1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 37
Текст из файла (страница 37)
При этом следует остерегаться резонанса, который наступает пря обращении в нуль внаменателя в (9) и (10» та+ с, — -1 оР1И са — — ' вР) - с,' = О. (12) Значение углорой скорости ы, определяемой нк равенства (11), не обращает в нуль виаменатель в (9) и (10) н, следовательно, не удовлетворяет (12), Однако не всегда удается точйо поддерживать одно и то же аначение вь При случайном изменения угловой скорости и воаможно возникновение опасных реаонансных колебаний.
9 7, Исследование колебаний энергетическим методом. Определение собственной частоты Собственная частота системы является важным параметром, определяющим характер как свободных, так и вынужденных колебаний системы. В сложных системах, наряду с ранее рассмотренными способами, часто применяется энергетический метод определения собственной частоты системы.
Во многих случаях внергетнческнй метод проще н быстрее ведет к цели. Для консервативной системы полная механическая внергия, равная сумме потенциальной и кинетической энергий, сохраняет неивменной свою величину 1+ П сопа1. (1 е) Это аакон сохранения механической энергии при движении системы в потенциальном силовом поле. Здесь 1 — кинетйческая внергия, П-потенциальная энергия системы, Пользуясь ааконом (1ч) для системы с одной степенью свободы, можно идти дальше двумя путями; 1) Вычислив от обеих частей равенства (1ч) пронаводную по времени, находим дифференциальное уравнение движения системы, иа которого непосредственно определяется собственная частота системы.
2) Будем отсчитывать потенциальную внергню от положения равновесна системы. Тогда иа закона сохранения механической энергии следуем когда потенциальная внергия достигает максимального аначения, кинети- исслвдованнв колввании так как каждая иа величин выражает полную механическую энергию, остающуюся неизменной.
Пола'ая движение точки гармоняческим колебательным движе- нием .т а а(п (лг+))), можно представить максимальную кинетическую энергию в виде гв"мах ааааа у'тва ~"' ~ . ии пьа. 2 (з*) Обоаначиы максимальную потенциальную энергию п...=а. (4*) Тогда, согласно (2*), на=в е В' (б*) Если же потенциальная н кинетическая энергия всей системы складываются иа энергий ае отдельных частей, то формула (б*) преобраауется к виду йа Ей кв, (б') В этом случае метод носит нааваине метода Рэлея и может быть обобщен на системы с распределеннымн массамн.
Выбрав пронавольно, но с соблюденяем граничных условий, форму колебаний — функцию, описывающую отклонения масс системы в момент, когда потенциальная энергия достигает максимума, я полагая, что колебания всех точек системы происходят с одной и той же частотой и находятся в одной и той же фане, получим основную формулу Рэлея для балки с распределенной массой ~ Е! д'')а вя ив= (Т*) где )"(л)-форма колебаний, Й7-жесткость балки на нагиб.
Рэлей покааал *), что эта формула дает точное аначенне собственной частоты, если выбранная форма колебаний в точности совпадает с действительной формой. *) Рэ лей, Теория авука, тг. 1 и 2, над. 2, Гостехиадат, Москва, !922, ческая энергия обращается в нуль, и наоборот, когда кинетическая энергия максимальна, то потенциальная равна нулю. Следовательно, у~..=П~... (2') 242 !Гл. хщ11 теОРия малых дВижении системы Однако в большинстве случаев действительная форма колебаний неиавестна и, выбирая форму, удовлетворяющую граничным условиям, находим по формуле (7я) блиакое к истинному вначение собственной частоты, причем, как покааал Рэлей, это вначение всегда боление истинного. При решении вадач первым путем рекомендуется следующий порядок действий: 1) составляем выражение кинетической и потеипнальной энергии в проиавольном положении системы; 2) вычислив пронаводную по времени от полной механической энергии системы, находим дифференциальное уравнение движения системы; 3) по коэффипнентам дифференаиального уравнения движения определяем собственную частоту системы; 4) проинтегрировав диффереипнальное уравнение движения н определив пронавольные постоянные по начальным данным, находим уравнение движения, При решении аадач вторым путем Следует применять такую последовательность действий: 1) аадаемся формой колебаний, возможно более близкой к истинной и, во всяком случае, удовлетворяющей граничным условиям эадачи; 2) вычисляем максимальную кинетическую н максимальную потенпиальную энергии; 3) приравнивая их друг другу, находим квадрат собственной частоты системы.
Задача 18.26. Жидкостный маятник состоит на иаогнутой трубки постоянного поперечного сечения, в которой находится столб жидкости длиной 1 и удельным весом Т. В положении статического равновесия жидкость находится на уравне О. Определить собственную частоту и период свободных колебаний столба жидкости, Трением жидкости о стенки трубки пренебречь. Решение, 1) Пусть столб жидкости в левой вертякальной трубке поднялся на высоту у над уровнем равновесного положения, а соответственно в правой вертикальной трубке этот столб опустился иа у.
Тогда на столб жидкости будет действовать восстанавливающая сила, равная весу столба жидкости высотой 2у. Этот вес равен 2уау, где площадь поперечного сечения трубки обоаиачена буквой а. Масса колеблю. щейся жидкости равна та1 ла = —. й ' 242 исслидовании колнпаиитт Составляем дифференциальное уравнение колебаний столба жидкости тЯ = — 2уау. Знак минус укавывает, что восстанавливающая сила всегда направлена в сторону, противоположную координате у. Внеся в это равенство аначенне массы, находим У+~у= о.
