1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Подставив (10) и (11) в первое уравнение (3), получим искомый вакон движения в виде Эа) вынэ)кдкннын колявання ннлинниных снстиы 397 $3. Вынужденные колебакии нелинейных систем (аналитические методы) 1'. М е т о д и о з т а п н о г о и н т е г р и р о я Ф н и я. В п. 1' $2 был рассмотрен метод поэтапного интегрирования в применения к свободным колебаниям нелинейных систем. Этим методом можно также пользоваться при исследовании вынужденных колебаний неляней« ных систем в случаях, когда карактернстнка силы упругости нли силы сопротивления составлена вз несколькик прямолинейных отрезков «).
Решение задач сводится к интегрированию линейных дифференциальных уравнений, соответствукицих прямолинейным участкам характеристики силы. При этом должны выполняться условия сопряжения уравнений; конечные условия движения на данном этапе должны быть равны соответствующим начальным условиям движения на следующем этапс В ятоге вынужденные нелинейные колебания описываются системой уравнений, число которых равно числу прямолинейных отреаков характеристики силы упругости. Прнмененне метода поэтапного интегрирования к задачам на вынужденнме колебания оказывается более сложным по сравнению с применением к соответствукяцим задачам на свободные колебания.
При этом приходнтся решать довольно громоздкие трансцендентные уравнения Задачи 20.7ее). Вал, жестко заделанный одним концом н несущий на другом свободном крнце массу с моментом инерции 1„где я — ось симметрии вала, совершает крутильные колебания. Н массе приложен возмущающий момент, изменяющийся по гармоническому закону с круговой частотой ы. Наибольшая величина возмущающего момента равна Мо Н валу подключен фрикционпый демпфер (поглотнтель) крутильных колебаний. Демпфер создает момент сил сопротивления, прямо пропорциональный углу поворота вала. Суммарная, так называемая «треугольная» характеристика изменения момента снл упругости вала и момента сил сопротивления демпфера изображена на рисунке.
При повороте колеблющейся системы из положения равновесия оба момента, имея одинаковый знак, складываются (ветвь сз), а при ее возвращении в положение равновесия этн моменты, имея разные знаки, вычитаются (ветвь сз). При этом происходит разрыв характеристики и уменьшение суммарного момента на величину (сз — са)~ро, где фо — максимальное значение ф, а га и сз-коэффициенты упругости, соответствующие верхней ') Вообще методом по«тонного интегрирования можно пользоваться в случаях, когда нелинейное хифференииальноа уравнение интегрируется на отдельных участкая. ««) М. И, Бать, Вынужденные колебания в системе о гвстерезнсом, ПММ, Новая серия, том 1т', вып. 2, 1940.
нилннипныи коливьнии 1гл. хй и нижней ветвям характеристики. При повороте колеблющейся системы в другую сторону от положения равновесия суммарная характеристика получается аналогичной, В результате образуется гистерезисная петля в виде двух равных треугольников с обшей вершиной и сторонами, служащими продолжением одна другой.
Сумма площадей зтих тре угольников равна численному значению работы, поглощенной аа один период с» колебаний. (Подобная чтреугольная» ха- й 1 рактеристика имеет также место у листо. ст У вых рессор железнодорожных вагонов.) В случае отсутствия демпфера характерис- I тика изменения момента сил упругости л вала была бы прямой (см. штриховую линию на рисунке) с коэффициентом уп.
мз ругости с= — (с»+с»), 1 2 Найти уравнение крутнльных колебаний, считая, что они совершаются по периодическому закону о круговой частотой ы, равной круговой частоте возмущающего момента. Р е ш е н и е. Суммарная нелинейная атреугольная» характеристика моментов сил упругости н сопротивления является на отдельных участках линейной. Поэтому для исследования данной нелинейной системы целесообразно применить метод поэтапного интегрирования, разбив период колебаний Т=2п~ю на четыре этапа: 1) поворот нз ненапряженного-нулевого — положения в крайнее положение †прот хода часовой стрелка, 2) возвращение из крайнего в нулевое положение, 3) поворот из нулевого положения з другое крайнее положение — по ходу часовой стрелки и 4) возврапгение из крайнего в нулевое положение.
