1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Задвчв 18.44. В условиях предыдущей задачи определить крн- тнческие угловые скорости ротора (при отсутствии сил трения). Критическими называются значения угловых скоростей ротора, при которых амплитуды вынужденных колебания неограниченно воз- растают. Решение. Как следует иа уравнении (8) предыдущей задачи, координаты точек ротора неограниченно возрастают одновременно с коэффипдентами аь Ьь Из равенств (23) — (26) видно, что это будет при ,Уя (ю) = [( — А) газ + сз(яЦ (М$агла+ стХ~- — [(В - А) Гэа — стет) (М!тмз - сз!) = О.
(!) Представим функцию га(гз) в виде Ла (га)= ( — А) юЧ [с;+ с, — Мша)+ Маша (с1![+ сД) — стса)з (2) и исследуем ее. Для этого длв значений ы, равных О, ~ — ) — ° оо, Гс, -!-с, влиянии гнзоскопнчвских снл $ м1 находим значения у;(ю). При этом следует различать два случаи В>А и АьВ. Результаты вычислений сведем в таблицу: Из таблицы видно, что при В А уравнение (1) имеет два положительных вещественных корня ют и гза, т. е. что резонанс наступает прн этих двух значениях угловои скорости ротора. В этом случае имеется два значения критической угловой скорости, причем "'~ У М 'с1"' -ь/С,+С, Во втором случае, при А)В, уравнение (1) имеет один положительный вещественный корень в„, т. е.
у ротора одна критическая угловая скорость, причем ют ( ф з / с1+сз упомянутые критические угловые скорости жесткого ротора в двух упругих опорах определяются как корни биквадратного уравнения (1) В1 ж т' и,' — 4М ( — А) с,с4' м1,з . ~Г-:— 2М ( — А) где й, (с;+сз)(В- А)+М(сД+сзРД. Прн А О формула (3) дает значение критической угловои ско. рости без учета гироскопического эффекта. До снх пор при определении вынужденных колебаний ротора мы предполагали, что /т(ю) ~ О. Рассмотрим теперь особый случай, когда гт (гэ) О.
(4) Найдем разность Л (ю) -/з (гэ) =* 2АюЧ (с(+ сз — Мюз). (б) Из (6) следует, что прн условии (4) функция уз(гэ) не обращается в нуль, если с1+аз ~ Мма в а ф О. Найденные в предыдущей задаче значения аь Ь| в при условии (4) удовлетворяют исходным дифференциальным уравнениям движенид Значит, в этом случае мы имеем 3О4 1гл. хтпг твоэия малых движении системы те же резонансные колебания и критические угловые скорости, которые уже определены уравнением (3). На этом основании можно взключить, что при воздействии на ротор возмущающих сил, вызванных его статической и динамической неуравновешенностью резонансных колебаний, соответствующих обращению в нуль, функции гт(ю) возникнуть не могут. Однако при действии других возмущающих сил, изменяющихся с частотой, равной угловой скорости ротора ю, резонансные колебания, соответствующие обращению в нуль у (ю), могут возникнуть.
Доказательство этого утверждения приводится в следующей задаче. Задача 18.4$. В условиях задачи 18.43 определить критические угловые скорости ротора, если возмущающая сила равна Р Рр соа оФ Возмущающая сила с постоянной амплитудой приложена в центре тяжести ротора и сохраняет неизменное направление, параллельное оси у. К задаче 18.45. Р е ш е н н е. Дифференциальные уравнеияя движения ротора будут (см. уравнения (б), (6), (13), (14) аадачи 18.42) Мус+ с,у, + сауа =*Ра сов ау, Мйс+ с,г, + сага - О, Ае(1 — Ву+са)аза+ст1тз = О, АгкУ+ В ЯР— са1аУа - с,~тУ, = О. Ф !01 влияние гиэоскопичиских сил М (ЕдУд — Ед [)д) + сд1уд+ с,Еу, = Ро1 соа е1, М (Едко Едуд) + сд[лд + саЕяд О Ае ( Ро — )>д) — В (2а — Уд) + со[о[хо + одЕд [Яд = О, Ае(ад — 2д) + В(уд — уд) — с,Цуа — сд1д[у, = О.
