1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Задача 19.1. Система масса — пружина †демпфер подвергается сннусоидальному возмущающему воздействию. Определить движение системы при нулевых начальных условиях, Р е ш е н н ц дифференциальное уравнение движения колебательной системы имеет вид лай+ рл+ сх,/'з!п юй Обозначив 2л = (1/гл, йа = с/т, й = //ги, перепишем его в виде У+ 2гьй+Аа.с Ь з!и ей (1) Пусть л(Г)+ Х(р). Тогда, применив правило об наображении про- К задаче 19.1. взводных и учтя, что ха=Ха=О, запишем уравнение (1) в изображениях по Лапласу (см.
также табл. 1, строку 6)'. (ра+ 2ри+ ла) Х(р) й —, (2) отсюда сразу находнтся изображание искомого решения Ьв (Ла„~ и )(ра+2ир ) аг) ' Чтобы осуществить переход от изображения к орнгнналу, разложим дробь, стоящую в правой части равенства (3) на простейшие дроби, Рассмотрим чаше всего встречающийся на практике случай малого сопротивления л с;/г. Тогда корни квадратного трехчлена в знаменателе будут комплексными и можно записать: Ьм Ар+В Ср+ !1 вчммтгвги зт ~~ ~ч-и~~.~ (4) где А, В, С и !)-постоянные, подлежащие определению. 362 пеРЕхОДННЕ ПРОЦессы н пРеОВРАЗОЕАННЕ ЛАПЛАСА (ГЛ.
х1Х На основании равенства (4) можем записать Ив (Ар+ В) (ря+ 2пр+ «а)+ (ср+ Б) (ра+ во), илн Ив (А+С) ро+(2пА+ В+ Р) р'+(«аА+ 2ЛВ+вЯС) р+ + «аВ+ вЯР. (6) Приравняв в обеих частях этого тождества коэффициенты прн одинаковых степенях р, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов А, В, С и Р: рз: А + С=О, ра: 2ЛА+ В+ Р=О, р: «ЯА + 2ЛВ + вЯС = О, ро: «'В+ вЧ) = в«. Решив эту систему, найдем 2пвл 4пово+(Ао — во)о вл (Ао — оФ) 4Жоо+ (А~ — во)~ ' Р вл (во + 4пл Ао! 4пово+(Ао — во)о ' (6) Тогда, исходя из (3) и (4), можно записать вл ( 2 яр Ао — во (р) 4~ов~+(А~ — во)~ ) р~+~м р +во 2пр во+ ало — Ао ) р'+йпр+А' + до+2 р+А')' 7 Имея в виду воспользоваться таблицей изображений, преобразуеи полученное выражение х(р)- Р 4пово+(Ао — во)о 1 р~+во по+во 1(«а — во) —, — 2пв —, + в Р' А~ — п' р+и +( + )р' пя (р+и)'+Ао — по+ (р-).п)+Ао — по1 (3) С помощью таблицы взображений и теоремы смещения находим искомый оригинал 4' о(( ) з + А +е "'~(во+ 2п' — «') в а)п)/« — по а-)- + 2шо соа У «Я — па ф.
(9) ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Полученное решение можно представить в более компактной форме, если учесть, что Аз!пы!+Всозюг=~ Аз+Из!п(ыт+<р), В и где !а/р= —, причем 0(ф< — прн А>0, В) О, — <ар<и при А<0, В>0, п<фа — и при А(0 н В<0, 3 — и~ар(2н прн А~О и В О. 3 2 Имеем и-~~<~а. ~р~Уазлт7~ — "т ~ 1 ~4.71 '- + е а/ (ма+ 2ла — ла)а -!- 4ла (да — па) з!и (РР— ла !+ 6)1, Уаа — ла где 2лы 2Л )/ аа — ла нли после упрощений — а (Уа ~~-а!1.
Рч Второе слагаемое в квадратных скобках убывает с возрастанием времени й Оно описывает переходный пропесс з системе, т. е, свободные затухающие колебания. Первое слагаемое дает установившееся движение системы — вынужденные гармонические колебания с частотой, равной частоте возмущающей силы, При отсутствии сопротивления следует положить з формуле (9) и* О.
