1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Введя обозначения аз =х н приравняв у левую и правую части уравнения (11), Получаем у ( — „) — ~[1 — ® 1 +4(а) (л) )», 3 7 ~1 (р)а~ з+ 9 (7)з„, Затем в системе осей лу строим по точкам кривую, соответствующую второму уравнению (12), а также проводим прямую, описанную первым уравнением (12) Абсциссы точек их пересечения фиксируют искомые значения ж= аз. Прн построении кривой и прямой надо сохранять постоянными параметры Ь, Ь, а, у и изменять величину отношения р/Ь.
Прн атом окюкется, что определенной области значений р/Ь соответствует одна точка пересечения прямой и кривой, некоторому одному значению р/Ь отвечают две точки пересечения, наквнеп, остальной области значений р/Ь соответствуют трн точки 4а1 вынзждинныи колявлння нилннипных снстим 413 сс = — агса1п — ° 2аял Ь (13) Знак минус в формуле (13) указывает на отставание по фазе вынужденных колебаний от возмущающего момента Использовав формулу (13) в уравнении (3), запишем искомый закон вынужденных колебаний: ср -*а 51п()сг асса!п яаар 1 где амплитуда а является корнем уравнения (11), решенного графически. В заключение заметим, что при отсутствии нелинейности, т. е. при у= 0 из уравнения (10) получим известный результат Ь $'а'=асячсу" 4'.
Вар иационный метод (метод Бубнова — Галер» кина). Рассмотрим нелинейные вынужденные колебания материальной системы с одной степенью свободы, описываемые дифференциальным уравнением в форме Лагранжа дТ дТ вЂ” — — — — Я=О, дс дд дд где Т вЂ” кинетическая энергия материальной системы, су-обобщенная координата, Я -обобщенная сила, имеющая период 2п/р. Применение интегрального принципа Гамяльтона — Остроградского с (ВТ+ВА) бс 0 с пересечения. 1(ля уяснения вышесказанного рекомендуем ознакомиться с графическим решением уравнении (14), подробно описанном в решения задачи 20,8 (см.
стр. 407 †4) и с графикем ~ аа) *У(р/А), построенным на рис. б задачи 20.8 для случая аналогичного движения, но при отсутствии силы сопротивления, Выполнив в данной заваче графическое решение уравнения (11), получим зависимость ) а ! у'(р/А) для фиксированного значения л. Вели же провести ряд графических решений уравнения (11) при разных значениях л, то можно получить семейство кривых ( а ! * г'(р/л), каждая иэ которых соответствует определенной величине параметра л, карактеризующего момент силы сопротивления. Эти кривые нзобра= жены штриховыми линиями на рис.
б задачи 20,8, В данном случае также имеет место явление «скачкаь, описанного в задаче 20.8. Зная величину а амплитуды, найдем иэ первого уравнения (9) соответствующее значение начальной фазы сс„являющейся сдвигом между фазамн возмущающего момента и вынужденных колебаний. Получим 414 НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕВАНИЯ является одним из наиболее распространенных приближенных мего. дов отыскания периодического решения данного дифференциального уравнения. Интегральным принципом следует пользоваться в виде б+вч/р ~ — — - — ()) бд б1-О.
I св дТ дТ ~дс дд дй (3 ) В качестве движения, сравниваемого с искомым периодическим движением, обычно выбираются периодические движения того же периода 2п(р. Так, если при отсутствии силы сопротивления возмущающая сила ивменяется по закону ств1прг, то искомое приближеннов решение ищется в виде ,у=атз1прг+азв1п Зр1+авв1пбрс+.„с (4Р) где параметры ап а, ав, ... подлежат последузицему определению. Подставив это значение а, а также его вариацию ба ба1 в1п рг+ баз в1п Зрс+ бав в1п брг+ „, в уравнение (Зр), получим /~+ар/р с, +вя/р баз ~ Ф в1прг Ю+ бав ~ Ф з1п Зф с/С+ с, с, сз+вя/р +ба ~ Фв1пбр/+... О, где буквой Ф обозначен результат подстановки а (4р) в выражение и дТ дТ вЂ” — — — -Я.
с/С дс) да Учитывая невависимость вариаций ба„баэ ба„... получим сис- тему уравнений /1+ар/р с, +зя/р Ф в1пр/с(1=0, ( Фв1ЕЗрС/(1=О с, с, 6+таю Фв1пбр1Ж=О, „„ с, Решив эту систему уравнений, определим аи аэ а, ... и, следо- вательно, преблеженный взкон движения 4/ ав в1п рс+ аз вШ Зрс+ ав в1и бр1+... В первом приближении можно искать решение в виде а а,з1прс, последовательно добавляя зо втором, третьем и последующих при- ближениях члены ряда (4Р).
По мере уточнения решения, т. е прн переходе от первого приближения ко второму, от второго к третьему Э а) еынуждехние колевхння нелннепных систем 416 и т. д., объем вычислений резко возрастает. Вместе с тем уже первое приближение обычно приводит к достаточно точным результатам. Поэтому часто цри решении нелинейных задач взриацнонным методом огранячиваются перзым приближением. Заметны, что использование метода Бубнова †Галерки не свявано с малой нелинейностью системы (например, с малостью параметра р).
