1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Грув массы лс прикреплен к пружинам согласно схеме, представленной на рис. 18.2. Определить обобщенный коэффициент жесткостя при малом перемещении груза в направлении оси т. Составить дифференциальное уравнение движения, определить частоту н период колебаний. Решение. Находим коэФфициент жесткости пружины, эквивалентной трем пружинам, действующим под углом ит к осн .т. Две пружины с коэффициентами са и св, соединенными параллельно, эквивалентны одной пружине с коэффициентом жесткости (1о) с +с. Следовательно, под углом ав действуют две пружины, соединенные 207 своводныя колввання снстяын последовательно, с ковффицнентами жесткости (с!+се) и са. Коэф- фициент жесткости приведенной пружины равен (2ч) 1 ! 1 с„ет+се еа + откуда са (с!+с,) сш ++ ,Палее определяем ковффициент жесткости приведенной пружины, дей.
ствуюшей под углом аа. 1 ! 1 — 3~ — +— с„, с с„ У откуда ес се с„, =— са 1-се (2) Пользуясь далее формулой (1*), находим коэффициент жесткости приведенной пружины при малом перемещении в направлении оси м с„= с„, сова от+ с,„, сова а, + с<,, сова аа. Внося в вто райенство найденные значения (1) и (2), а также учиты вая, что сщ ен окончательно получаем е» = соа а!+ еа соь аа + — соа аа са+ са+са ее+ее Здесь сса 27О' и совая=О. Дифференциальное уравнение малых колебаний точки будет вУ вЂ” е„х, откуда частота колебаний А= ~( — с а период колебаний 2л -ю ~63 т= — -2.1/-. в сх' Задача 18,14.
Точке массы ш находится под действием и радиально расположенных пружин, лежащих в одной плоскости и обравуюших соответственно углы а! с осью л и имеющих ковффициенты жесткости сь При каких соотношеняях между е, и а, обобщенный коэффициент жесткости в любом радиальном направлении будет одинаков прн малых перенещеннях точкп.
208 тиоэня малых двнжвнни снстиаця пл. хч!и Решение, Выберем произвольное направление у, образукяцее утоп <р с осью х, и найдем приведенный коэффициент жесткости при малом перемещении точки идола оси у и е, = 'Я с!соя'(а!+ф). (1) ! ! Преобразуем вто равенство ез ° ~Х', е!(соваа!соаагр+а1паага1паф)- ! ! — 2 ~Х!',е!сова!а!па!соа!ра1пф. (2) ! ! Из (2) следует, что приведенный коэффициент жесткости не будет зависеть от величины угла !р, если ~Ч, 'е!соваа! ~Ч~~ е,а1п'а! ! ! ! ! п ~, 'е,созе!,а1паг=О. Эти два условия могут быть записаны и так: ,'',е,соа2аг=О, ~Х', е,а1п2сс! — — О.
! ! ! ! Пользуясь этими условиями, можно, К задаче 18.14. в частности, легко показать, что трн, четыре, шесть и т. д. радиальных пружин одинаковой жесткости, расположенных симметрично, образуют при малых перемещениях однородное упругое поле, 2', Вычисление коэффициента ж естк ости восстанавливающейей с илм при конечных перемещениях. Для определения восстанавлнвающей силы при конечных перемещениях рекомендуется следующий порядок действий: 1) определяем положение равновесия точки, закрепленной с помощью пружин; 2) даем точке конечное перемещение в направлении, в котором требуется найти обобщенный коэффициент жесткости; 3) вычисляем сумму проекций упругих сил на даправление перемещения, которая и является искомой восстанавливающей силой; 4) вычисляя производную от восстанавливающей силы по пере- мещению, находим обобщенный коэффициент жесткости.
