1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 68
Текст из файла (страница 68)
3 ав 3 а'1 3 йв 256 ав) (7) Наедем его периодическое решение ав ха= тб= (соа брг - сов рг), 3 а' причем свв = - — 2в- —. Искомое третье приближение, содержащее 12 ф' вторую степень малого параметра р, имеет вид х - а со РЕ+)в †, (соа Зр( - спарт)+ а' +Р ' 1ОЗЕ в (Сеа ЗРГ-СОаРГ) (3) ав где малыа параметр 1А= 7ла, а круговая частота равна 480 НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1гл, хх Если принять а=1 слг, )а=у(га=0,1ла, то с точностью до членов, содержащих )ь в первой степенн, круговая частота за счет нелинейности системы возрастет на 8,75 '/, (см. формулу (б)).
Переход от второго к третьему приближению с точностью до (га (см, формулу (7)) при двукратном увеличении объема вычислений изменит предыдущий результат лишь на 0,01 а/э Поэтому целесообразно ограничитъся отысканием второго приближения, т. е. решения, содержащего первую степень малого параметра 1А (формулы (4) и (б)). При решении этой задачи методом медленно меняющихся амплитуд ищем закон движения в виде л= а(г)в1п(л1+га(г)1.
(8) Интегрирование дифференциального уравнения (1) сводится к решению системы уравнений 3 аа 9-0 а=р — —, 8 а' 3 аа Следовательно, а(Г)=Сэ сс=1А — — г+Са, т, е. е Ств1п~й(1-)- 3 а'~ +)ь — -а;)Ф+Са~. Подстановка начальных Условий движеииз г=О„ к= а, х= 0 дает Сг= а, Сз=п/2, т. е. окончательно искомое решение (7) примет вид (9) ж = а соврг, (+ 3аа) где обознзчено (10) Решая эту задачу методом эквивалентной линеаризацин, ищем закон движения А" = и (г) в!п'ф (г).
(11) Ф=й(1+9 — 3 а,). 3 аз а Следовательно, (= (+ Заа)+ а (г) = См После подстановки а(г) и ф(Ф) в урзвнение (11) и вычисления постоянных Сь и С, получим результаты (9) н (10), найденные методом медленно меняющихся амплитуд. Сопоставив формулы (10) и (б), а затем (9) и (8), видим, что значение круговой частоты и закон движения грува, определенные тремя разными методамн, одинаковы. Уравнение движения (9), определенное методами медленно меняющихся амплитуд и эквивалентной Интегрирование дифференциального уравнения (1) сводится к решеНию системы уравнений кРАткии ОваоР АИАлитических методоп 431 лннеарнвапнн, входит в качестве основного слагаемого во второе (4) н третье (6) приближения, полученные методом малого параметра с точностью до членов, содержащих )ь в первой н второй степенях.
3', Вынужденные нелинейные колебания. Решение задач на вынужденные нелинейные колебания является более громоздким н сложным по сравнению с решениями соотзетствующнх задач на свободные колебания. Здесь рассмотрены и сопоставлены методы поэтапного интегрирования, последовательных прнблнжений 11уффипга, медленно меняющихся амплитуд Ван-дер-Поля и варнапнонный метод Бубнова †Галер- кина. Методом поэтапного интегрирования (стыковки, ~рнпасовывання) можно пользоваться в случаях, когда нелинейное дифференциальное уравнение интегрируется на отдельных участках. Йостоинство метода заключается в том, что он является точным, если нелинейная в целом система оказывается линейной на отдельных участках (например, при характеристике силы упругости, составленной нз нескрлькнх состыкованных прямолинейных отрезков), Прнпасовыванне точных решений совершается на основе равенства обобщенных координат н обобщен.
ных скоростей в точках стыковки. Серьезным недостатком этого метода является громоздкость, обычно связанная с необходимостью решения ряда трансцендентных уравнений. Методом последовательных приближений Дуффннга удобно поль. зоааться при интегрнрования дифференпиального уравнения движения я+йах=р у(х)+йашрГ, где г (х) — непрерывная нелинейная функиия т, а (А н Ь-малые параметры.