Это обстоятельство вначительно расширяет рамки его применения. Решать задачи на вынужденные колебания нелинейныл систем варн ацнонным методом Бубнова Галеркина рекомендуется в следующей последовательности: 1) составить дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, перенеся в его левую честь все члены, отличные от нуля, т. в. д дТ дТ вЂ” — — — Я=О дс дд дз ! (в частных случаях получаем шУ вЂ” ~, 'Р„„= О, 1,гр — 'Я рс, (Г') = О и т. сь)1 2) выбрать уравнение искомого периодического решения су=д(Г), которое должно иметь круговую частоту р, равную круговой частоте возмущающей силы (возмущающего момента).
Это уравнение содержит неизвестные параметры; 3) вычислить вариацию бп искомого решения д = су(С). Эта вариация оказывается выраженной в зависимости от вариаций неизвестных параметров; 4) подставив искомое решение о н его вариацию 64 в уравнение с,+зшр С сс дТ дТ вЂ” — — амбра-о, 1 дс д4 дд представить его левую часть в виде суммы произведений независимых варизцнй параметров на некоторые коэффициенты; б) приравняв нулю все коэффициенты, упомянутые в предыдущем пункте, составить систему уравнений в числе, равном числу вариаций параметров; б) вычислив интегралы, стоящие в составленной системе уравнений, алгебраическн решить эту систему и определить неизвестные параметры; 7) подставив полученные значения параметров в о = о (Г) (си, п. 2)), найти искомое приближенное решение данного дифференциаль.
ного уравнения. Задача 20.10, Ознакомившись с решением задачи 20.7 методом поэтапного интегрирования, решить ее варнационным методом Бубнова — Галеркнна. 418 нелинейные холевания ф=фта!вя(! — ~3), где фт-УгловаЯ амплитУда колебаний вала, а 1) — момент вРеменн, соответствующий неиапряженному состоянию вала, т. е. ~р =О. Пара- метры ф н !1 подлежат последующему определению. Поворот вала против хода часовой стрелки из нулевого положе- ния в крайнее соответствует ветви са «треугольной» характеристики (см.
рис. к задаче 20.7). Ои происходит в промежуток времени !) ~ т«= — + 1) н описывается дифференциальным уравнением 2м 7Д вЂ” с(р+М»з!п юг, т, е. ф + л!5р — ш«з!п юг = О, (2) где обоаначено: й) = г,!7„ т» =М«Г7 Возврат нз крайнего положения в нулевое происходит согласно ветки с, «треугольной» характеристики. Яму соответствует дифференциальное уравнение У»ф*= — саю+М»а!и ю1, ф+л$р — шаз!п ю! = О, т, е. где обозначено АЗ*=с,/т, тч Ма!7 Это движение происходит за промежуток времени в + 1! ~6 «" 2м = — „"+1 *) См. вторую «воску на стр.
397. Найти в первом приближении уравнение крутвльных колебаний вала «). Р е ш е н н е. Крутильные колебания происходят под действием возмущающего момента Мра!пай Прн решении задачи методом поэтапного интегрирования, который впредь будем нааывать точным методом, было предположено, что продолжительность т отклонения из нулевого положения в крайнее не равна продолжительности — — т возврата нз крайнего положения в нулевое. Решая задачу в первом приближении вариационным методом, предположим, что время отклонения равно времени возврата н, еле.
довательно, равно четверти периода колебаний, т. е. т=*Т~4 и!2ю. Будем также в первом приближении считать, что колебания происходят по гармоническому закону с круговой частотой ю, равной круговой частоте возмущающего момента и с отставанием по фазе на ю!) искомого закона движения от возмущающего момента М«а!п ют, т.е. Раз вынэжданнык колввзнни нвлннвнных снствм 417 Адз!ц в (1-(3) гЫ+ ~ Аз з1ц в(1 — ~3) дЫ р".;+  —,"„+  — „+В Адсоз в (1-р) дЫ+ ~ А,сов в(! — !3)вЫ ВФ+В -6!3 фд =О. (7) Затем поворот по Ходу часовой стрелки из нулевого положении в кРайнее пРоисходит по ветви сдв течение — +Рва.1~ — + 33.
н Зл и РФ Вму соответствует дифференциальное уравнение (2). Наконец, возврат иа крайнего положения в нулевое происходит по ветви сз в течение — +(3 ля:1ж:;. — + р и описывается диффеЗл йл ренциальным уравнением (3). Применив вариационный метод, вычислим вариацию функции (1): бф бдрдз1пв(1 — Щ) — 6)3 фдвсозв(1 — Щ. (4) д дт дт Выражение — — — — -Я стоящее в скобке уравнения (ЗФ) а! дз оз равное в данной задаче, на соответствующих промежутках времени, левым частЯм УРавнений (2) н (3), обозназим чеРез Ад Ф Внесем в Азл значение ф иа формулы (1): А1з =ф+41зф — вдаз1о вг вд(й) з — в) з!п в(! — 1) — «дзз1п вй (б) Кроме того, Ьу, гд и р, которые значатся в уравнении (ЗФ),,при- веденном в обзоре теории, в данной задаче равны бр Ьр (см. фор- мулу (4)), !д —— !3, р в. Поэтому уравнение (3") принимает вяд — +В л л зл зл зФ вЂ” +В Ф вЂ” +В зв — +В Ф АдЬрдЫ+ ~ Азбфй+ ) АдЬргЫ+ ~ Азб<ргЫ= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
