1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Так как в данном случае а, »О, аа.э О, аа»0, а( О, то условия Гурвица не удовлетворяются, и следовательно, малые движения регулятора, в сделанных предположениях, неустойчивы. Этот факт, установленный сравнительно давно экспериментально, приводит к необходимости вводить дополнительные звенья в систему регулирования. Звдвчв 18.61. Пусть уравнение возмущенного движения системы с одной степенью свободы определяется уравнением Ван-дер-Поля У+с[(ла-1)ч+х О, (Т). где са) О, Исследовать устойчивость движенна тстончивость двийяння З п1 Решение. Запишем уравнение движения (1) в виде системы двух уравнений лу / лз — = — х; — у-а~ — -х), Ф ' М '1 3 (2) Это допустимо, так как, вычислив нз второго уравнения системы (2) производную по времени и внеся туда значение р согласно первому уравнению снстемы (2), возвращаемся к исходному уравнению (1).
Лля определения устойчивости возмущенного движения по первому приближению линеаризуем систему (2), отбросив члены выше первого порядка малости: вл — =у+ах, (3) (4) Составляем хзрзктеристическое уравнение системы а - Х + 1 Раскрыв определитель, получзем 2з-аХ+1 =О. (б) Корни характеристического уравнения (б) таковы. / аз Хьз=-2-+-" (6) При а~2 оба корня вещественные и положительные1 при а(2 оба корня комплексные с положительной вещественной частью. Следовательно, иевозмущенное движение х= О, х О системы неустойчиво в малом. 3'. Устойчивость движения при нзлвчии гироскопических свл. Системз, неустойчивзя сема по себе, может быть сделзнз устойчивой по первому приближению путем введения гироскопических снл только в том случае, если число неустойчивых степеней свободы четно.
Эта теореме была доказана Кельвином. Гироскопическая стабилнзапня дввжения возможна только для консервативной системы. Лиссипативные силы, как бы малы ни были, действуя достаточно долго, уничтожат устойчивость, создзнную гироскопическими силами. Понтону устойчивость, созданная гироскопическими силзми, называется «временной», в то время как устойчивость консервзтивной системы является чвековойь. Таким обрезом, днссипзтивные силы усиливают устойчивость движения прн действии одних консервативных сил н разрушают устойчивость, если онз достигнута благодаря добавлению гироскопических снл.
теОРия малых движвннп системы !гл. хчп! При решении задач иа исследование устойчивости движения при действии гироскопических сил рекомендуется следующая последовательность действий! 1) определяем число степеней свободы системы и выбираем обобщенные координаты; 2) находим невозмущениое движеяие системы! 3) задаваясь калыма отклонениями начальных условий двнжениц составляем дифференциальные уравнения возмущенного движения, пользуясь уравненивмя Лагранжа или общими теоремами динамики; 4) полагая, что обобщенные координаты и обобщенные скорости в возмущенном' движении отличаются от значений в невозмущенион движении на величины первого порядка малости, линеарияируем дифференциальные уравнения, отбрасывая слагаемые второго и более высоких порядков малости, вычитаем из дифференциальных уравнений возмущенного движения соответствующие уравнения невозмущенного движения; б) исследуем устойчивость системы по первому приближению непосредственным интегрированием дифференциальных уравнений возмущенного движения или применяя критерий Гурвица к дифференциальным уравиенвям в вариациях, Задача 1В.бж Ротор веса Я вращается с постоянной угловой скоростью ю вокруг собственной оси симметрии, совпадающей а неподвижной вертикальной осью х.
Точка О, являющаяся центром сферической опоры ротора, неподвижна центр тяжести ротора С находится на высоте ОС= 1м Расстояние ОАа=1! буквой Ат обозначена крайняя нижняя точка ротора. 8)омепт инерции ротора относитецьно оси симметрии Я равен А, а момент инерции относи- тельно осн, проходящей через точку А! О и перпендикулярной к осн сим- метрии ротора, равен В. К задаче !852, Исследовать устойчивость вер- тикального положения оси ротора, Решение.
Ротор представлает собой систему с двумя степе» няни свободы. Выберем в качестве обобщенных координат координаты у~, ла крайней точки ротора Ам йля составления дифференциальных уравнеяии движения применим теорему об наиенеиин главного момента количеств дввкення относительно неподвижных осей у, з. 331 а гй астоичивость движкнии Полъауябь формулами (2а) ив $9 этой главы, определяющими главные моменты количеств движения относительно неподвижных осей координат, находим и! — ~Аы($ — Ву) () 1' а1, и.