(2) решение этой системы линейных неоднородных диффереипиальных уравнений с постоянными коэффициентами складывается иа общего решения системы без правой части и частного решения полная системы. Обшее решение системы без правой части уже найдено,— это уравнение свободных колебании ротора (см. вадачу 18.42). Частное решение полной системы, определяющее вынужденные колебания ротора, будем искать в виде Уд= адсоае1, гд — — аоа!пе1, д( Уа=а соае1, аа аоа!пе1. 1 (3) Подставив (3) в дяфференпиальные уравнения движения (2) и сократив соответственно на з!пе1 или соае1, получаем систему алгебРаических УРавненип длЯ опРеделениЯ постоанных ад, ам а, ао (сд1+ МЕдоР) ад+ (сд1 — МЕдед) а, = В 1, (4) (сд1+ МЕдеа) а, +(с,1 — МЕдед) а, О, Аеоад — АоРао+ (сд[д1 — Вед) ад+ (сд[дЕ+ Вед) ао — — О, Ааааа — Ае'ао — (с,Е,Е- Ве') а, — (сдЕаЕ+ ВоР) ао О.
Сложив и вычтя первые два и последние два уравнения, находим (гдЕ + МЕдоР) (ад+ ад) + (с,1 — М [дед) (па+ ад) = РоЕ, [(В - А) оР— сд[дЕЕ (ад + ад) - [( — А) ед + сд[дЕ! (ао+ ао) = О, (с,1+ МЕдоР) (ад — ад)+(сдŠ— МЕ,оР) (аа — а,) = Ро[, (б) [(В+ А) оР- сд[дЕ) (ад — ад) — НВ+ А) ед+ сдЕдЕ! (ао — ао) *= О. Ив этих уравнений получаем яд в-~я+ма а,+ад Щ [( — А) е' — сдгд1[ а+ 4 Е(м) Вог [(В+ А) ед+сдгдг , (е) ~ВА И- ГЦ ао — па=* Е (,) д Подставив выражения для ус, яс, [), у (см. уравнения (1) — (4) вадачи 18.42) в вти уравнения, находим теОРия мАлых движении систезвы )гл. Хчид откуда Р«1 (( — А) кд+евд4) Я ((В+А) «Р+евг«Ц 2(в (а) 2Уд (а) Ыà (( — А) ав+евдД Р»Г ( В+А) ив+ евдвГ) 2) (а) 2 (а) Ыà [( — А) «Р — едГдГ) Р4 $(В+А) ав — едвД (6) — 2),(а) + 2).
( ) Р„! (( — А) ав — с,ввГ) Ров ((В+А) ав — еддД 26 (а) 2)д (а) Формулы (6) показывают, что а„а„аа, ао неограниченно возрастают, когда,гд(ю) приближается к нулю. При решении предыдущей задачи было установлено, что Л(а) и гв(а) не имеют общих корней. Следовательно, когда Л (а)-«-0, то уа(а) принимает отличное от нули значение. Поэтому нрн малыхина(ю) первые слагаемые в формулах (6) пренебрежимо малы во сравнению со вторымв. Следовательно, для приближенного определения постоянных можно в (6) отбросить первые части.
Тогда ад = — ав, ав = — ао. Поэтому уравнения движения точек ротора, совпадающих с центрами нижней и верхней опор, будут иметь вид уд=лдсозаг, уд=аосоаат, ад= — ада(п аг, ла —— — аоз!пай Л (а) = ((В+ А) ю'+ с,уЩ (МЕ аа+ сд))— — ((8+ А) ав — сайд) (МЕдвв - са)) = О, (9) откуда 2М (В+А) где йв (сд+ св) (В+ А) + М (сдРд+ свРв), нричем вти значения всегда вещественны. Таким образом, пря действии возмущающей силы постоянного направления, изменяющейся по синусоидальному аакону с частотой, Иа уравнений (3) видно, что характер колебаний, вызываемых силой Р вблизи резонанса при соответствующей критической угловой скорости, определяемой из уравнения Л(а)=0, отвечает синхронной «обратной» прецессии ротора.
