1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Каждая интегральная кривая является в етом случае феновой траекторией, Фавовая скорость равна по модулю ((0) Так как фавовая скорость по мере приближения изображающей точки к положению равновесия неограниченно уменьшается, то изображающая точка не может достигнуть начала координат ва конечное ч) К задаче 20.1т.
время, хотя н приближается к нему асимптотически. Особая точка в етом случае называется устойчивым фокусом. При любых начальных условиях изображающая точка стремится к началу координат, следовательно, равновесие системы, соответствующее началу координат, будет устойчивым. Линейное преобразование х» = к»х, у» =у+их не изменяет характера интегральных кривых. »»ействитееьно при малой величине л(й» на плоскости х»у» спирали близки к окружности ха+у, = С».
Эта окружность, если вернуться к исходным переменным, превращается прн малой величине и!й» в вллипс у'+ йл ху+ й'х' = сопа1. Таким образом, на плоскости ху спирали фазовых траекторий бливкя к атому вллипсу (рис. 6). Перейдем к определению шага спирали (рис. а). Ив рисунка видно, что шаг спирали равен х„ — х„„. С другой стороны, ках нялннеиные колявлнйя где А и 1) определяются по начальным условиям движении Период колебания равен Т= — '": (12) ~/Р:яа ' тогда шаг спирали будет равен т х А Аа-лт 4(1 е чт) (1З) Если иТ ~ 1, то равенство (13) можно приближенно представить, разложив функцию в ряд (1 — е- "т) 1 — (1 — лТ+ — +...) лТ вЂ” +...
(яТ)а Ъ ГяТ)т 2 "') 2 Тогда шаг представится следующей приближенной формулой х„— х„ы= АлТ, Таким образом, при ~Т ~ 1 шас спирали пропорционален логариф- мическому декременту. Случай большого сопротивлению Проинтегрировав уравнение (б) при и) Ь и внеся затем в полученный результат ана- чение л, находим У уз+ 2л ху+ Ьаха = Са У л +л-Ь'л:аа'~ +в+ г'~й-й* ~ (14) Правая часть етого уравнения легко раскладывается на множители следующим образом: та+2лху+Ьаха=(у+их)а — (па — Ьа)ха=(у+Ь х)(у+Ьах), где для краткости введены обозначения Ь1-и-Ь ла-Р Ьа и+Улз Ьа.
Тогда уравнение (14) может быть написано в виде (У+Ьах)ь =Са(У+Ь,х)"ь (15) Если рассматривать ха и у» тождественно удовлетворяющие равен- ствам ха му+ бах, уа =я+ Ь,х, как новые прямоугольные координаты, то уравнение (1б), определяющее семейство иитегральныя кривых, примет вид ха* Саун (16) где а ЬаГЬь „т 1.
Интегральные кривые представлены на рис. а. иавестно, решением исходного дифференциального уравнения (1) является -л > 9'тз:~и-В (11) нсследоалнне нелиненных колввлннн 449 Из (16) видно, что гахана = О при уа=О и„ следовательно, все кривые касаются оси у, в начале координат. Вычислив вторую производную от х, по ум находим 1 ~Рх~ а а1а — 1) лУ1 Уг Эта величина всегда положительна, следовательно, все интегральные кривые обращены выпуклостью к оси ур Возвратившись к фааовой плоскостн ху, находим на ней урая- К задаче 20.17, е. К задаче 20.17, г.
нение осиу„касательной к иятегральным кривым, для чего полагаем Ад = у+Ьах — 01 отсюда уравнение искомой прямой будет у = — Ьгх. Аналогично мы получвм на фааовой плоскости уравнение оси х» приравняв нулю уа.' у,=ч+Ь,х=о. Следовательно, уравнение прямой будет у = — Ьах. Наконеп, найдем уравнение прямой, пересекающей интегральные крввые в точкая, где касательная гориэонтальна. В втия точках равенство (4) обращается в нуль и, следовательно, уравнение прямой будет «а ЬгЬа у= — — хы — — х. 2я Ьа+ Ь Интегральные кривые показаны на рис. а. Следует отметить, что в данном, случае каждая интегральная кривая включает три фазовые траектории: ветвь, идущую в начало координат справа, ветвь, ндушую 450 нелннвиныв колявлння 1гл.
хх в начало координат слева, и особую точку. В данном случае по всем фазовым траекториям изображающая точка движется в начало координат, к особой точке-устойчивому узлу. Характер апернодического движения, совершаемого исходной механической системой, легко определяется по расположению изображающей точки на фазовой траектории. Если изображающая точка в начальный момент находятся в положении 1, то скорость ее вначале положительна и расстояние исходной системы от положения равновесия возрастает до момента, когда изображающая точка пересечет ось х. После этого скорость становится отрицательной и исходная система аснмптотически праближается к положению равновесия.