Первой колебаний и собственная частота отсюда равны Т=йм 1г1 — А / 2я Таким образом, эквивалентный математический маятник имеет длину 112. удельный вес н площадь поперечного сечении трубки не влияют на собственную частоту н период колебаний столба жидкости. 2) Эта же задача может быть решена энергетическим методом (первый путь). Находим кинетическую внергню системы — я(ра = — — яа. 1 1 та1 2 2 я (2) Здесь с — квавикоэффнпиент жесткости, равный 2уа. Полная механическая энергия остается неиаменной.
Следовательно, — — Ра+уауа = сопа1. 1 та1 2 и Вычислив от обеих частей уравнения производные по времени, находим дифференциальное уравнение движения жесткости У+ йу=б, 2 Собственная частота и период колебаний равны й = ~~ — е Т =*2п ~ —, /ф г 2я что совпадает с реэультатом (1). 3) Эта задача легко решается также энергетическим методом (второй путь). Для вычисленяя потенциальной энергия вспомним, что она равна работе сил поля прн перемещении иа данного положения в нулевое е о П = — ) су Ыу = — ) 2'уау Ыу = уауа.
У У 1гл хш11 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ Задаемся формой колебаний Р=Вз1пйз, откуда р = Вл соз лг. Находим максимум кинетической энергии согласно (2): т„з„=- — В йз, 1 таг 3пех 2 и максимум потенциальной энергии в соответствии с (3)1 П,„= уаВе. Внеся эти значения в формулу (2*). у! ыаз ~ Пваю получаем йз =~ или л =1 1 ' У 1 Задача 18,27. Трифнлярный подвес состоит нз диска радиуса )ч и массы лз, подвешенного на трех симметричных нитях одинаковой длины 1. Нити прикреплены на расстоянии г от центра диска. Определить собственную частоту малых колебаний диска, происходящих около вертикальной осн, проходящей через центр диска.
Р е ш е н и е. Обозначим малый угол поворота диска вокруг центральной вертикальной оси через ф и малый угол, на который прн этом отклонилась от вертикали каждая нить через ф С точностью до малых величин первого порядка включительно находим гф= 1ф. (1) К задаче 18.27. Составим выражение для потенциальной энергии диска. Обозначив вертикальное перемещение диска х, получаем П лзйх. Но а =1 — 1созф = Ц1 — созф) = 12 з(пз — ям1 —, ф фз Е 2' (2) Учтя (1) и (2), находим окончательно гз П лзя — фз, 21 )(инетическую энергию диска будем искать как сумму кинетической энергии при поступательном вертикальном движении ТА и кине- ИССЛЕДОИАНИЕ КОЛЕЕАНИН тической энергии при вращении диска вокруг центральной вертикальной оси Т,, Тогда лвзв лв гь Тт= 2' 2 !ей% где, согласно (2) и (1), гв о.-2= !фф= — фф. Далее находиы Т вЂ” 1 юа — лгЯвфв, 1 1 2 в 4 Сопоставив два слагаемых кинетической энергии системы, замечаем, что Тт — величина четвертого порядка малости, которой можно пренебречь по сравнению с Т, — величиной второго порядка малости.
Потенциальная внергия -также величина второго порядка. Таким образом, полная механическая энергия системы равна 1 Т,+П вЂ” лгйввра+ту — вра сопа1. Провнфференцировав вто равенство по времени, находим дифференциальное уравнение малых колебаний трифиляриого подвеса 2егв $+ — „вр О. Квадрат собственной частоты системы равен ля= —.
,, 2ивв !Авв Задача 1828. Грув массы Ач прикреплен к пружине (ряс. а), коэффициент жесткости которой с. Масса пружины лвв. Определить частоту свободных колебаний груза, учтя массу пружины. мв Ф К задаче 1ЕЖ Решение Применим для решения этой задачи два пути; энергетический метод и его модификацию-метод Рэлея. 1) Энергетический метод. Рассмотрим систему в произвольном положении (рис. б). Пусть в этот момент длина пружины 246 твовня малых двнжинни снстимы 1гл, хчш 1 Т = — тоь+ — о) Йл = — лгоа + — ( — Иу 1 ° (-о), (2) =2 2~ где Ит =(тай Фу-масса элемента пружины. Вычислив интеграл, находим Потенциальная энергия системы равна П= — сж 1 2 (4) где ж — координата грува, отсчитываемая от положения статического равновесия. Система, состоящая нз грува и пружины, консервативна.
Следовательно, полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, остается неизменной: Т+ П = — (яа+ — ~ па + — слз = сопя(. 1 г м1'1 1 2(, 3) 2 (5) Заметив, что скорость грува равна о кт (6) вычислим от обеих частей равенства (б) пронзводнувт по времени: ( +ф)„'— '"+.~=О. Р) Это и есть дифференциальное уравнение движения грува с учатом массы пружины, Частота свободных колебаний грува будет (8) равна Л Выделим элемент пружины длиной Ыу, находящийся на расстоянии у от точки закрепления.
Скорость выделенного элемента пружины может быть задана различными формулами. Положим, что скорость элемента пружины ю~ равна % 1чч У (1) где и — скорость груза, прикрепленного на конце пружины. Эта формула удовлетворяет граничным условиям: если у О, то о,=О, что соответствует точке закрепления; если у = (, то и, =ю,, что соответствует скорости конца пружины, скорости грува. Однако, как будет показано далее, формула (1) не является единственной формой распределения скоростей по длине пружины. Кинетическая энергия системы определится кзк сумма кинетических энергий грува н пружины нсслидованнн колеваннп и 1 юа утлая = 2 1' й' злах йЛ = Ай' (12) 1е Здесь для краткости буквой А обозначено отношение максимальной кинетической энергии пружины к квадрату собственной частоты сн« стемы. Для окончательного вычисления интеграла (12) аададимся зависимостью зм,„ от Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