(Аву+В))) = — Я вЂ” ум (1) Внеся в вти уравнения аначення углов р и у, р У у д а (2) получаем Вуа — Агауа = (агась ВЯа + Ааэ2а — — (Цур (3) (4) (8) где  — А — гтю-тю, (12) — Аа+У Ааиа ~ — ай (13) а 2 — вещественные числа. В этом случае решение уравнения (6) будет гт аы)гт мж (14) НососимметРичные члены ( — Авбт) Я (Аы2а) соответствУют гиРоскопическим силам. решение этой системы однородных линейных уравнений с постоянными' коэффипиентами найдем, введя комплексную переменную Х = аа+ 1уа.
(б) Умножив уравнение (4) на 1 и сложив его с уравнением (3), имеем ВХ+ 1АвХ вЂ” Яуа). = О. (6) Составляем характеристическое уравнение ВЮа + 1Аю — Щ = О. (7) Определяем корни этого уравнения: — ~А 1~ тю+ааю 1 2В -1Ам+У вЂ” АЧаа+4ВО1а 9) а~ 2В ° () Если выполнено условие Аагаа ~ 4ВЯ(ь (19) то корни являются чисто мнимыми величинами и могут быть для краткости записаны в виде га (йа, г =18 (11) 332 теОРия ИАлых движении системы 1гл. Хчп! где .04 н Вз — комплексные произвольные постоянные вида 11! В,+ +(Вз, Ага — — В,+1В4.
Тогда уравнение (14) примет вид )о (Вт+ 1Ва) (соз ЬТТ+! 41п 341) + (Ва+ 1В4) (соз Ь41+ 1 з1п Ьз(). (13) Далее находим исходные переменные у! и ги отделив в уранненин (13) вещественную часть от мнимой: У! *Вхз1пйт1+ВзсозЬ41+Вяз!пйз1+Взсозйз1о (16) х! В! сов Ьта — Вяз!п И!а+ В, соя 74~ — Вез!и Ьзй (17) В этих уравнениях В„ Вз, В„ Ве- произвольные постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным уд„ р, хте, 2 при 1 О. Так как у! н л! являются линейными функциями косинуса н синуса, то координаты нижнего конца ротора не растут с течением времени.
Итак, прн выполнении условия (10) точка А! совершает периодическое движение (полагаем, что Ь! н Ьз соизмеримы), складывающееся из четырех гармонических колебаний. Следовательно, если угловая скорость ротора Х ~2 )'~Ф (13) что вытекает из (10), то вертикальное положение оси ротора устойчиво, несмотря на то, что центр тяжести занимает наивысшее положение и равновесие такого же невращзющегося стержня неустойчиво. Гироскопические силы стабилизируют неустойчивую консервативную систему. Рассмотрим далее случай, когда 03ч~ 2 —. 3~'30!о А (19) Корнн характеристического уравнения (7) будут комплексными числами вида з, — а+1Ь, зз= а+1Ь, (20) где $4оео-о ~ ) о о-=о" (о. (21) 2В 2В В этом случае общее решение уравнения (6) будет )е В!во !+Вазе !. (22) )о *(Ва+1Вз) е '~(созЬТ+1з1ЕЬТ)+ + (Вз+ (В4) а'~ (соа И+Е а1п Ь1). (23) Здесь, так же как н в первом случае, Р, В,+1Вз, Вз= Вз+1В4, Следовательно, уравнение (22) после этой замены примет внд взз гстопчнвость двнжвння $ И1 Исяодные переменные уа и з получим, отделив вещественную часть от мнимой; уа =е 'г(Ваз1пИ+Васозй)+е '(Ваз1плг+Васоай), (24) за ° е "(Ва сов б1- Ва з1пэг)+е'~ (Ва сов йг — Ваз1п Ы).
(2б) Вторые слагаемые в этих уравнениях содержат множитель е'г и, следовательно, ям соответствуют все возрастаюшие колебания. Вертикальное положение оси ротора в этом случае неустойчиво. 4'. Второй метод Ляпунова. Запишем систему дифференциальных уравнений возмущенного движения в виде иль ,~~ Хь(хм лэ " > хл) (1 ) ограничиваясь случаем, когда функция Х» ие зависят явно от времени. В этом случае невозмушенное движение называется установившимся, Под х„следует понимать обобшенные координаты и обобщенные скорости системы, которые в задачах устойчивости играют одинаковую роль. Будем считать, что в некоторой области )ха~~в (1=1, 2, ..., и) (2') называемых функциями Ляпунова. Эти функции будем полагать однозначными, имеющими непрерывные частные производные и обращающимися в нуль при ха = °...* х„б, 1) Функция 1~(хь ..., х„) называется знакоопределениой (определенно-положительной илн определенно-отрицательной), если она при )ха) ~а (з ) принимает значения только одного определенного знака (положительного или отрицательного) н обрашается в нуль только при ха х„= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
