1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 30
Текст из файла (страница 30)
)(алее на (2) имеем Х (й сов йг, и, следовательно, при т=О нлн а эю а ' Внеся аначения проиавольных постоянных в (2), получаем окончательно л = — а!и лг. ич а Период свободных колебаний грува равен Т= — 2ц ~г — ' йи Г Р+О,ЪР а Звдичв 18.10. Полушар веса О и радиуса г удерживается в равновесии на абсолютно глаяко» горнвонтальной плоскости нитью АВ. При этом плоская часть поверхности полушара составляет угол а с гориэонтом (рис. а).
Определить после обрыва нити АВ скорость центра О и ее максимальное вначенне, наибольшее давление полушара на горизонтальную плоскость. Найти также, полагая угол а малым, приведенную длину эквивалентного математического маятника.
Решение. После обрыва нити (рис. 6) на полушар действуют две силы, вес (г н реакция гладкой плоскости М Обе силы направлены по вертикали. Согласно теореме. о движении центра ннерции ускорение центра тяжести С будет также направлено вертикально.
1'ак как начальная скорость точки С, так же как и остальных точек полушара, равнялась нулю, то центр инерции будет двигаться прямолинейно по вертикали. центр полушара О находится от гладкой У М, И. Вьтв ч яр., т. 1И 194 теоэии малых двилшнии системы 1гл. хчпг плоскости на постоянном,расстоянии г.
Следовательно, точка О перемещается ео горизонтальной прямой, параллельной опорной плоскости. Таким образом, скорость точки С направлена по вертикали, скорость точки О в по горизонтали. Восстание к скоростям этих двух точек перпендикуляры, находим мгновенный центр скоростей У. К задаче 18.10. Применив теорему об изменении кинетической энергии к перемещению полушара из начальнога положения, определяемого углом а, в произвольное положение (угол ф, мы получим, обозначив ОС через 1, — 1лфз = шл1 (соя ~р — соз а). 1 2 В левой части равенства стоит выражение кинетической внергни в конце перемещения (в начальный момент кинетическая энергия полушара равнялась нулю, так как он находился в покое).
В правой части подсчитана работа силы тяжести при переходе полушара из начального положения в конечное. Работа реакции Ж равна нулю, так как вта реакция направлена перпендикулярно к перемещению 'точки О. Момент инерции полушара относительно мгновенного центра скоростей У может быть, выражен на основании теоремы Штейнера следующим образом: 1г = 1с+ш1з з1пз Ф. (2) Таким образом, 1м является известной функцией угла чь Определим 1с-момент инерции полушара относительно горизонтальной оси, проходящей через центр инерции н перпендикулярной к плоскости чертежа.
Момент инерции однородного шара 21, относительно любой центральной оси равен 21, -з- Мг' = — (2ш) г', 2 2 где М = 2гп -масса однородного шзра, своводнын коливлннп снстимы Расстояние центра инерции полушара от точки О равно 1* Зг/8. Воспользовавшись теоремой Штейнера, находим Ус ) -леР улетя- — легз — ш~ з. 2 9 83 е 8 64 ЗЮ (8) Внеся зто значение в формулу (2), находим )и — зег'+шРе1п'ф глР~ — +з1п'ф). 83 /83 320 ~45 (4) Обозначив для краткости 85/45 е', из (1) получим (5) 1(У+Мне и) Скорость точки О-центра полушара-равна по величине ио — ОР юее= Усоещ ° щ — г соеф щ = — )~88гсоз<рф~ ее+ е1п' р Скорость точка О будет максимальной прв ф =0: ее ыа йг йг е1п '5 2У' Г * У 188 Пля определения давления полушара на горизонтальную плоскость составим дифференциальное уравнение движения центра инерции в проекции на вертикальную ось рч шУс=Ф-Я.
(б) С другой стороны, орднната центра инерции равна ус г — е сое ф. Вычислив вторую производную от ус, найдем ))с=Цфесозф+фе1пф), Воспользовавшись (5), нзходвм вторую производную от угла ф по времени д ее+1+сове -2 сое сое а ! т (Ф+апе р)" Внеся в уравнение (7) значения первой и второй производных от тФ Тогда момент инерции однородного полушара относительно горизонтальной осн, перпе1Шикулярной к плоскости чертежа ы проходяшей через точку О, будет ) = — веге.
2 е — 5 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ !гл хшп угла ф и подставив амэчение Яс в (6), после несложных преобразований найдем и- — — —,<л+ю- . в л-в л, в 1 е (ав+ и!пв э) Учтя далее равенства (3) и (4), получаем окончательно И= () — (Ус+ шР (1+ соУ <р — 2 соз ~р саз сзЯ. 1с Наибольшее давление полушара на плоскость будет при ф 0 Илыв =()(1+ — з1п — г! =()~1+ — з1п — ).
аетл з а1 ! 160 з и! 3) '( 33 а) Дифференциальное уравнение колебанкй полушара находится нв (1) дифференцированием по времени ! . дГР уэф+ й Ф вЂ” „= — шфз!п~р, илн лиф+ шРз!и ~р сов ф фз — тй~з!п ф. (8) )(ля перехода от составленного уравнения к уравненяям малых движений подсчитаем все члены с точностью до величин первого порядка малости включительно. Получим )сф+ шаг р О. Првведенная длина эквявалентного математического маятника 83 врвв л- 1АН Г ,Переходим ко второму способу составления дифференциального уравнения малых кояебаний при помощи уравнений Лагранжа. Выбираем угол !р ва обобщенную координату системы. Тогда кинетическая энергия системы может быть представлена формуяой т - — Уэ Р= — (Ус+ шР з!пз ф) фз.
