1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Повтому целесообразно ограничиться вычислением второго приближения. Применяя метод Ван-дер-Поля, ищем решение уравнения (5) в виде х = аез!пер* паз!п(ре+се), (1О) где ае н се†постоянные, подлежащие определению. Для отыскания ае и а составим систему уравнений Р ~а з1п еР, — ) соз еР Ыф О, Р~аз!пер, — )з!пере(еф=О, Ф АУ КРАТКИН ОВЗОР АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ЬЗУ где через Р~пв!Вф, ~:-~) обозначен результат подстановки х Р = аа1пф н т=х- — в правую часть уравнения (б), т, е.
Р Р(лз!Вф — ~) =аь(ря — ля)в!пф — (аа,'з!п'ф+ла!п(ф-а). Р После вычисления интегралов получим Ия!пи=О, (р — л ) пт+лсоасс 4 !Ап| О. Решив вту систему уравнений, найдем сс=0,1 (РЯ ла) лг+ л !Азв| 3 4 (11) Искомое решение (10) прн с|=О примет внд х=ата!Врт первого приближения (2), полученного выше методом Дуффинга.
Кубические уравнения (3) н (11), нз которых находятся ап тоже одинаковы, Итак методами Ван-дер-Поля н Дуффинга в первом приближения получены тождественные результаты, Объем вычислений примерно одинаков. Заметим, что методом Ван-дер-Поля определяется только одно приближение, в то время как методом Дуффннга можно найти н последующне. В частности, при незначительном увеличения объема вычислений находится второе приблнженне. При решения данной задачи вариацнонным методом ищем первое приближение в виде х=оьа!пр!.
Дия определения аа подставим в уравнение йв/р (2+ Дах+ рха -йа!и рс) Ьх |(1 О нг/р м|гр Ьпа ~ Йз!ЬРеа|1+Ьаа ) газ!ВЗР!|(г О. О (13) значения х а|з!Вра н Ьх=батз!прй После вычисления интегралов уравнение (12) примет вид кубических уравнений (3) н (11). Итак, применение трех методов привело к одннаковым результатам. Определение первого приближения варнацнонным методом вффективнее по сравнению с методами Дуффинга и Ван-дер.Поля. Вместе с тем уже опредеиенне второго приближения варнацнон. ным методом значительно усложняет решение зздачн. Действительно, подставив в уравнение (12) нскомый закон втоРого пРиближениЯ х =а,з!ВРГ-1-ааа!ВЗР1 н его ваРиацию Ьх = = Ьатз!пРГ+Ьа,а!п ЗРГ, гДе аа н аз подлежат послеДУюшемУ опРе.
делению, получим нялннвпныи колвваыня Здесь обозначено гс (а, (йа — р') — Ег) з!и рг+ а,(йа-йрз) з1п ЗрЕ+ ра,' айгзрЕ+ + Зца1аз з!пз рЕ з!и Зрг+ 3 цаса,' з1п рЕ з1пз ЗрЕ+ рао' з!пз ЗрЕ, Ввиду независимости вариаций бас и 6аз из уравнения (13) найдем зоГо золло Есз!прЕЮ=О, ( Еса!пзрЕг(Е=О, о о Подставив значение Й и вычислив интегралы, получим з, з а,(йз-ра)-Ег- — ра,ао+-й-р, ° ага,=О, 1 лз( ЗР ) 4 р~1+ 2 р 1~В+ 4 ра,' О. / (14) Для определения аг и а„входящих в искомый закон движения .к=а,з!прЕ+азз!пзрг, надо решить громоздкую систему кубических уравнений (14), Поэтому вычисление второго приближения вариациоиным методом нецелесообразно.
В втой задаче для второго приближения лучше воспользоваться методом Пуффннга. Вместе с тем не следует забывать, что использование вариационного метода не связано с малой нелинейностью, что значительно расширяет рамки его применения. й 5. Исследование нелинейных колебаний на фаэовой плоскости 1' О си о вньге определения. Среди раэлячных методов исследования нелинейных колебаний одним из наиболее распространенных и детально разработанных является представление движения на фаэовой плоскости илн в фазовом пространстве.
Этот метод позволяет, не интегрируя дифференциальные уравнения движения, ответить на наиболее важные вопросы, характеризующие движение системы. Это существенно, так как во многих случаях нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть проинтегрированы в замкнутом виде. Представление движения нз фазовой плоскости позволяет найти возможные состояния равновесия и определить устойчивость равно. весна системы. С помощью построения нз фазовой плоскости можно нзйти перяодические движения системы и исследовать переходные процессы к устойчивому состоянию движения в ззвисимости от различных параметров н начальных условий движеиик В тех случаях, когда нелинейные дифференцизльные уравнения могут быть проинтегрированы в замкнутой форме, представление движения на фзаовой плоскости позволяет ответить на вопросы об устойчивости возможных состояний равновесия и двнженай системы ФБ3 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИИ 499 в установить влияние различных параметров и начальных условий движения на устойчивость этих состояний.