Тогда получен л(!)=~, „а!а!пыг- а з!Ей!). Ь / ы (Оа) Рассмотрим явление резонанса. Прн отсутствии сопротивления (л* 0) изображение (7) принимает вид (12) При резонансе, если положить ы ° л, правая часть превращается в неопределенность вида О/О, Пользуясь правилом Лопнталя, получим ыа а! / ! А(р)= —. ~...),, (!3) ! (,) л 1ла+ыа Р +аа~ ( '+ т яы 12 М Н,затаяла.,мты 334 пеРЕХОДНЫЕ ПРОЦеССЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИе ЛАПЛАСА 1ГЛ. х!Х нлн Итак, при резонансе х — ~ — з!п ы! — ! соз ы!). А!1 2А ~ А (! 6) Второй член в скобках с течением времени неограниченно возрастает по модулю, что и свидетельствует о наличии резонанса. Задача 19.2, В условиях предыдущей задачи определить движе.
нне, если возмущающее воздействие представляет собой единичный скачок. Решение. Дифференциальное уравнение движения имеет вид У+ 2лх+ лах лпа (Г). (1) 1 Поскольку начальные условия нулевые, а па(!) - —, то уравнение (1) в изображениях запишется так: (ра+2лр+Аа) Х(р) = —, Х =й ° ! (р) р (ра-(-2ир+ Аа) ' (2) откуда (3) Считая, как и ранее и с:л, разложим дробь, стоящую в правой части равенства (3), на простейшие.
Имеем А Вр+С р/ +2~.~.~) г ~ ттз д~~' (4) откуда 1 А (р'+ 2лр+ за)+ (Вр+С)р. (б) Для определения ненззестных А, В и С применим метод частных значений. Положив в тождестве (б) Р=О, получим 1 Айа и А ! Аа' Х(Р)= ' а+ а)а = Ра(Р)'Рь(Р) (14) Находим для каждого сомножителя изобрзжения оригинал по табл. 1 рт (Р) =, -!» ! з!и ыГ, 2эр (да+ м'р 6 1 Рв (Р) = — ' — + —. 2 р 2' По теореме свертывания находим оригинал рт(Р)'~а(Р) 2— а а ~ 2 2р(ра+ма)з ' ) 2 — ! — А1п ы! — Г соа ый, Ь /! 2э (я (13) первходныв пзоцяссы Значения р = 1 н р = — 1 дают еше два уравнения 1 =А(1+2л+йв)+В+С, 1 =А(1 — 2п+йв)+ — С.
Подставив сюда найденное значение для А после упрощении найдем В+С= —— 1+ 2л йа 1 — 2л  — С йа отсюда 1 2л В= — — С = — —. йв ' йв' Теперь равенство (3) можно переписать в виде й г'1 р+2л х(р)=й— ,~ ~— —,, +„). (3) Выделив в знаменателе второй дроби полный квадрат, после преобразования получим а~1 р+л л )ай~ — лв йв ( р (р+л)в+йв — лв ь'йз лэ (р+л)в+йв — лв~' С помощью таблицы иэображений н теоремы смещения находам оригинал х(1) —,"1-е '(сов'у'йз-аЪ+ " в1п7И вЂ” лз~~. (3) йв, г' йа — ла Первы» член полученного решения дает установившееся движение„ т.
е. в данном случае новое положение статического равновесия системы. Второй и третий члены описывают затухающие колебания системы около этого нового положения равновесия, т. е. переходный процесс. у(6 К задаче 19.3. Задача 19.3. К массе т, подвешенной на пружине жесткостью с приложено возмущение в виде пилообразной функции периода Т (см рисунок). Найти движение системы при нулевых начальных условиях решение уравнение движения системы имеет вид тХ+ сх = У'(1) (1 12$ 336 переходные процессы и пРеовРАзОЙАние лАплАсА [гл.