1, 1 2 2 А(ля составления уравнений Лагранжа вычисляем дт ц (!с+ ЯР 3!Вз ч) ф и далее — —. = (!с+ шРз!изф)ф+фв шР ° 2 з!в~рсоа!р. л дт Ш дф Производная от кинетической внергии по обобщенно» координате будет дв — вчР фзз!пфсоз~р. дТ своэодныв колкэання систимы для нахождения обобщенной силы даем системе возможное перемещение бф и вычисляем работу всех снл на этом перемещении Я Ьр шд((соя (э+бф) — соа ф) ~ — шип ю бф.
В~иду малости бф принято а!пбфжбф, созбфиы1. Внеся Полученные значения в уравнение Лагранжа аэт ат — — — — =О находим (!с+ ш!з з(пя ~р) $ + ш(я фя з!п гр соя ф — шФ з(п ф, что соответствует уравнению (8), выведенному ранее другим путем. 2'. Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления.
Согласно полученным решениям свободные колебания, рав возникнув, длятся неограниченное время, и амплитуда этих колебаний не меняется. Между тем нз опыта известно, что свободные колебания постепенно затухают, амплитуда их уменьшается и через некоторый промежуток времени колебания прекрацаются, система возвращается в положение устойчивого равновесия. Это несоответствие теории и опыта объясняется тем, что в дифференциальных уравнениях движения не учитывались снлы сопротивления движению: сопротивление эоаауха, трение, которые всегда действуют на систему.
Рассмотрим влияние вязкого трения на свободные колебания системы с одной степенью свободы. Будем полагать, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости, что соответствует малым скоростям. Только в этом случае движение системы будет описываться линейными дифференциальными уравнениями. Если же сила сопротивлення пропорциональна квадрату скорости (что верно при больших скоростях) илн действует сила сухого трения, меняющая скачкообразно свое направление, то дифференциальное уравнение, описывающее движение системы, нелинейно.
При сопротивлении, пропорциональном первой степени скорости, на отдельные точки системы действуют силы )яю = — ()Аэ где г, — скорость (-й точки, ~),-положительный коэффициент пропорциональности, численно равный модулю силы сопротивления прн скорости, равной единице, Обобщенная сила сопротивления в этом случае может быть вычислена по формуле где чЬ1 $ !г~~я 2 ! ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕИИИ СИСТЕМЫ 1ГЛ. ХЩП Функция Ф была впервые введена Рэлеем и названа в его честь днсснпативной функцией Рэлея нли функцией рассеяния з). Диссипзтивная функция Ф рзвна половине скорости изменения полной механической энергии, которую имела бы система прн отсутствии сил сопротивления. функция Редея, представленная через обобщенную скорость си.
стены, имеет вид Ф= йз 1 где 1)>О. Тогда уравнение Лагранжа второго рода примет вид д дт ду дП' дф (161) дя дд ' гдэ Т вЂ” айз П= — соз Ф вЂ” Щз. 1 1 1 2 2 Подставив эти значения в уравнение Лагрзнжз, получим дифферен. циальное уравнение двнженна системы а2+ (Ц + сй = О, ~+ 2л~) + Азу О, или (16*) где введены для краткости обозначения 2л = — — йз. з л' а Общий интеграл уравнения (161) будет а) Прн малом сопротивлении, когда л ( 7г, 6=Аз "'11п(лгг+а), (17 ) Период свободных Еолебаний без учета снл сопротивления Т=2п~й ') 1Ч, К ау!е1йо, Т)могу о1 воняй, 187В. (Русский иеревоа, 2 взд.
Рзл ей, Теория звука, т. 1, 2, Гостехвздат, 19Й.) где лт=)/л' — аз — круговая частота колебаний; а — начальная фаза колебаний, Амплитуда колебаний уменьшается по закону геометрической прогрессии. Бели л~ )г, то л,жл„ н можно определять круговую частоту колебаний без учета сил сопротивления, как вто часто де« лается в инженерных расчетах. Период затухающих колебаний определяется формулой 2л 2н Тз —— — ~ Уаз-лз " своводнын колвваиня системы меньше периода Т,.
Будем называть фактором затухания отношеняв последующей амплитуды к предыдущей лт, Т вЂ” =Е Аг+т а А~ Логарифмяческий декремент затухающих колебаний равен иТ;(2. б) При большом сопротивлении, когда л)й, движение системы будет описываться уравнениями л е-м1с етп~:ыс+Се-~лт-ь ° с) гл >ь) д =1С,+Сят)— (л = л). Движение апернодическое-при неограниченном возрастании времеия система возвращается в положение равновесия без колебаний.
При решения задач на свободные колебания системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления рекомендуется следующяя порядок действий. Первый способ †применен уравнений Лагранжа: 1) выбираем обобщенную координату о; 2) составляем выражение кинетической энергии Т; 3) вычисляем обобщенную силу; 4) внеся кинетическую энергию и обобвтенную силу в уравнение Лагранжа, находим дифференциальное уравнение малых колебаний системы; 6) проинтегрировав это уравнение и определив произвольные постоянные интегрирования, получаем уравнение движения системы; 6) определяем период колебаний, частоту и другие искомые величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