Значения критических угловых скоростей «обратной» прецессии находятся иа уравнения (см. задачу д6,43) 3ОУ влияния гиэоскопичвских сил равной угловой скоростн ротора„существуют четыре илн три критические угловые скорости ротора (в зависимости от соотношения моментов ннерции А и В). 3'. В л и я н и е г и р о с к о п и ч е с к и х с и л н а в ы н у ж д е нные колебания при резонансе. Дифференциальные уравнения движения твердого тела составляются и соответствии с общими правилами, укаааиными в 8 4, 6, 9, 1О настоящей главы. При решении задач на определение вынужденных колебаний твердого тела при резонансе рекомендуется следующий порядок действий: 1) выбираем обобщенные координаты; 2) пользуясь уравнениями Лагранжа или общими теоремами динамики, составляем дифференциальные уравнения движения твердого тела; 3) находим собственные частоты из задачи о свободных колебаниях тела и критические скорости, исходя из задачи о вынужденных колебаниях твердого тела; 4) для случая резонанса находим частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнеияй движения и, прибавляя к иему общее решение однородной системы, получаем искомое общее решение задачи.
Задача 18А6. В условиях задача 18.43 определять вынужденные колебания жесткого вала, вращающегося в двух упругих опорзх, при резонансе. Пентр тяжести вала лежит между опорами. Решение. )(ифференциальные уравнения малых колебаний статически и динамически неуравновешенного вала были получены в эаяаче 18.42. В случае, когда центр тяжести лежит между опоРзми, уравнения имеют вид М (1Д + 1ьЯ+ ст1уг + са1у, = Ме1вз сов в1, М(1тйа+ 1ьйт) + сг1зт+са1хз Ме1ва з!п вт, Ав (У, — Р,) — В(У, — У,) — сз1з1еа+ ст1г1ст = — ( — А) вай з1п(вг- е), Ав (2з — 4)+ В(Яз — Ут)+ ся1з1уз — ст1т1у„= ( — А) вз18 соз (вг — е).
Решение этой задачи для любого значения угловой скорости в, при котором Ь (в) = (( — А) ва — сз(з1 Исг1 — М1ава) + + (( — А) вз — сг(Д (сз1 — М1ьва) ~ 0 (2) было получено, Ось вала описывает в этом случае поверхность конуса, врвцзясь в ту же сторону, что н вал, с угловой скоростью вала.
Рассмотрим случай резонанса, цолагая, что вал вращается 308 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ !ГЛ. Хтгн! с критической угловой скоростью, при которой определитель (2) обрашается в нуль: Ед (в) О. (3) Буден искать частное решение системы (1) в виде у, (ад+Ьде)созодг+(Ьд+с(дг) з!пвЕ, лд =(а,-1- йдЕ) з!и в!+(Ьд+4!дЕ) сод в!, уз=(аз+йдЕ) созвЕ+(Ь +~ЕАЕ) з!пвЕ, гз=(ад+Ьаг) з1п вЕ+(Ьа+Ф) созвЕ. (4) Подставляем эти функпии и их производные в систему (1). В по.
