1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Теперь из уравнения (13) можно определить а1): а!) = агссоз !1 — ° — !ф! 1!и+(д — 1) !1ат — — з!и ат)1+ Г1 ! ( Г / 1 Ь' '1 2 -(- 2фз (д — 1) з!и' ат~ — ~ . (22) о' Таким образом, задача отыскания второго приближения в виде (1) решена. Подсчеты следует начинать с определения ат графическим методом, затем вычислить фщ по формуле (21), фз — по (18) и, наконед, в() — по (22). Теперь нетрудно определить амплитуду колебаний ф„ внеся в уравнение (1) выражения З = т+ !), ф = фз, Находим ф,=ф, з!паз+фа(совая-соя Зах), (23) Для оденки величины ф„по сравнению с фп были проведены подсчеты, которые показали, что даже при большом моменте силы сопротивления (о ст/сз = 3) величина фа составляет при равных значениях а всего лишь от трех до одного проиента от фз.
Вместе с тем объем вычислений, связанный с определением второго приближения, в несколько раз превышает объем, соответствующий подсчетзз1 при отыскании первого приближения (см, предыдушую задачу). [Гл. хх нплинпйные коливяння Таким образом, при определении амплитуды колебаний фа нецелесообразно заниматься громоздкимн вычислениями для определения второго приближения н следует ограничиться вычислением первого приближения. Подсчеты, проведенные для сопоставления точного решения, полученного методом поэтапного интегрирования (см. задачу 20.7), с первым и вторым приближениями, найденными вариационным методом Бубнова — Галеркина, показали следующее: даже при большом моменте силы сопротивления (о=с,/са= 3) величины углов поворота ф=г"(г), полученные точным решением, отличаются в меньшую сто- РонУ в пРеделах бага от соответствУющнх РезУльтатов, найденнйх в первом приближении.
Результаты, вычисленные по второму приближению, ложатся между соответствующими значениями, найденными точным решением н первым приближением. Таким образом, сопоставление этих подсчетов показывает целесообразность использования первого приближения. Напомним, что в случаях точного решения и второго приближения приходится графически решать трансцендентное уравнение относительно ют, что значительно усложняет решение. Конечно, при необходимости определить угол наибольшего отклонения ют приходится пользоваться точным решением (см. задачу 20.7), либо вторым приближением. Прн этом надо, бесспорно, отдать предпочтение менее громоздкому точному решению.
В 4. Краткий обзор аналитических методов решения задач нелинейных колебаний 1'. Вводные замечания. В настоящее время все еще отсутствуют общие методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. В связи с этим за последнее время получили большое развитие точные н приближенные аналитические методы: поэтапного интегрирования, разложения по малому параметру, медленно меняющихся амплитуд, эквивалентной линеаризации, последовательных приблнжений, вариацнонный метод н многие другие Прн решении задач возникают трудности, связанные с отсутствием навыков в выборе того или иного метода интегрирования.
Для приобретения подобных навыков надо продумать и сопоставить различные методы и приемы решения нелинейных задач. В данном параграфе приведен краткий обзор некоторых аналитических методов решения задач динамики свободных и вынужденных нелинейных колебаний материальных систем с одной степенью свободы. 2'. Свободные нелинейные колебания, Здесь рассмотрены и сопоставлены методы поэтапного днтегрирования, малого параметра, медленно меняющихся амплитуд и эквивалентной линеаривацнн. КРАТКИЙ ОВЗОР АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ 42б Методом поэтапного интегрирования (стыковки, припасовывания) удобно пользоваться в случаях, когда нелинейные дифференциальные уравнения движения интегрируются на отдельных участках.
В частности, данный метод целесообразно применять когда нелинейная система является линейной на отдельных этапах, Это, например, имеет место при нелинейной характеристике силы упругости, составленной из нескольких состыкованных прямолинейных отрезков. В этом случае можно получить точные решения линейных дифференциальных уравнений на отдельных этапах движения. Припасовывание этих решений совершается на основе равенства обобщенных координат и обобщенных скоростей а точках стыковки движений.