х!я Перейдя в этом уравнении от оригиналов к нзображенияы с учетом начальных условии и езображенея пилообразнон функции (см. табл. 2), получим 1 Те ! е+ехо!=~[ — — — — д.]. Т р* р(1 — е о )е (2) Обозначив, как обычно, с/ш=аз, нандем иэ (2) нзображение иско- мов функции х(р) Те — ет лет(Р («о+Аз) р(«о+АР)(! — е ег)1 (3) Чтобы перейтн к оригиналу, разложим выражение, стоящее в квадратных скобках, на простевшие дроби. В данном случае это проще всего сделать с помощью несложного искусственного приема. Имеем 1 Ао 1 «о+Аз — ро ! !1 ро [«о+Аз! Ао ' «о(ро+Ао! $Г ро[ро+Ао) Ао[ро ро [ Ао) и Т,-ег Т Ао -ег р(р'+А)(1 — е е ) Ао р(«о+Аз) 1 — е е ТР+А — Р е Е Т[[1 Р !! е Ао р(ро ! Ао) 1 е ег оеар Ро ["Ао!1 е Подставив найденные разложения в выражение (3), получим х(р)- — '~~ — — —,~~+ — '~~ — — — ) — '.
«) „,Тао ~ро Ро.[ Ае[ юао ~ро ! Ао Р 1 Заметив, что -рг ~ е — рг+е — орг ] е — зрг ] . о (! Т) 1 — е + по (Ф вЂ” 2 Т) + и, ([ — ЗТ) +. „ и воспользовавшись таблицей изображение, нараем искомыв оригинал х(Г)= — ТА,(лг-з[плг)++о]соза(à — Т) оо(г — Т)+ +соя[о(! — 2Т)оо(Г-2Т)+.*.+по(г — Т)-по([-2Т)-" ] (б) Как видно из полученного решения, на член л[, неограниченно возрастающий с течением времени, накладываются различного вида колебания.
Задача !9.4. Найти закон движения грува массы т, если коэффициент жесткости пружины с. На грув, кроме того, действует сила Р=!Ро[созвф В начальные момент времена грув был прикреплен к концу нерастянутой пружины и его скорость равнялась нулю, 33У пе входные процессы Переходим к ивображенням, учитывая нулевые начальные условия: р/роХ(р)+ сХ(р) Ео ", о(,а ( а)а' Ив этого уравнения находим "о ра — ва са „а~~„( с )' (3) Чтобы осуществить переход от ивображения к оригиналу, разложим дробь, стоящую в правой части равенства (3) на простейшие дроби ра — ва Ар+В Ср+0 Ер+Н (4) (, с ) ра+ва (ра+ва)а с ' Здесь А, В, С, В, Е, Н вЂ” неиввестные коэффиниенты.
Для нх нахож- дения приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем в левой и правой частях тождества (4) коэффициенты прн одинако. вых степенях р: А+В=о, В+Н О, А~во+ с ) + С+Е2юо = О, В ~во + с ) + О+ Н2гоо = 1, Аво~ +Со +Ево О ла ла В ос+()с ла ла Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, найдем А=С Е О,  — Н* с/ла+ ва 2ва В=- —. (В) (с/ал ва)а а с/ал ва ' Внеся эти вначения коэффипиентов в равенство (3), имеем ра ( с/ла+в~ ! 2оаа ю ~(с/в-яФ'р~+в* (с/ю ва)(ра4.во)а— н (с/ла-ва)а рэ~-с~иЕ Р е ш е н н е. Составим дифференциальное уравнение движения груэа л/У+ сх Вот сов вд (() 358 переходные псопвссы и пэвоввлзовлннв ллпллсл 1гл, хгл Переходя от изображений к оригиналам, получаем рь Г с/т+вь ь1а в/ 2вь ь!а в/ — и/ссьв/ т 1(с/т — вьр в с/т — вь 2вь (с/т+вь) Ып )/с/т/ ) (с/т — вь)ь ) ~с/т После приведения подобных членов находим закон движения груза х (/) = — ып в1-)- — '1 сов вгв 2тсьв г'ь(с+твь) ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