Изучая ранее колебания материальной точки, мы строили отклонение точки от положения равновесия как функцию времени. В тех случаях, когда такие графики снимаются зксперимевтально с регистрацией намеренных отклонений на специальном проборе, они называются осциллограммами. Эти графики позволяют определять положение точки (нлн системы) в любой момент времени, однако не дают представления о зависимости скорости от координаты.
Рассмотрим положения, лежыцие в основе исследования движения системы с помощью фазозой плоскости. Дифференциальное уравнение движения пря нелинейных колебаниях системы с одной степенью свободы может быть записано в виде — +йах=ях, .Ф, г), (1~) где х, У, У-обобщенная координата системы н соответственно ее первая и вторая производные по времени, л — круговая частота системы, т-время, у — некоторая нелинейная функция указанных в скобке аргументов.
Если функция у' аависит явно от времени г, то система называется неавтономной Если же время в явном виде в функцию ~ не входит, то система называется ааюоножлой. Обоаиачив ля — =У кг э можно представить уравнение (1ь) в виде системы, состоящей из двух уравнений первого порядка: ,~ =г'(х,у, г)-й'х, ф' (й) Огрзнвчиваясь в данном пункте рассмотрением автономных систем, запишем систему (2*) в виде ~у =Р(х, у), — л 1А Ф (йь) Плоскость переменных л' и у=УлЩ где ж и у-декартоаы прямоугольные координаты, называется фазоаой плосеосяааю.
Будем полагать состояние нелинейной системы определенным, если известны в некоторый момент времени ее координата х н скорость у. Тогда каждой точке на фазовой плоскости соответствует нплнпппнып колввяния [Гл. хп одно-единственное состояние системы. Поэтому фазовую плоскость называют иногда ллогкослуью сослгоянпй, а точку на фазовой пло.
скости называют изображающей точкой. Прн изменении состояния системы изображающая точка будет перемещаться по фавовой плоскости, Траектория, которую оппшет прн этом изображающая точка, называется Щаговой траеклгорпей. Если движение системы периодическое, то фазовая траектория будет замкнутой кривой. Начало координат на фазовой плоскости, где х=О и у= О, является положением равновесия. Изменяя начальные условия движения, можно получить семейство фазовых траекторий, заполняющих фазовую плоскость.
Такая совокупность фазовых траекторий называется фагоаылт норв[реп[ел[ спсл[лмы н позволяет ответить на многие вопросы, касающиеся характера движения системы. )[ифференциальное уравнение фазовых траекторнй находится нз (3'): Ф Р(х, у) лл д (4Ф) Интегральная крнвая, отвечающая уравнению (4э), в простейших случаях является фазовой траекторией, а . в более сложных случаях соответствует нескольким фазовым траекториям.
Уравнение фазовой траектория определяет зависимость координаты от скорости движения исходной механической системы, Скорость двнження изображающей точки на фазовой плоскости называется фазовой скоростью. Модуль фазовой скорости равен (бэ) Важное значение прн исследовании движения снстемы имеют ее состояния равновесия. Снстема будет находиться в равновесии, если одновременно ее скорость йх[й[ =у и ускорение йу/йт гч(х, у) обращаются в нуль, так как в этом случае сила обращается в нуль.
Сопоставляя этн условия с выражением (бэ) для модуля фазовой скорости, замечаем, что прн равновесии системы фазовая скорость равна нулю. Через каждую точку фазовпй плоскости проходит одна фазовая траекторвя, Исключением являются точкн равновесия, называемые особымп шовхал[и. В этнх точках одновременно обращаются в нуль числитель в знаменатель уравнения (4") и, следовательно, направлепне касательной к фазовой траектории становится неопределенным. Таким образом, нарушается одно нз условий теоремы Коши об единственностп решения дифференциального уравНения (4э), Все точки фазовой плоскости, кроме особых, называют реаулярмылг[ь Поведение фазовых траекторий вблизи особой точки завнснт от параметров системы н от начальных условий движенн[ь Нанболее нсслидованни нилннииных коливанни 4'41 часто встречающиеся случаи поведения фазовых траекторий вблизи особой точки представлены на рисунках.
На рис. 20.3 представлены фазовые траектории вокруг особой точки, совпадающей с началом координат. Колебания системы являются периодическими, фазовые траектории в окрестности особой точки являются замкнутыми кривыми. Особая точка обладает областью окружения и называется в этом случае центро.н. На рис. 20А и 20.б показаны фазозые траектории в окрестности особой точки, и называемой фокусом. Точки пересечения фазовой траектория (рнс. 20А) с осями координат неогращьченно, асимптотическн и монотонно при- Рае. М.З.
Центр. ближаются к особой точке, началу координат, не достигая ее за конечное время. Колебания системы не- ограниченно затухают. Особая точка имеет область притяжения. Особая точка является устойчивым фокусом. Фазовые траектории— скручивающисся спирали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