Методом малого параметра удобно пользоваться при интегрированин автономных нелинейных дифференциальных уравнений вида у+ йзх = (ь,г'(х), где у(х) — нелинейная функция х, а р — малый параметр. Достоинством этого метода является возможность отыскания периодического решения, вычисленного с точностью до членов, содержащих малый параметр з требуемой степени (р, ра, (ьа, „,). Искомое решение ищется в виде разложения по степеням малого параметра р: х = ха+ Рхт+ (Азха+ (азха+..., где х„хм хм хз — периодические функции некоторой круговой чзстоты р и кратных ей круговых частот, подлежащих последующему определению. Квадрат искомой круговой частоты р также записывается в разложении по степеням малого параметра р: Р =)г +)мхг+)ьаггя+(А сгз+...
Значения постоянных ам гяь сгэ ... выбирзются так, чтобы в решении уравнения отсутствовали неограниченно возрастающие (резонансные) члены. Метод малого параметра дает хорошие пркближения при малом числе членов разложения искомого периодического решения. Обычно оказывается достаточным решение задачи с точностью до членов, содержащих малый параметр в первой степени. Методамн медленно меняющихся амплитуд и эквивалентной линеаризацин пользуются при интегрировзнии нелинейного дифференциального уравнения движения у+йях=(ь ~(х, х), где у(х, х)- нелинейная функция х и х, а р — малый параметр.
Оба метода эквивалентны друг другу и дают возмозкность получить первое приближение в виде х= азшф, где а а(1) — медленно меняющаяся функция времени. Применяя метод медленно меняющихся амплитуд Ван-дер-Поля„ фазу колебаний ищут в виде ф(г)=йг+сс(г), где й — постоянная, 14 М, И. Вать з дз., г. ЛИ 426 нвлннвннын калякания !гл. хл в случае же метода вквнаалентной лннеарязацвн Крылова, Боголюбова — в виде ф(1) = ю(+а, где ы = ю [а (1)], а сз — постояннзя. Решение уравнения У+вал=)з г"(х, У) сводятся к ннтегрнрованню системы двух приближенных дифференцнальных уравненвй! а) метод медленно меняющихся амплитуд: б = -"-,г'(а в1п ф, ай соз ф) соз ф Игр, гя сз — 2 а Дав!пф, ал совф)$1пфй~! 1 !Д б) метод вквнвалентной линеаризацнн! б=~Е- ~ у'(аз1пф аагсоввр)совгрвггр, а гр=гз, гдв гя чЧз ю= лз — —" г"(ав1пф, аюсозф)в1пфг(ф~ Степень трудности и объем вычислений прв решении этвмв методами примерно одннаковы. Хотя наложенный ранее метод малого параметра дает возможность найти решение не только в первом н втором приближениях, но также с точностью до членов, содержащих !зв, ра, „., но прн этом объем вычислений резко возрастает, не изменяя существенно результатов.
Надо помнить, что метод малого параметра применяется прн нелинейности, заансящей только от координаты [У+ лзх = р у(л)1, в то время как два данных метода можно нспользовать прн нелинейности, зависящей как от координаты, так в ее прона- водной по времени [У+ Ил = )з г'(.т, У)!.
Например, прн внтегрнрованнядяфференцнальногоуравненнядвиженяяУ+лзх= — !з(1+))Уа)У можно применить метод медленно меняющихся амплитуд нлн эквнвзлентной лянеарнзацни, но нельзя воспользоваться методом малого параметра. Задача 20.12, Грув массы лз (на рнс, а он нзображен в плане) движется в прямолинейных направляющих. В среднем положеннн он соприкасается с двумя ненапряженнымн в неприкрепленнымн к нему нружннамн.
Коэффнцнент упругости каждой вз ннх равен с» Колебания груза в границах Кь =И происходят попеременно под действнем одной из этих пружин. Если колебання выходят за пределы К(. 21, то грув входнт дополнительно в сопрнкосновенне с боко. кваткнп пазов апалнтпчвскнх мптодов 427 вымя пружинами, имеющими предварнтельный натяг.
Суммарный коэффициент упругости основной н двух боковых пружнн равен с. Снлы упругости всех пружин намекаются по закону Гука. На рнс. 6 изображена характеристика снл упругости. Она составлена из прямолинейных участков с коэффнцнен- Е тзмн упругостн са н сэ Определнть амплитуду н пе. рнод колебаннй груза, если в начальный моментему в среднем по- я! ложеннн была сообщена слева направо скорость ое. Решение.
