1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Йогда точка Рр н центр окружности Я, построены, радиус замеряется циркулем как длина отрезка Я,РЙ Из точки как нз центра радиусом рр Я,Р, проводится небольшая дуга Р,Р, окружности в направлении против хода часовой стрелки, что соответствует возрастанию безразмерного' времени т. 31лина дуги должна быть выбрана в некоторых оптимальных пределах, так как с ее уменьшением, с одной стороны, увеличивается точность, а с другой стороны, Фр) возрастает трудоемкость построения (подробнее об этом см. задачу 20.19). Чтобы найти абсциссу (-бт) центра следующей дуги окружности, надо СиатЬ С ЧЕРтЕжа ВиаЧЕНИЯ Лг В Чн а величину тт найти по формуле т,=т,+бт,-бй, (т,=о), (10*) где Лба — радианная мера первой дуги Рис. 21110, Р,Рм н воспользоваться формулЫ (7*) дла опРеделениз ба — — б(лт; тб т,).
Затем из центРа 4)а(-ба; О) радиусом рт ЯтРА проводится следующая дуга окружности и т. д. формула (10*) нуждается в некоторых пояснениях. Из нее следует, что приращение безразмерного времени брт равно радианной мере соответствующей дуги ЬО. Покажем зто. Из соотношения т=* ррлгр9т следует (11*) С другой стороны, нз рассмотрения рис. 20.10, где малые конечные приращения величин могут быть заменены нх дифференциалами, имеем 1йч а 1Р ЛЛР+~ррР У 1л Ы» 2в) — 1+ ~ — ррл рр рр*~Ю у ~~[~~~'„ ч Последний переход в равенства (12в) основан на том обстоятельстве, что из уравнения (8в) следует Й)'=М' Сравнивая выражения (11') и (12"), получаем, что р(т бй в„следовательно, брт *= Ьб. 464 нвлннвнныв колиианпп Таким образам, для любогп шага построения фазовой траектории имеет место соотношение тг+~ = % + бтс = тг+ М. (13а) Часто дельта-функция зависит только от одного аргумента х или ж (Если она зависит только от 1, то уравнение (6*) является линейным), Так, свободные колебания консервативной системы описываются уравнением у+ лзх =у (х) (14ч) и б ззвнсит только от х.
С другой стороны, колебания диссипатив- ной нли автоколебзтельной (в зависимости от вида функции у) сис- темы описываются уравнением .й + лах = г (х) (13*) и б зависят только от ж В этих случавх полезно бывает построить графики функций б=б(х) и б=б(ч). Эти дельта-кривые характеризуют тип системы н степень ее нелинейности.
В частности, для линейной системы б тождественно равно нулю. Кроме того, если имеется дельта-кривая, то прн построении фавовыя траекторий системы можно брать необходимые значения б непосредственно с чертежа, избегая соответствующих вычислений. Задача 20.19. Построить фавовую траекторию для нелинейной колебательной системы с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости. Уравнение движения системы имеет вид У+и ~.Ф~.к+пах=0. (1) Начальные условия принять равными ха=х(0) 5,00, йа х(0)=0. (2) Коэффициент и=3/2х, Исследовать влияние числа шагов (или длин дуг) на точность построения. Решение.
Сравнивая уравнения (1) и (6ч), замечаем, что в дан* ном случае У'(х, Х, 1) -п~.2~.3 в, следовательно, по (уч) б = — „, л~ч~ч; в1.е~.е (3) отсюда видно, что сопротивление пропорционально б. Дельта-кривая, определяемая уравнением (3), показана на рис. а сплошной линней.
Следует заметить, что на атом и следующих рисунках отклонение х отложено по оси ординатг а пропорциойальпая скорости велн- Ф з1 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕВАНИЙ 4бб чина ч - по оси абсцисс; изображающая точка в соответствии с этим движется против хода часовой стрелки. Переходя к построению феновой траектории, заметим, что максимально возможная длина дуги равна полуокружностн, что соответствует одному размаху колебания. При такой большой длине дуги представляется разумным эа величину 6 принять не ее значение в начальной точке, а некоторое среднее значение, найденное с учетом изменения 6 в пределах этой дуги.
Среднее значение 6, величины б при изменении аргумента от нуля до текущего значения ч равно бе - — — п ~ ч1 ч агч = — и ~ ч ) ч — 8. 1 Р, 1 1 3 3 (4) 6 =лва =Лтшаз З1П М График величины бе показан на рнс. а штриховой линией. Из формулы (4) следует, что плошади заштрихованных криволинейных треугольников на этом рисунке Ю разны. то ЯГР Теперь нетрудно построить фазовую траекторию с помощью дуг максимальной длины, т.
е. полу- з круж остей. Для этого с помощью циркуля отыскиваем после ряда л 1дг е попыток центр Ог первой дуги тзк, чтобы отрезки Оьхе и ОЯт были «б равны, н проводим дугу хеЯахр Р Затем выбираем центр Оз второй е дуги так, чтобы выполнялось равен. Р е « ство Озхт=ОзО„и строим вторую ве 1 «р а дугу хтЯзхз фаэовой траектории, е. Продолжзя этот процесс дальше, л, 2,ЭР можно построить всю фаэовую траекторию, которая представляет К задаче 20.19, а, собой спирзлевидную кривую, нзкручнваюшуюсз на начзло координат. (Нз рнс. а построение доведено до точки хе) Начало координат является здесь особой точкой типа устойчивого фокуса. Она соответствует состоянию устойчивого равновесия 1х= ч = О), к которому система стремится вернуться, будучи иэ него выведенноЙ.