Если в начальный момент изображающая точка находится в положении 2, то исходная система будет асимптотически двигаться к положению равновесия, так как отклонение системы положительно, а скорость направлена ел Г й ее в отрицательную сторону оси х. Задача 20.18. Тело, лежащее на горизонтальной не- гладкой плоскости, прикреплеа Т но пружиной к стене (рис. а). Коэффициент жесткости прусл живы с, максимальное значение силы сухого (кулонова) тре- ~+ Ь ' ния Р. Сила трения при двн- сз женин постоянна по модулю и направлена в сторону, противо. положную скорости. Начало координат выбрано в конце е1 Ф пер астянутой пружины.
Тело в начальный момент отодвину- К задаче 20.1В. ли на расс1ояние х, и отпус- тили без начальной скорости. Найти уравнение движения тела, построить зависимость перемещения от времени и фазовую траекторию, если хе=* 12-.. с" Р е ш е н и ц Составим дифференциальное уравнение движения тела тх — сх~Р, (1) знак минус соответствует положительной проекции скорости, знак плюс отвечает отрицательной проекции скорости на ось х.
Обозначим через Р Ь = — = сопз1 с максимальное отклонение тела (от положения при нерастянутой пружине), при котором сила трения будет уравновешивать реакцию 451 исслвдованни нвлннинных колввлнни пружины. Тогда уравнение (1) можно записать в виде тУ+с(х + Ь)=0 или Л + Аз (х '+' Л) = О, (2) где обозначено с/т=йе. Полагаем х=у. Тогда — — Аз(х.+.,2), — =у. лк дде ег дИ Отсюда — = — Ае= Лу аж д ддл иля, после интегрирования, -9-,*+(х+-11) -а У+ Аах=у(х„У, г), (в ) где х, У, У-координата системы, ее первая и вторая производные соответственно, А-круговая частота, 1 — время, у-некоторая нелинейная функпдя своих аргументов. В частном случае автономной системы эта функция не ззвисит явно от 1.
«) 1.. Б. ЗасоЬееп, Оп а Оепега1 Ме1Ьед о1 3о1дй1ия'9ееоги1 — огзег Огбр пату 11111егеп11а1 Езиа11опд Ьу РЬаве-р1аяе Иер1асмпеп1ед А Арр!, МесЬаП1се, то1, 19, Х 4, 1952« 543 — 653. В этом интеграле знак плюс соответствует .9=у)0 н минус— Х=у~ О. Пусть в начальный момент при 1=0 мы имеем х=х«„0, х=у=О.
Сразу после начала движевияу=.9~0 н в уравнении (3) нужно брать знак минус. Получим уравнение окружности с центром в точке М с координатами х=Л, у=О. При х=хд тело теряет скорость и затем оно двигается вверх (х=у) О). В уравнении (3) нужно взять знак плюс Получим уравнение окружности с центром в точке М(-Ь, 0), Точка хд симметрична хе относительно М точка хе симметрична хд относительно М и т. д, Фазовая траектория представлена на ряс, б, а зависимость перемещения от времени на рис. з. 3'. Лельта-метод.
Одним из эффективных способов качественного исследования нелинейных систем с одной степенью свободы является дельта-метод, предложенный в 1952 г, Якобсеном* ). Он позволяет приближенно построить фазовый портрет системы, не интегрируя ее дифференциального уравнения, которое часто связано с громоздкими вычислениями. При построении фазовых траекторий будем исходить из общего дифференциального уравнения, описывающего движение неавтономной нелинейной системы, а именно 1ГЛ. ХН нвлиннинын колевлннк Преобразуем исходное уравнение (6*) в чдельта-форму». Для етого введем безразмерное вреия т=М и соответствующую скорость т =охай, имеющую ту же размерность, что и перемещение х.
Тогда будем иметь х= — л — =Аз А х= — ~ й ~ л~ — ~в л~ — ' — Азов пл Нл ~И и (ач) 3 пч а пч лл 1Ь И дт лг лт лт лл Лт лл Уравнение (6") теперь можно записать в виде или Величина ( ') называется дельта-функцией, откуда и происходит название самого метода. Используя обозначение (7*), получим нз предыдущего уравнения дифференциальное уравнение фазовых траекторий или дельта форму уравнения (6*): лч 6+ л лл ч (8в) Хотя 6 является функцией трех аргументов, для малых приращений Ьх, Ат, Ьт ее можно считать постоянной, Тогда уравнение (8в) сразу интегрируется разделеннем переменных, в результате чего получается уравнение фазовых траекторий в конечном виде (х+6)а+ ъл = С', где С-произвольная постоянная интегрирования, определяемая из начальных условиИ. На фазовой плоскости Охч уравнение (9*) описывает семейство окружностей с центром в точке (1а(- 6; О).
Таким образом, малые отрезки фазовой траектории могут быть приближенно заменены дугами окружностей с центром в указанной точке. С переходом от одной дуги окружности к следуюнаей изменяются, вообще говоря, абсцисса ее центра и радиус. Однако непрерывность фазовой траектории при атом не нйрушается, т. е. начало последующей дуги совпадает с концом предыдущей. Построение начинается (рнс. 20.10) с точки Р,„координаты которой ха — — х(0) и тв т(0) определяются начальными условиями прн % ау ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ 999 ъ; О. По этим же данным находятся величина б, б(л„' тр; та) рррр р,=гр,.рр,р+„; р,р,р„, р,~р, вычислять по формуле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