Нелннейная харзктернстнка силы упругости является линейной на отдельных участ- ие ках. Поэтому можно применить метод поэтапного ннтегрнровання. И! Для описания движения груза п ' следует воспользоваться двумя диФфеРенциальными уравненнямн. / Одно нз ннх, У+А,'х=О, где А,' = са/т, соответствует дзнжекню грува под дейстзнем одной нз гг средних пружин прн ~х1'==1, а второе, У+э,'х О, где ла = К задаче 20.!2. са/гл,— прн ~х~~1, т. е. прн одновременном действии трех левых нлн трех правых пружин. Пря заданных начальных условиях двнженню груза в пределах !х ~ « ! соответствует уравнение х *= — з!и лат. эа аа Грув придет в сопрнкосновенне с боковыми пружннамн в момент ! ° !а1 и; = — агсз!и —, Йа ее Прн 1х ~~1 уравнение движения имеет знд х ~ соз йуа+ — ~'т4 рд', а!и Аай «е (с момента стыковки г ть отсчет временн начат вновь от нуля) Для прнпасовывання втнх двух уравненнй движения выполнены уело вня равенства координат н проекцнй скорости прн и=та.
Грув придет а крайнее положенне через та секунд после момент! стыковкн прн т, — агс!й — ' „ 14* пплинпиные колввяния 1гл. хл Амплитуда колебаний равна а — 'к' па + Р (А,' — А,'), яа а период колебаний равен / 1 /в~ 1 )гю',-~~', 1 Т =4(тт+та)= 4 11 — агсз1ц — + — агс(п — / В заключение заметим, что для решения втой задачи нельзя использовать методы малого параметра, медленно меняющихся амплитуд и эквивалентной линеарнвации, так как нелинейность системы не является малой.
Задача ЯОЛЗ. Упругая невесомая балка (рис а), защемленная концом О, при колебаниях соприкасается с криволинейными направляющими. При этом часть балки, не контактирующая с направляющими, становится короче и жестче. К концу балки прикреплен груз А Я массы т. Проекция на горизонтальную ось х силы упругости, приложенной к грузу, равна «1 Р = — сх — рсха (рнс. б), где 0(у~1. Найти уравнение движения грува х =У(/), если в начальный момент он был отклонен иэ вертикального положения равновесия на х а н отпущен без начальной скорости. Решение.
Запишем дифференциальное уравнение движения «И=Р„ при Р„ = — сх — усха в виде х+ «'х = — рхэ, (1) где обозначено ла = с/т, р ус/т =* уйа. При наличии малой нелинейности ()ь— малый параметр) уравнение (1) может быть решено любым из трех методов: малого параметра, медленно меняющихся амплитуд и зквивалентной лннеаризации. К задаче Ю.13. Решая задачу методом малого парамет- ра, будем искать периодическое решение уравнения (1) с точностью до членов разложения, содержащих первую степень малого параметра р х = хо+ )ьхп где хэ хт — пока неизвестные периодические функции круговой частоты р и кратнык ей круговых частот, причем р' Аз+ран Здесь аа — постоянная, подлежащая последующему определеникь ЕРАткии ОВВОР АнАлитических метОдОВ Днффереипиальное уравнение (1) сводится к системе уравнени» 2в+Р хв=б~ УЗ+ р'х( св,хв — хЗ.
(2) Найдем нх периодические решения: хв = а соа рг, хв (соа Зрг — соа Рг), ав (3) 2р 3 причем а, = — аа. Формула (3) определяет первое приближение реше- ния уравнения (1). Искомый вакои движения с точностью до членов, содержащих первую степень р, т. е. второе приближение, имеет вид ав х= хв+рхв = а гоара+)в 32,, (соа Зрг-созрг) (4) где р улв, а круговая частота р равна Р=2~1+р'3 ) Если перейти от второго к третьему приближению, т. е. искать решение х и круговую частоту р в виде х ха+)вх1+ мвхь Р' У'+Рсва+ Рвсвь где хв †неизвестн периодическая функпия, а ав — неизвестная постоянная, то к системе уравнений (2) добавляется уравнение Ув+р'х, = св,х, + сваха — ЗхЗхр Р-2(1+р — — -р' — — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