Рассмотрим теперь другие возможности усреднения величины 6. Работа силы сопротивления ва один размах может быть найдена в предположении, что фазовая траектория есть полуокружность радиуса тче,„. Сила сопротивления, как уже отмечалось, пропорциональна величине б, а последняя прн сделанном предположении равна 466 НЕЛИНЕЙНЫЕ КОПЕВАНИЯ [гл. хв Перемешение, отсчитываемое от крайнего положения, равно й ттак (1- соз лг), откуда гав ат утаи зш лт Ы (ЛГ). Следовательно, работа й7а демпфируюшей силы ва один размах пропорциональна величине 6 «ай = и'1>так зап ли за (лг) = лита«! т. е. 4 ° %'~ В пятак ° (б) Введем теперь в рассмотрение вквивалентную постоянную силу сопротивления, пропорциональную величине 6, .
Работа %т произведенная втой силой ва один размах, пропорциональна велизине 6„,)'я= аа =бак«атак ~зад вам~~(ьа)ат 0 'т 26«ватт а« а т. е. %'з" 26««вттак (6) Приравняв друг другу работы йгз и йгт или, что то же самое, правые части соотношений (б) и (6), находим 2 а ба«в з путав ° (У) К задаче 2т!9, б. Сравнив полученное равенство с уравнениями (3) и (4), заключаем, что имеют место соотношения (8) Точность втих вычислений тем больше, чем ближе фавовая траектория для одного размаха к полуокружности. На рнс. б построены две первые полуокружностн фазовой траектории прн различных способах усреднения величины б, а именко для среднего значения б по отношению к ч, когда 6«=МЗ; для произвольно взятого значения б'=Ы2; для значения б" е26/8=беат и, наконец, для максимального сопротивления, когда бат 6. исслвдовлнтш нялинвнных колпванин 487 Возникает. вопрос, какая из этнх кривых точнее.
Ответ, вообще говоря, можно получить, построив фазовую траекторию с помо1нью большего числа шагов. Однако в данном конкретком случае известно точное (чнсленное) решение задачи, которое дает .чз 1,54 н Аз= 0,94. Следовательно, нанбольшая точность при выбранном минимальном числе шагов достигается, еслн за усредненную дельта-ттрн. вую принять кривую, леясашую между кривыми б'=872 н б" ~ = 28/3 ближе к первой. 7а6 7тт К задаче йпйй, е,е. Вообще решение с минимальным числом шагов, т. е. один шзг на размах, может дать удовлетворительные результаты только в том случае, если найден достаточно надежный способ усреднения величины б. Кроме того, прв таком решении длительность каждого размаха, определяемая углом 6, постоянна и равна н.
Это протвворечит хорошо известному факту, что прн налички сопротивления, пропорционального квадрату скорости, период колебаний уменыпается одновременно с уменьшением амплнтуды, аеимптотически приближаясь к величине 2п/й На рнс. а показана фазовая траекторию, построенная с помощью четырех неравных шагов по осн т для первого раамаха и трех шагов для второго размаха. Амплитуды жа н тз несколько больше соответствующих величин, полученных точным расчетом, а длительности первого размаха и первого колебания измеряются углами 206' н 388' соответственно. Следовательно, наличие квадратичного сопротнвленвя увеличивает продолжительность первого размаха от величины тт/л до 15 М.
И. Бать е,ар., т. И! 458 нелннейныи колввлния величины 206п1180л, т, е. на 14%, тогда как увеличение продолжи- 336 — 360 тельности первого колебания (двух первых размахов) равно— что составляет 8~. Наконец, на рнс. г дано построение фавовой траектории прн девяти шагах для первого равмаха н четырех шагах — для второго. Величина амплитуды ха=1,55 при 3=206' совпадает очень хорошо с точным значением, указанным в скобках, а значение хз 0,95 также хорошо согласуется с точноа величиной 0,942.
Резюмируя, заключаем, что точность построения фазовой траектории всегда может быть увеличена путем увеличения количества шагов. Однако степень точности данного конкретного построении в случае, если тонное решение неизвестно, может быть оценена только «экспериментально» путем увеличения числа шагов. Кроме того, очевидно, что влияние длин дуг на точность построения не всюду на фавовой плоскости одинаково. При построении с более чем одним шагом аа размах это влияние тем заметнее, чем больше излом траектории в точках сопРюкениЯ дУг. Так на Рис. з этот излом, опРеделаемый Углами 1)п Рз и т.
д„ примерно одного порядка во всех точках сопряжения (ва исключением точки 4), тогда как иа рис. г) он более значителен в точках 4, 6, б и 11. Задача 20.20. Движение физического маятника описывается уравнением У+лаз!их=о. Построить фазовые траектории маятника для следующих начальных условий при Ф=О: а) х«=36 =0,2п, т«0' б) х = 90' = 0,5п, ъ = 0; в) хэ = 180' = и, м = О; г) х,=о =О, т =+ —. «Я» А ' В случае г) нзчзльная скорость достаточно велика, чтобы обеспечить непрерывное вращение маятника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