«Треугольная» характеристика симметрична относительно полупернодк Поэтому первый и второй этзпы происходят ва первый полупериод Т(2 = и/ы, а второй и третий этапы — за второй полупериод и/ю. Поворот из нулевого положения в крайнее происходит при коэффициенте сь а возвращение в нулевое положение-прн сэ причем сй » сэ Поэтому продолжительность отклонения из нулевого положения в крайнее не равна продолжительности возврата нз крайнего положения в нулевое.
Обозначям через с пока неизвестную продолжительность отклонения из нулевого положения в крайнее, В связи с, этим этапы будут происходить в следующие промежутки времени 1) О~г~т, 2) т~Г~ — „", 3) — и 1~ — +'г, 4) — +гч=т» —. и и и 2и Э и Ф О и Р з1 вын»ткдвнныи колавания нклннннных систци 999 При наличии момента еил сопротивления имеет место отставание по фазе движения от возмущающего момента. Поэтому считая, что в начальный момент, т.
е. прн 1=0, угол поворота равен нулю <р = О, введем некоторое опережение движения возмущающим моментом по фазе и обоаначнм его гар, где 1) пока неизвестно. В связи с этим запишем воамущающий момент в виде М =Моз1п«а(«+11). /,Ф~ = — с.<~.+Ма з1п ю (/+ й, Фт+ ЬЬ = ш» з1п ю (1+ Р)э т. е. где обозначено и,'= сь// та = М,//,. Движение на втором этапе — из крайнего положения в нулевое при я~1~и/ы соответствует нижней ветви са «треугольной» характеристики и описывается дифференциальным уравнением /»фа = - сафа+ М» з1п ю (г+ ()), т.
е. фа+ А«ф» = ша з1п «а (1+ ф), (2) где обозначено ля=с»//„ш»=М«/1,. Третьему этапу соответствует дифференциальное уравнение (1), а четвертому — уравнение (2).. Общие решения дифференциальных уравнений (1) и (2) имеют вид ф»=Сасозйтг+Сзз1пй»Г+„, ~, з1па(т+р), ( — ' <ра = Са соз й»Г+ Са з1п Аа8+ —, з1п е (1+ ))) (3) (4) Случаи /гт=га н лз ы ниже не рассматриваются. Для определения шести неизвестных: четырех постоянных ннтегрвроваиия С» фѻ, С, а также т я 1) воспользуемся начальными и конечными условиями движения на отдельных этапах, а также условиями сопрюкения. Взяв производные функций (3) и (4) по времени, запишем ф, = — Стйаз1п л,/+ С»лт сов /гте+,~, созга (1+ р), (б) ( — ~' фа= — Сала з1п л«/+ С«/га сов /га/+а,,"'"и «соз ю (1+ р).
(6) Подставим в уравнение (3) значения т О, ф. = О, в уравнение (4) значения 1 =и/а, фз = О, в уравнение (б) значения Ф= т, фа= О, Движение на первом этапе из нулевого положения в крайнее прн О -.„=Г~т соответствует верхней ветви ст «треугольной» характеристики. Дифференциальное уравнение движения имеет внд нилинвиныв колввання !гл.,хщ С! = — чЗ вЂ” — - З1П Е)), ль 1-~' Сз — — — [ — соз ю (т+ ())+ з1п Атт з1п гэ~)~, яь ! Гв а' — я «т'! А а,( — -) х [созйзтз!паф+ — "созе(Г+)))з!пйз — "1, аа Ф С,— -Ду „~ х Х [з1пдзтз1пю~- — "созе(1+(!)созй,— '1, аз и',. (7) После внесения этих значений (7) в уравнения (3) и (4) в уравнениях остаются неизвестными т и 1), для определения которых вос. пользуемся условиями сопрюкения: 1) (т)=!рз(т)! 2) Ф (О) — ф ®.