Этот метод позволяет найти периодическое решение с круговой частотой р изменения возмущающей силы н кратными ей частотамн. Первое приближение ищется в виде ха=атэ!пр8 решения соответствующего линейного уравнения У+йэх=йэ!прт. В последующих приблнжениях л„х„..., помимо основной гармоники круговой частоты р, появляются гармоники частот кратных р. При этом полагают, что в силу малой нелинейностя уравнения основная гармоника ата1прФ, полученная в первом приближении, остается неизменной. В зависимости от требуемой степенн точности можно найти любое число последовательных приближений, Однако если дза первых приближения вычисляются достаточно просто, то при переходе к третьему приближению объем вычислений резко возрастает прн незначительном уточнения результатов.
Поэтому целесообразно ограничиться определением двух первых приблнжений, Метод медленно меняющихся амплитуд Ван-дер-Поля, рассмотрен. ный выше прн нзученни свободных нелинейных колебаний, дает возможность найти приближенное уравнение устацовввшнхся вынужденных нелинейных колебаний. квлткии овзоэ аналитических митодов где ба-вариация искомой обобщенной координаты а, а р-круговая частота изменения возмущающей силы.
Если возмущающая сила изменяется по закону Я=Нз1прГ, а нелинейная функция является нечетной, то обобщенная координата д ищется в виде а а,з1пр$+азз1иЪр1+азз1пбр1+,.„ где параметры ап аз, аз подлежат последующему определению. Для первого приближения принимают д = аьз1прт, для второго 4 =а»»1прГ+ + а,з1п ЗР1 и т. д. Вариационный метод имеет широкую область применения, так как его использование не связано с малой нелинейностью системы. (Напомним, что методы Дуффинга и Ван-дер-Поля применимы только в уравнениях, содержащих при нелинейной функции малый параметр р, т.
е. в уравнениях с членами р У(х) или Р У(х, х3.) Обычно прн определении зариационным методом второго и последующих приближений объем вычислений резко возрастает при незначительном уточнении результатоз, Поэтому большей частью целесообразно ограничиваться отысканием первого приближения. Задача 22.14. Решить задачу 20.12 дополнительно, считая, что на грув действует возмущающая сила, проекция которой на ось х равна 3 =Нз1прт. Случай резонанса не рассматривать. Решение. Данная целинейная система является на отдельных участках линейной.
Поэтому применим метод поэтапного интегрирования. Движение груза описывается двумя линейными дифференциальными уравнениямю а) под действием средних пружин при 1х~~! Я+Цх=йз1прт где й,' с»/я», й Н/гл1 б) под действием средней и боковых пружин прн [х~~у Я+Йх =йз1прт, (2) где йз с»1ги, й = Н/Рь Проинтегрируем эти уравнения и выполним условия их припасовываник пРи 1=»т имввм х=1, х х»1 в РезУльтате мы найдем закон движения грува: а) при )х! ~1 х = — (е — — 1з1п й»1+ — з1п рг, 1/ ЛР Л Р Л1 — ф б) при 1х(~1 (отсчет времени амомента стыковки начат отнуля) х 1созйз»+-~У»»-ц — —;~з1пйзЕ+тяяг — Р;з1прт, НЕЛИНЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ !гл.
хл где х„-проекция скорости грува в момент стыковки, равна хт = (оэ- — ! соз йттт+ — соз рт„ «р Ьр 1 ЬВ р1! Ь', — р' — Рйя з!и йзта+ (Е,, — йт — т ! соз йзтт+ —, созРтз = О. Ьр Ьр й Ь! Искомая амплитуда колебаний грува равна Ь а = 1 соз йттз+ — ~Ут — у ! 3!и йзтз+ 3!арта, Искомый период колебаний груза равен 1 = 4 (та+ тз), (4) причем тт н т, находятся из уравнений (3) н (4). Итак, в ходе решения задачн методом поэтапного интегрирования приходится решать дза трансцендентных уравнения (3) н (4):.
Решение является точным, но громоздкям, н целесообразнее применить один нз приближенных методов. В данном случае нелинейность не является малой. Поэтому нельзя воспользоваться методами Луффинга нлн Ван-дер-Поля и следует применить варнационный метод. Будем считать, что период колебаннй груза равен периоду Т изменения возмущающей силы, т. е. 1= 2л/р. В первом приближении ищем закон движения в виде х = а з$прй (б) где амплитуда а подлежит последующему определению. В момент тт стыковки груза с боковыми пружинами х= 7, т. е, 7=аз!прть откуда а —— ! (б) мп ртс' )(ля определения т( решим уравнение к!тР ) (У+й[х-йз!прт)бхй+ ~ (У+йах йз|пр!)Ьхс((=О, (7) о т, Подставив в уравнение (7) х=аз$прт, бх=баз!прй, найдем К/2Р ') [а(йа-р) — й!ъ!и'р(й+ $ [а(йа-р) — й!з!п'р(с((=О, а та а момент стыковки тт определяется из трзнсцендентного уравнения Ь вЂ” ! оь — —,, ! з!и йтт, + — „, з!и Рта - 7 = О.