тиоэии малых дВижении систимы игл. хиц Лифференцнальиое уравнение колебаний точки будет г — ь АУ вЂ” 2сж (2 г'Та+ х~/ Некоторое представление о напряженном состоянии системы в данном направлении можно составить по производной от силы по перемешению, которую иногда называют коэффициентом жесткости в данком положении. Нонечно, в данном случае восстанавливаюшая сила не равна с.», Найдем обобщенный коэффициент жесткости в направлении оси х ,и г. г б <г-л) с„д= — 2с~2- — + Фх ~ ~/~~.кх ра+хи) )/7а+ка~' В атом случае обобшенный коэффициент жесткости является функцией перемещеник Задача 1ВАВ. В условиях предыдушей задачи определить восстанавливаюшую силу при конечных перемещениях точки вдоль оси т. Ось т, делит угол между соседними угв пружинами пополам.
Решение. Лаем точке смещение ОМ=.т (см. рисунок) вдоль оси и определяем силы, действуюшие на точку, считая все пружины рг~ й растянутыми. Тогда модуль упругой а'з силы Р'а=Ра с(Ы,+Ь), где Ыт — удлиненне соответствуюк щей нружнны, вызванное смещением точки ОМ, равно Ыа АМ вЂ” АО = уз+Р-~2 ы-~, Из треугольника ОАМ, пользуясь теоремой косинусов, находим Р=Р ( И-ф 28 )- — 23~Р+Ф-~~ ' откуда 2к — 3/2 ! сова = а гт+з~их' Тогда г„=~„= —.(1'~~ -~и,. -~~.к) 2 р+ хв — 'г' 2 Гк Аналогично из треугольника СОМ находим ск 1 Р~Ф~~2 з. своводныи коливанни смстимн ам Применив теорему косинусов для определения стороны ОС а, по. лучин соя )3 2к+(/ 21 и тогда Рза~Ра,~в — с(Ф Р+хз+) 2 1х — 7+Ь! 2з+)г 2! 2 Г+ +Р'21 Таким образом, нскомаи восстанавливающая сила при смещении точки вдоль осн х будет Х, .= Ра„— — — 2с 2х-(7-Ь) 2з+1/2 Г + 2з — 11' ' 2 2~ 2 Р+ за+ 1~ 2 Гл 2 3~ Й'+ ха — )г 2 Ь Задача 18.17.
Найти дифференпиальное уравнение колебаний материальной точки массы ла в направлении оси х, составляющей л 4 К задаче !827. угол 60' с ОА. Точка прикреплена к трем радиальным симметричным пружинам одинаковой жесткости с, расположенным в одной плоскости (рис. а).
В равновесном состоанин длина каждой пружвны уз+ д гле 7а — длина свободной пружины, гз — ее предварительный нзтяг. Решение. )1аднм точке конечное перемещение ОМ=х (рнс. гУ). Тогда, считая все пружины растянутыми, найдем модули сил Гд, 1чз, Рз. Имеем Рз=Рз- — с(61+Ь), где 61-удлинение первой нлн второй пружины, вызванное перемвшением точки нз О в М. Это удлинение равно 218 сВоводныв колеВания системы З з1 где 61в — удлинение пружины, вызванное смещением точки лв, равное 1(ля того чтобы спроектировать силу )вх на ось х, найдем угол 1). а) К задаче !8.18. Из треугольника ОАлв по теореме косинусов находим сторону ОА: (ОА)з = (Олв)з+ (Ат)в — 20лв ° Агл соз'(180' — 1)) или Р= 2-РР— 22 У2 РР 2. Т 22 Отсюда мы получаем 1сов а — л совр = )У 12 -1- лв — 21 з сов а Таким образом, проекция силы ггх на ось х равна -2*.
