1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в ( йа це-ы (2) ишем как сумму решений - а+ха. твоеия мАлых двих(внии систимы (гл, дшш Здесь,ха — обшее решение однородного уравнения Уа+ Аажа О, равное ла=Асоалт+Ва1плт, Вычислив от дг вторую производную по времени и подставив выра- жениЯ ДлЯ ла н Уа в УРавнение (2), нахоДим Н Р да.( Аа да (да ( аа) Таким обрааом, интегралом уравнения (2) является л=Асоайе+Ва(плг+ ( а -~;еаа.
Р (12) Для нахождения пронавольных постоянных интегрирования А и В воспольвуемся начальными условиями ла О, .Фа=О при Е О. Внеся в (12) первое начальное условие, находим Р + да(да ( Аа) > нлн Р да(аа+Йа) ' (1З) Для определения второй проиавольной постоянной проднфференпируем (12) по времеяи: А = — Ай е(п лт+ Вл соа лт — а е '". еа (да+ Аа) (14) Подставяв в (14) второе начальное условие, получим дР 0 ВА ( а+Аа) э откуда В= даа (да+ Ла) ' (1 б) Внеся вначения проиавольных постоянных в решение (12), находим окончательно л'= (да „,( е + — а(п'лг-сов|3~, (16) что совпадает с решением, полученным первым способом, Заметам, что определять произвольные постоянные интегрирования ив уравне- Второе слагаемое.
есть частное решенве полного уравнения (2), ищем его в виде аае-да (10) ВЫНУЖПЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ння (9) нельзя, так как движение тела описывается уравненнем (12), а не (9)- 2'. Влияние вязкого трення на вынужденные колебания системы с одной степенью свободы. Урав- нения Лагранжа второго рода в этом случае имеют внд ги Щ! да дд д4 -( — ~---- — — — +а(!) ~1 ~дТ~ ЗТ дП дФ (10ь) 1 а 1 где Т = — а4а — кинетическая энергия системы, П = — с9а — потев- 2 Ф 2 циальная энергия системы. Ф = — К вЂ” днссипатнвная функцвя, Я (!)— 1 а воамушающая сила, являвшаяся заданной функцией времени. Внеся вти аначения в уравненне (10*)„находим ау+Я+с~у =Я(г), яли ф + 2л ~) + дав = — Я (!), (11*) (19 ) где обозначено г/а = лэ, р/а = 2л. Решение дифференциального уравнения (11а) в случае, когда возмущающая сила Я(!) является сннусоидальной Функцией илн может быть представлена рядом Фурье, дано во втором томе (гл, 7111, э 4, п.
4'). Прн проиавольной эависвмости воамущающей силы от времени решение уравнения (11*) дается формулой 9=а-"г ~да соэ Дат+""а+ о а!п й,!) + а1 + — 1 Я(т)е "!' '!а!плг(! — Т)г(т, (12*) яаа,! где да и Д вЂ” начальные значениЯ обобщенной кооРдинаты и обоб- щенной скорости, лт ~/йа-ла — собственная частота системы.
Первое слагаемое правой части определяет свободные колебання системы, возникающие нэ-эа сообщения системе начального отклоне- ния от положениа равновесия и начальной скорости Ы1~9асоай !+ са ~а!питт) «ь Второе слагаемое правой части (12*) описывает вынужденные дви. ження системы, возникающие под действием возмущающей силы я(!), прнложенной к системе, находящейся в начальный момент в равно- весин с йа — 1 Я(т)а "Р Юа!плт(1-т)~!ж (14") Оа, , о тяония малых двнжянин систнмы 1гл. х>пп Если возмущающее воздействие приложено к системе в анде еднннч ного нмпульса 8= !, прилагаемого в начальный момент к покоящейся системе, то ее последующее движение происходит согласно уравнению Функцню (16*) называют реакцией системы ка единичный импульс, Если к покоящейся системе приложить в начальный момент посто.
янную единичную силу Я ° 1, то двнженне системы будет пронсхо Дить согласно уравнению 1г е-> >=в»>=~ь»- >> т>'> —,>>, >,и- »»1, и>'> > Функцию (16*) называют реакцией системы на единичное возмущенне илн переходной проводимостью. При решения задач на вынужденные колебания системы с учетом сил вязкого сопротивления рекомендуется следующий порядок действий: 1) выбрать обобщенную координату, определяющую отклонение системы от положения равновесна; 2) составить выражения потенциальной и кинетической энергия системы я днсснпатнвной функции, выразив нх через обобщенную координату н обобщенную скорость; 3) польауясь уравненнямн Лагранжа второю рода, составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы, 4) проинтегрировав дифференциальное уравнение колебаний, найти уравнение двнження системы.
Задача 18.21. Прибор для намерения вертикальных колебаний корпуса, на котором он установлен, состоит из массы т, прикрепленной к концу пружины, коэффициент жесткостн которой е. Масса >м соединена с жидкостным демпфером, созллющим силу сопротнвлення> пропорциональную относительной скорости массы (коэффициент пропорпнональностн р).