Лля применения первого условия сопрюкеиия подставим в уравнения (3) и (4) значение Г =т и приравняем их правые части Сз соз Азт+ Сз з1п Агт+ —,'"' з1п гэ (т+ р) )— Сзсозй,т+С,з!пЦс+ —,з1пе(т+Р). (8) )зля использования второго условия сопряжения подставим в уравнение (б) значение 1* О, в уравнение (6) значение й = и/гэ и приравияем их правые части, предварительно поменяв в (6) знаки на обратные. Получим Сзя,+ — созе() = ИцЮЭ «! — и" Сзйзз1пдз — „-,С,й,созна — „+ а „, созюР, (9) и и ячм Заметим, что в уравнениях (8) и (9) постоянные интегрирования С„ Сз, Св Са определяются по формулам (7), в уравнение (6) значения т з, фз — — О.
Решив полученную систему уравнений, найдем а а1 иынаждинньги колпи«пня нилннпппых систем 401 После ряда несложных преобразований уравнения (8) и (9) принимают впд <(61а ет — В)<'р свет (10) й 1 А — В 'г<р мает — К совет 1йа(1= С ° (11) -:т= — А Ып ет РР где приняты обозначения еа «Й гт р «г< Ч~ — ~ — ° Э А 1 1 1 " 1 à — 1-р ' с<м ~ Чет (и ет) Р РР В= .10 Р~.Ч + 19 („), 1 -/ 1 1 $%(а-Р) ' ~ р 1-Р Ур с — <аг' — <.— «<- <, «< .г —, 1— а-,р р 1-р 1 р (ч-р)(1 — р) Иа системы трансцендентных уравнений (10) и (11) мо~кно найти искомые значения т и 1йв() дла фиксированной пары значений р и о, т. е.
для заданного соотношения ввиду с„с, и а. Решив вту систему уравнений, Например, графически, найдем 1ив(1 и вт. Напом- ним, что через т обозначен промежуток времени отклонения от нуле- вого положения в крайиее. Поатому вт-ато фаза, т. е. угол, соот- ветствующий момеиту т. В связи с втим величину ат будем впредь называть чуглом Наибольшего отклонения». Для определения 1йв(1 и вг используем декартовы оси координат.
На оси абсцисс будем откладывать значения аг, а на оси ордвиат — величины 1иа(1. Задавая ряа аиачеиий ат и определяя по (10) и (11) соотаетствуюшие зна- чения 1даф строим по точкам кривые 1И В(1 Л(ат), 1д В(1 ~а(ат), соответствуюшие уравнениям (10) и (11). координаты точки пересе- чения втих кривых фиксируют искомые значения ат и 1иа(1. Внеся их в уравнения (В) и (4), получим искомый яаков крутильных коле. бакай Для определения угловой амплитуды колебаний <ра можно вос.
пользоваться любым иа втих уравнений, ибо при Г=т мы имеем <рт <ра <ре Например, иа уравнения (3) получим <Ра Са сов «тт+ Са а1п «ат+~г'-'ч — )г а1п в (т+ ()), (12) < причем вг и а(1 определены в результате графического решения системы трансцендентных уравнений (1О) и (11), а Са и Са-форму- лами (7Л 402 !гл.
хц нвлинеимыв колевания На практике крутнльные колебания валов часто происходят прн величине вг, пРопоРциональной ва. ПоэтомУ бУдем считать гпа=аыа, где и — некоторый положительный постоянный коэффициент. В этом случае формула (12) примет ввд ор 1 / Ф вЂ” Р' .Гд саа ~ — мт Х~з!Пэр+1 — 3!и а — ют сов ю(т+!т)+5!Пи (г+(!)1, (13) где р = ьУ/Ц, д = й,'(йа с!/сэ Как следует ив анализа формулы (13), по мере увеличения р, т. ц момента сил сопротивлениц амплитуда колебаний щ убывает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