(3) Ь," — р' Продолжктелькость движения та от стыковки до прихода груза н крайнее положение находится из трансцендентного уравнения крлткнп овзор аналитических методов 435 $ г2 (2) причем амплитуда ад Определяется ив кубического уравнения ат (рз — йа) — — !та~а + Ь О. Второе приближению а1 х, а,з1прт-)ь — 'з1п Зрй 32ра (4) Покажем, что решение задачи значительно усложняется пря переходе от второго к третьему приближению. Записав уравнение (!) в виде У+ рзх = (рз — йз) х — рхз+ Ь з!и р2, (5) заменим в его правой части х на ха из формулы (4) н представим эту правую часть в виде суммы гармоник круговой частоты р и кратных ей круговых частою у2+рях = В з(п р2+ Кз!и Зр(+ Е з!п бр!+ Ма(п 7р2+ Фз!и Ор2, (6) Вмчислив интегралы н использовав формулу (6), получим трансцен- дентное уравнение — [(й', -р') (2ргд- з!п 2рта)+ (Ц - р) (и — 2ртт+ а!п 2рть) - мй *= О, из которого следует найти ти Затем искомую амплитуду колебаний н уравнение движения грува определим по формулам (6) и (5).
Этому приближенному решению варнационным методом следует отдать предпочтение по сравнению с точным решением методом поэтап- ного интегрирования. Задача 26.15. Найти закон еернодических вынужденных колеба- ний груза, рассмотренного в задаче 20.13, если дополнительно дей- ствует возмущающая сила, проекция которой на ось х равна 8„ = Нь1ирй где 0<Н ц,'1. Решение. В правую часть дифференциального уравнения (1) задачи 20.13 добавляется слагаемое Ьз!прг, где Ь=Н2ш, как н р, является малым параметром, т, е. х+й'х= — рхз+Ь з1прй (1) Это уравнение можно приближенно проинтегрировать наиболее общим — вариацнонным методом.
Наличие малых параметров р и й дает возможность применить метод Ван-дер-Поля. Учитывая, что при малых параметрах р и Ь нелинейный член х' зависит только от х, можно также использовать метод 11уффипга. Уравнение (1) при 2ь 7 проинтегрирована методом Дуффинга в задаче 20.8 (см. стр. 405 — 407) и получены два первых приближения. Первое приближение: хт. атз!прт, нвлинвиныв долавання где обозначено 3 3 а! 3 а" В,ае(ра /ее) ра» /е !ее+ е 4 е 4 32рье 2 32ере е ае, Г ре — ае! 3 а', 3 а', К~р — 1 — + — )е — ~+ — рз — ' 4 ! 3ре / 2 32ре 4 32ере~ /. — ре ~~1» )е е~ М „з 4 32ре ~ 32ре/ ' 4 32ере' 1 а /!/ )ее 1 Для того чтобы решение уравнения (6) было периодическим, надо считать В =* О, т.
е. а (р — йе) — — ра +»- — )ез — — — рз — О, 3 е 3 а! 3 а! 1 4 32Ре 2 32ере Итак, для определения ае надо, вместо кубического уравнения (8) решить уточненное уравнение (8) седьмой (!) степени, которое отличается от него лишь на члены второго и третьего порядков малости 3 е а! 3 а' параметра р т. е. — — ре — — — рз — ! —.
4 32ре 2 32ере ' Проинтегрировав уравнение (6), получим третье приближение в виде хе= а(з!прг+Ызз!и Зр/+!/вз!и бре+!!ее!и 7рз+е(аз!п Орз, (9) причем Ыз = — К/8р', е(е Ц24ре е( = — М/48ре е(е — Д//8Оре. где К, Е, М и Ф приведены в формулах (7), а амплитуда ае первого приближения определяется из уравнения (8). Нетрудно видеть, что при переходе от второго к третьему приближению объем вычислений увеличился в несколько рав при незначительных уточнениях результатов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