Верхнему концу пружины сообщают колебзння согласно уравненн>о у =Нсоард К задаче И.21. Частота свободных колебаний массы лг равна ы, а коэффициент демпфнровання р составляет 1г' ' 2 от критического значения (когда затухающие колебания превращаются в апериодическое движение). Определить амплнтуду установившихся вынужденных относительных колебаний массы по отношению к раме, регистрируемую прибором на барабане.
выитждвииыв колввания систвмы Р е ш е н и е. Составам днфференцнальное уравнение движения груза прн одновременном колебании грува и рамы, к которой прнкреплена пружина. Обозначая через л координату смещения массы относительно корпуса прибора и пользуясь методамн дннамнкн относвтельного двнження, мы найдем «42* — сз- 1)л — «гР. Здесь )) — ускорение точки подвеся, — шу — переносная сила инерции. После упрощенна мы получям 2+2на+ йаз = —— язу яр ' (2) где обозначено 1))«з = 2л, с)«г = йз.
Иа условия задачн следует, что — — = Нра соз рй вВу лг' л~ Нрз сов рг. р (аз - рч)а+ 4лчрч (4) Согласно условню значение Р*=2л «з равно 1))/2 вяачення крнтнческого демпфнровання, прн котором р 23~ глс нля л=*п. Следовательно, в рассМатриваемой задаче и = й) 2. Подставив вто значеняе в (4), находим л ° совр). Нрз Ма'+Ф Амплитуда втнх колебаннй равна Нр' р ач+Ф Задача 18.22. Система состоит нз стержня ОВ с насаженным яа него шаром В; стержень закреплен шарннрно в точке О (рнс, а), Момент инерции колеблющейся системы относительно горнзонтальной осн, проходжцей урез точку О перпендякулярно к рнсунку, равен ) 26,83 кГ с.н сама, Н стержню прикреплена в точке А пружина, ковффнцнент жесткости которой равен «=120 МГ)см.
Второй конец пружнны )) саверпыет заданные вертпкальные колебання согласно Уравнению у=О,Обсоабп1 см. 8 и, н, в ~ я ар4 и ги Внеся это значенне в уравненне (2), находим 2+ 2лй+)зал Нрд соа р$. (3) Частное решение, определяющее вынужденные колебания массы, будет 220 тяовий малых двзокиннн систймы 1гл. хчпг К точке В приложена сила вязкого сопротивления, пропорциональная скорости, козффициент пропорциональности 1) 0,2 И' сек/с.и.
Определить уравнение вынужденных колебаний шара В, максимальное растяжение пружины н наибольшую силу, прзложенную к точке Ц если ОА= 10 сзг, АВ 14 ель Г'Гг' К задаче 18.22. с (з — у)а (где ж-перемещение точки А), выразится через обобщенную координату так: Н- з(1Ой — ОООс Оно и= Ф (1) Кинетическая знергия системы равна уфа Т (2) Диссипатнвная функция Рзлея имеет вид Е= 2 ()(ОВ*)ф'. Подставим значения этих функций в уравнение Лагранжа второго рода Ф ~дТ~ дТ дП дФ дГ,дф, ди — до дф — ! — 1 - — =- — — —.+а(1). (4) Решение. Для составления уравнения Лагранжа второго рода выбираем в качестве обобщенной координаты угол поворота стержня ОВ, обозначим его через ар и будем отсчитывать от положения статического равновесия.
Тогда потенциальная знергия системы, равная ньпвяяцпивныи колииання системы в» Последовательно находим: дТ . дТ вЂ” уф, — =О, дП вЂ” = с(10<р-0,05совбнт) ° 10, дФ р (ОВ)вф, ()(г) =о. Внеся вти значения в (4), получим )Ф+ р (ОВв) ф+ 100с(р = 0,5с сов бпд, 26,83ф+ 0,2 ° 24вф+ 12 000ф 60 сов бпс, (5) нлн Амплитуда вынужденных колебаний определится по формуле Р (аа — ра)+анара 2,24 0,018 рад. (6) Уравнение вынужденных колебаний центра шара В будет .еа = 24 0,018 сов(1 8,85С- 0,7217), (7) так как равность фаз равна агс(Ы а ра асс(8 447 — 13 3 = 0,7217.
2лр 4,3 13,33 (8) Надаем максимальное растяжение пружины (рис б). Максимальное перемещение верхнего конца пружины О равно ад=0,05 с.я. Макси. мальное перемещение нижнего конца пружины, точки с, равно Ы = =10 0,018=0,18 см. Откладываем этн отрезки под углом 41'21' (разность фвв). Замыкающая сторона треугольника аЫ равна максимальному удлинению пружины (ряс. б). По теореме косинусов находим ад= О,Оба+0,18в-2 0,05 0,18 ° сов 41 21'=0,15 с.я, Наибольшая сила, приложенная к точке О, будет ьс=с ° аг( 120 ° 0,16=18 кГ. разделив обе части уравнения нв коэффнцнеят прн старшей производной, найдем Ф+ 4,3ф+ 447ф = 2,24 сов 18,851.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
