1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Так, изохронность, т. е. независимость частоты линейных колебаний маятника от начальных условий движения, отсутствует в случае нелинейных колебаний. Амплитуда линейных вынужденных колебаний при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости, являющаяся однозначной непрерывной функцией коэффициента рассгройки, изменяется скачкообрззно в случае нелинейных вынужденных колебаний (явление «скачкаь).
Природу автоколебаний невозможно объяснить с помощью приближенных линеариаованных дифференциальных уравнений. В связи с отсутствием общих методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений за последнее время были разработаны и получили широкое применение приближенные аналитические и графические методы. Рассмотрим некоторые примеры нелинейных материальных систем, т. е. систем, движение которых описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ Обычно приближенно считают, что модуль силы упругости изме.
няется по закону Гука, т. е. по линейному закону в зависимости от смещения Ь (см, штриховую прямую на рис. 20.!). Это предположение приводит к линейному дифференциальному уравнению свободных колебаний Вместе с тем законом Гука можно приближенно пользоваться лишь в определенных пределах. »' ряда материалов, например у резины н кожи, сила упругости растет быстрее, чем по линейному закону (см. кривую / — / на рис. 20.1), Соответствующая 'г характеристика изменения силы упругости / называется «акеслгхой». У некоторых материалов, например у чугуна, сила упру- й гости растет медленнее, чем по линейному «7 закону (см. кривую 2 — 2 на рис.
20.1). В зтнх случаях характеристика называется / «мягкой». / «Жесткой» характеристике соответствует проекция силы упругости !с = — стх- саха — с,.т' —..., а «мягкой» Е = — с,х+сах'+ с»лл+..., где с,: О Рвс, 20.1. и сз'~ О. Если в дифференциальное уравнение движения /ЛУ=Р» подставить зги значения Е», то, приняв обозначения на=с«!/и, у=с«//ч, р=с,//н, получим нелинейное дифференциальное уравнение; в случае «жесткой» характеристики силы упругости У+йах+ух'+рха+...=0 (у «0).
а в случае «мягкой» характеристики У+ лах — уха — рха —... = 0 (у.«0), т. е«вообще говоря, У+Дх) = О, где у(х)- некоторая нелинейная функция х, Примером нелинейной системы валяется также маятник. Напомним, что дифференциальное уравнение колебаний маятника имеет вид /р+ла а1пф=О. Считая колебания малыми, заменяют з!пф на ф и затем приближенно интегрируют линейное дифференциальное уравнение ф+Ааф = О. При учете влияния нелинейности надо в разложении а!Ею = гр — — + — '- — +... т» чд Ф й! б! 7! 374 нклининныв колввання [гл хх удержать несколько первых членов (не менее двух). Так, приближенное нелинейное дифференциальное уравнение при сохранении первых трех членов разложения примет вйд ля Ла Ф+ йаф — — фз+ — ра = О.
б 120 В некоторых случаях нелинейная характеристика силы упругости оказывается линейной на отдельных участках, Иа рис. 20.2, а изображена в плане система с ааворами. При движении груза А в гра- ницах зазора ЛЖ сила упругости гг я Ф отсутствует, За пределами зазора груз контактируег с правой или левой пружиной и появляется сила упругосун. Характеристика этой силы, являясь линейной на отдельных участках, оказывается в целом нелинейной (рис. 20.2, б). Источником нелинейности может также быть сила сопротивления движению. Тзк, проекция аэродинамической силы сопротивления приближенно изменяется по закону Й» = — ))х ~ Х 'Ь Если материальная точка массы лг совершает свободные коРнс.
20,2. лебания под действием силы упру- гости (Р„= — сх) и силы сопротивления (Й„ = — ~)Х ~х !), то нелинейное дифференциальное уравнемие движения имеет вид У+рХ~.Ф~+йах=0, где р=~Ьи, ла с/ль Движение в автоколебательных системах (т. е. системах, совершающих незатухающие колебания, которые не зависят от начальных условий, см. задачи 20,24, 20,2б, 20.26) описывается нелинейными дифференциальными уравнениями вида У+ г" (л)+ лам = О, У+х ~р(х)+йах=О, где у(Х) н ф (л) †нелинейн функции х и л.
Многим электрическим и электромеханическим системам соответствуют нелинейные дифференциальные уравнения. Так, для электронной лампы-глрпода зависимость анодного тока г, от напряжения и на сетке лампы является нелинейной. Также зависимость тока ~ от магнитного потока ф электрической цепи, которая в первом прибли~ женин считается линейной, при более точных расчетах принимается равной ~ а<р — рура, где ст и ~) †положительн постоянные. Подоб- эя своводнып колввания нвлинеиных систем 878 ным влектрнческвм цепям соответствуют нелинейные днфференцнальмые уравнения. В втой главе рассмотрены нелинейные колебания материальных систем с одной степенью свободы.
В Я. Свободные колебаняя нелинейных систем (аналнтнческне методы) 1'. Метод поэтапного интегрирования (метод прнпасовывания). Нередко встречаются нелинейные системы, яэляющвеся линейными на отдельных участках. Это, например, имеет место в случаях, когда характеристика снлы упругости оказывается составленной нз нескольких прямолннеяных отрезков.
Здесь можно получать точное решение на каждом участке, проведя интегрирование поэтапно. Для этого период колебаний надо разбить на части, каждая нз которых соответствует прямолннейному участку характеристики силы упругости. На каждом этапе дифференциальное уравнение является линейным, н его ннтегрнрованне не представляет затруднений. Зная начальные условия движения, можно проннтегрнровать уравненне на первом этапе н определить обобщенную координату, а также обобщенную скорость в конечный момент времени. Этн конечные вначенвя координаты н скорости одновременно являются начальными для следующего в второго этапа.