нв= (~РТА:м Б -УРРА ' ' * Р2) 2 УФ вЂ” 22* Р 2 РУ "" Р " " РУ" Р,=с(Ы~+У)), где 612 — удлинение пружины, вызванное смешением точки лв, равное 61в=Вт-1= Р+хв — 21хсов(120'-а)-1. Находим далее угол у. По теореме косинусов из треугольника ОВлв находим 1в=хв+вв+ха — 2гхсоз(120 -а)+ +2х 1в+хв — 21хсоз(120'-а) сову, откуда 1 сов (120' — а) — л сову= 'ТУ 12+аз — 21л соз (120Р— а) 214 1гл, ХИП тиовия малых двнжинни системы Проекцив силы Ря на ось л равна Р,,„= с ~ !Я+ха — 21х соя(120'-а)-!+Ь~ Х Х ! соа (1 20' — а) — х )Г!а+х' — 2!х соа (12(г — а) Аналогично находим для третьей силы Ра с(6(а+ Ь), где б!а = Воспользовавшись теоремой косинусов, получаем соаф = ! соа (1 20+ а) — х н Ра — — Ра соя ф с ['к' (а + ла — 26с соз (120'+ а) — !+ Ь1 Х ! соа (1лг+ а) — х Х .
(3) Воспользовавшись (1), (2), (3), находим восстанавливающую силу, стремяшуюся вернуть точку в положение равновесия ! соа (1М' — а) — х ! соа (120'+а)-х И+ха — 2!лом(120'-а) $~ и+ха — 2!хам (120".+а)Р ' Выражение для приведенного коэффнннента жесткости упругого поля в любой точке плоскости может быть найдено днфференннрованием Р„ по переменной лп! дд г Г а(пс а с„= — = с !(3 — )а (! — Ь) ~ + дх ), ~(!Я-~-ха — 2!хсога)а!Я нпа (120' — а) Ипс (120'+ а) (!с ! хс 2!х сох (1 ф)ю ))3/2 (!Я ! х 2! (! 20о ! ))3/2 Я ' Имея систему с заданными величинами У и Ь, подставив в полученную формулу определенное аначение х, можно, придавая углу а значения от 0 до 2п, получить кривую зависимости с„(а). Заметим, что коэффиииент жесткости каждой пружины с не скажется на форме кривой, поскольку с является общим множителем для всего выражения, На рнс.
б в полярной системе координат (с, и) показаны две такие кривые прн одинаковмх ! и х, но при различных первоначальных натягах Ь. Кривав 1 прн 7=2, х 0,1, Ь=0,1. Кривая 2 при 1=2, х=0,1, Ь=0,2. Рассмотрим теперь упругое поле системы в случае малых перемещений и при отсутствии начального натяга, Система состоит из 215 Вынужденные копевания системы е 41 трех «параллельно» соединенных пружин.
Для определения приве- денного коэффициента жесткости воспользуемся формулой с„'Я с,соаеал (1*) 4 где с„— коэффициент жесткости упругого поля в напраиленнн осн .е, с,— коэффнцнент жесткости 1-й пружины, аг-угол между втой пружиной и осью л. Для рассматриваемой системы с„= с (созе Се+созе (120' — ге)+созе (120'+се)) = а/~ е. (5) Таким образом, прн малых отклонениях приведенный коэффициент жесткостп поля не зависнт от угла га, т. е.
в окрестности положения равновесия упругое поле однородно. На рнс. б показана окружность (кривая 6), нзобрзжающая зависимость с(а) прп малых отклонениях. Прн наличии первоначального натяга можно найти приведенный коэффициент жесткостп в точке равновесия О, положив в формуле (4) перемещение л=0, Тогда найдем 3 ~ А) (6) Сопоставляя (5) н (6), замечаем, что первоначальный натяг влияет на коэффициент жесткости упругого поля прп малых перемещениях.
Прн использованных для построения кривых на рнс. б данных (7=2, А=0,1) нз (6) находим сее 1 1 — с. 3 Э ' Я Это окружность, радиус которой на 0,1 больше радиуса окружности 6 на рис. б. Неоднородность упругого поля опор вращающегося вала может привести к особому виду опасных колебаний, называемых параметрнческнм резонансом *). В 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