лученных уравнениях, которые должны быть справедливы в любой момент времени, приравняем коэффнпненты соответственно при созвЕ, з!пвЕ, Есозвг н Ез1пвЕ в левой и правой частях каждого ив четырех уравнений (1). Тогда находим шестнаднать алгебраических уравнений с шестнадцатью неизвестными (аь Ьь Ьь дЕд), которые разбиваются ня две системы (5) и (6), каждая ив восьми уравнений с восемью неиввестнымн. Первая система уравнений: (сд1 — М1двд) ад+(сзŠ— МЕдвд) ад+ 2МЕдвд(д+ 2МЕдокЕа — — МеЕвд, (5.1) (сд1 — МЕзоР) с(д + (с,! - МЕдоР) аз О, (5.2) (с Е- МЕдвд) ад+ (сз1-М1доР) ад-2МЕдвдЕд — 2МЕдидЕ4 МеЕвз, (5 3) (сд1 МЕдвд) д(з + (сзŠ— МЕдвд) г(4 — О (6.4) Ав'ад+(сдЕд1-гВвз) ад — Авдаз+(ВоР— сдЕдЕ) а — Авд(д— — 2ВвдЕд+ Аваа+ 2Вон14= — ( — А) вЧ6 созе, (б 5) — АоРд(д+(сдЕАŠ— ВоР) Ыд+ АвдЫз+(Ввд - сдЕдЕ) 64 = О, (5 6) (Ввд — сдЕАЕ) гЕ + Авдд(д+ (сдЕдŠ— ВоР) 4 — АоАЕ4 =* О, (5.7) (ВиР - с~!Д ад — Ав'ад+ (саЕ Е - Ввд) ад+ АоРив - 2ВвдŠ— АвНз+ 2Ввд(з+ АЫ4 ( — А) вЧб соз д (5.8) Вторая система уравнений: (сдŠ— М1,в') Ьд+ (с,1 — М1двд) Ьз — 2МЕдвйд — 2ЛИ вй = О, (6.1) (сдŠ— МЕдв) йд+(сдŠ— МЕдвд) Ьд —— О, (6.2) (сдЕ МЕдвд) Ьд+(сдЕ- М1двд) Ьд+ 2ЛИдвйз+ 2МЕдвйд = О, (6 3) (сд1 — МЕ,оР) Ьд+ (сд1 — МЕ,оР) йд = О, (6.4) — АвдЬд+(сдЕд1 — Вв ) Ьд+АвдЬ4 — (сд141 — Вв ) Ь4 Авйд + + 2Ввйз+ Авйа — 2Ввй, ( — А) вЧб Ып е, (6.5) Авдйд+(сдЕд1 — ВиРу йд — Авдйз — (сдЕдŠ— ВоР) Ь4 —— О, (6.6) — (сдЕАŠ— Ввд) Ьд+ АиРЬд+ (сд1дŠ— ВоР) Ьд — АоРЬ4+ 2Ввйд — Авйд — 2Ввйд+ Авйд ( — А) вЧб з!и е, (6.7) -(сд141- ВоР) йд — Авдйд+ (сдЕАЕ- Ввд) Ьз+ Авдйд = О, (6 8) 309 влиянии гивоскопичвских сил Рассмотрим вначале систему (5).
Сложим и вычтем попарно уравнения (5А) и (5.3); (5.2) и (5А); (5,5) и (5.8); (5.5) и (5.7). Получим снова восемь уравнений, но они разобьются на две системы по четыре уравнения с четырьмя неизвестными каждая: (сдŠ— МЕдва) (ад+ аа)+(соŠ— МЕдед) (аа+ ад)+ + 2МЕда(д[д — дЕд)+ 2МЕдв (д[з — д[о) 2Ме[еа, (,Š— МЕ, )(В,-В,)+(с,Š— МЕ,вд)(Е,— В,) =О, [( — А) в' — сдЕдЕ] (а, + ад) + [сдЕдŠ— ( — А) а'] (аа+ ад)+ + (А 2В) а (с[д — д[о) + (2 — А) а (д[а — д(о) = = 2 ( — А) еа(6 соз в, [( — А) ед — сд ЕдЕ] (д[д — д[д)+[саЕдŠ— ( — А) ад] (д[з — сдо) = О, (с,Е-МЕ е')(ад — ад)+(с,Š— МЕде' )(а,— ао)+ + 2МЕдв (Ыд+ адд)+ 2МЕде (д[д+ д[д) О, (сдŠ— МЕде' ) (д[д+ д[д)+ (сдŠ— М(да') (д[з+ д[о) О, [(В+ А) аз — сдЕдЕ] (ад — ад) + [сдЕдŠ— (В+ А) ва] (а — ао) — (8) — (2 В + А) а ОЕд+ Ыд) + (2 В + А) а (ада+ д[д) = О, [сд[дЕ -[ В+ А) а'] (д[д+ д[д) + + [(В+ А) ва — сдЕдЕ] (д[а+ д[о) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