Поэтому, проведя интегрирование лннеяного дифференциального уравнения, соответствующего второму этапу, надо в качестве начальных условий движения использовать конечные значения координаты н скоростн первого этапа. Этот прием следует распространять на все этапы. В итоге нелинейные свободные колебания описываются несколькими линейными уравнениями, число которых равно числу линейных этапов. (Метод поэтапного интегрирования иногда называется методом припасовывапал нля методом стыковки *)) Задача 20.1.
На рнс. а изображен груз А массы т, который под действием двух пружин может двигаться в прямолннейных направляющих. Коэффициенты жесткости правой н левой пружин, не прикрепленных к грузу, соответственно равны ст н сэ В начальный момент груз находился в крайнем нравом положении, определенном координатой м =сев.л О, я был отпущен без начальной скорости. В положении равновесия 0 пружины не напряжены.
Написать уравнение движения груза н найти период его свободных колебаний, считая, что силы упругости пружнн подчиняются закону Гука. ') Вообще методом поэтапного ватегрвровавня можно пользоваться в тех случаях, когда нелянейные дафферевцяальвые уравнения ввтегрвруются вв отдельвйх участках. 376 нклннинныи колииання 1гл. хл Р е ш е н н ц В положении равновесия О пружины не напряжены и с грузом пе скреплены.
Поэтому при движении грува направо от нуля к нему приложена сила упругости одной правой пружины, а при движении налево от нуля — одной левой пружины. Эта нелинейная система оказывается линейной на отдельных агапах, ибо прн х=О имеем с О, при х)0 имеем с=с,=сопз1, прн х с 0 имеем с =с,= сопа1. Поэтому характе- ристика силы упругости оказывается составленной из двух прямолинейных отрезков (рис.
б). Разобьем период колебаний на четыре этапа, соответствующие движению груза: 1) под действием правой пружины из крайнего правого положения в нулевое; 2) под действием левой пружины из нулевого положения в крайнее левое; 3) под действием левой пружины из к айнего левого положения в н левою р у К задаче 20.1. 4) под действием правой пружины из нулевого в крайнее правое положение.
Рассмотрим движение на первом этапе из крайнего правого положения в нулевое. движение описывается дифференциальным уравнением: льУ= — с,х, т, е. .2+ й1х О, (1) где обозначено л1 =са7ль Общее. решение линейного уравнения (1) имеет вид х=Ст созйг1+Саа1п)гаг. (2) Вычислим производную по времени: У= -Стйга(пйтт+Сайтсоайхй (3) Согласно условию в начальный момент, т. е. при Ф = О, имеем х = х, х О. Подставив эти значения в уравнения (2) и (3) и решив их относительно Са и С„ получим Сд — — х„ С, = О.
Внеся эти значения и уравнения (2) и (3), найдем закон движения груза под действием правой пружины ив крайнего правого положения в пулевою х х,совй,г, (4) .Ф вЂ” Ааха а1п Ахг. (б) Движению груза, описмваемому уравнением (4), соответствует промежуток времени Ом=т~тм где т,— пока неизвестный момент времени, соответствующий приходу груза в нулевое положениц СБОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ 822 Для нахождения координаты и проекции скорости в конце первого этапа подставим в уравнение (4) ! =ть х = х(та) О, а а (б» 1= тп У .Ф(тт), где .Ф(т,) пока неизвестно.
Получим 0 = ха соа й,ть 2(тт) — лтха а!п лтт . Ив первого уравнения (6) найдем лата и/2, т, е. тт — — —, за4 ' ВнесЯ это значение тт во втоРое УРавнение (6), полУчим х (тт) = — лтха. Итак, в момент тд окончания первого этапа, т. е, в момент прихода груза в нулевое положение, т, е. при Ф= гт=п/2йп имеем х = х (та) = О, Е .Ф (т!) = — йтха. (8) Эти значения для х и х являются начальными при движении груза на втором этапе под действием левой пружины из нулевого положения в крайнее левое. Для упрощения последующих вычислений будем теперь отсчитывать время с момента начала второго этапа. Поэтому, использовав результаты (8), запишем начальные условия для второго этапа: 1=0, х=О, У вЂ” дахау (О) Движение на втором этапе описывается дифференциальным уравнением шУ= — сях, т.
е. У+ л$х = О, (1О) где обозначено й! ся/и. Общее рещение линейного уравнения (10) имеет вид х = Са соз лат+ С4 з!и дай (1 !) Вычислим производную по времени: х=* — Сала а1п йа!+Сала соа йа!. (12) Подставив в уравнения (11) и (12) начальные условия (9), найдем С, О, С4 — — ха. Внеся эти значения Са и С4 в (11), полу- АТ чим уравнение х = — — ха а!и дав, ат аа (1З) описывающее движение грува на втором этапе под действием левой пружины из нулевого положения в крайнее левое. Это движение происходит в промежутке времени 0~1~я„где та — пока неизвестный момент времени, соответствующий приходу груза в крайнее левое положение.
Вычислим проекцию скорости грува на втором этапе, взяв производную (13) по времени: 4! = — ААХа СОЗ вас. 878 НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ !гл. хх Для определения х и х в конце второго этапа, т, е. в момент т„ подставим в (13) 1=т„х=х(та), а в (14) Ю=ъм дг=х(та)=0. Получим лд х (та) = —" ха з!и Аята, О = — йдха соа /гата. (15) ад Из второго уравнения (16) найдем /дата=И/2, т. е.
(! 6) Подстановка етого значения т, в первое уравнение (16) дает х(та) — — х,. Итак, в момент т, окончания второго этапа, т. е. ад а в момент прихода груза в крайнее левое положение, т. е. при !=та —— и/2йа, его координата и проекция скорости равны л х = х (та) = — — х,„х = х (та) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
