф' с, с, с -> в) ] вв ) о-,)У"'вв -о"во') ю = о. )во) св Для последусощих преобрааоианий уравнения (18) вычислим с с с ~ всс ~ — О) бу) Фх ~ в(х ~ с((р бу) св д с,, =~ [р(х, Га)бу(х, еа) — р(х, йс) бу(х, Гс)] стх. Приняв ио внимание соотношении (11), найдем с ] во~ —,', Ово)в -о. с, 133 элвмвнты лналнтнчвскои мвханнкн 1гл, хин В точке х= О стержень эакреплен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
