1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Время, кзк и всегда при филовых представлениях, определяется углями„ стягиваемыми дугами окружностей, т. е И =Ь91л, Это обстоятельство указывает на то, что радиусы дуг должны быть конечнымн. Задача 20.23. Построить фазозую характеристику системы, восстанэвливаюшая сила которой дается графиком, приведенным на рис. а, если к системе внезапно прило- Н жена постоянная воамушающая сила Р. «я гг решнние.
График нз рис.а изобра- жает петлзэ гистереэиса. Такую хэрактерис- Ь ~ л «~ тику имеет любой упругий влемент, в ко-я и х э л у г тором в процессе колебании достигается предел упругости материала и, следовз«э тельно, имеют место пластические деформации. При перемешении систейы нз начэла коордянэт в напрзвлении оси х с положительной скоростью восстзнзвливэюшая сила достигзет предела упругости в точке 1 прн х Хм зятем линейно возрастает с угловым коэффициентом сэ до точки М при х= ЬЯм В втой точке система останавливается, скорость изменяет знак, и восстанавливающая сила затем линейно убывает вдоль прямой МР. Если движение заканчивается в какой-либо точке втой прямой и внешняя сила устраняется, то возникает остаточное перемешение ОЖ и теряетсз внутренняя работа гистерезисз, пропорциональнэя плошади 01.М1ч'. Если движение не заканчивается на отрезке МР, а продолжзется с отрэшательной скоростью, ковый предел упругости нсслидовлнни икяннииных коливяннн 466 э в1 достигается в точке Р, причем МР— 20Е.
дальнейшее движение влево переводит систему в точку Я, где происходит вторичная оста- ковка Бслн внешнюю силу устранить в этой точке, то система будет колебаться с собственной частотой между точками — ЗХ, и — Хм причем в конце концов придет к состоянию покоя в точке 8. Остаточным перемещением будет тогда Оо и дополнительное количество потерянной работы гистерезиса будет пропорционально площади ЯРА.
Гистерезисная диаграмма изображенная на рис. а„сильно упрощена На практике пределы упругости ие так четко выражены и угловые коэффициенты св обычно не постояняы. Кроме того, наклоны линий РМ и ЯЮ часто больше, чем св благодаря наклепу материала и длина отрезка МР не всегда равна 201.. Следует отметить, что все эти отступления от идеализированной гистерезнснои диаграммы могут быть учтены прн использовании дельта-метода и вызовут только простые изменения дельта-кривой. Представленная на риа а зависимость восстанавливающей силы от перемещения является кусочно-линейной. Колебания такой системы, вызванные внезапно приложенной постоянной силой, могут быть исследо- вены аналитически.
Однако при большом числе линейных участков на диаграмме зависимости восстанавливающей силы от перемещения (на риа а пять участков) аналитическое исследование громоздко, и целесообразнее провести цостроенне фазового портрета системы прн помощи дельта-метода. В случае свободных гармонических колебаний дифференциальное уравнение имеет знд .6+А'„х О, где А; — в, (1) Уравнение линейно, и лля него 6=* 0. Юля того чтобы использовать и в этом случае б-метод, введем в уравнение (1) произвольный новый параметр Аль= св/гл, не равный Ап где св-коэффициент жесткости некоторой фиктивной пружины.
Сделаем это следующим образом. Запишем (1) в виде У+ й,'х+ Авх - йяв» 0 (2) или У+4(х+6) О, (з) где обозначено 6 (йа$1) х 1с1 1) х (4) Применяя втот способ к рассматриваемой билинейной задаче, выберем с, и с, из диаграммы, представленной на рис а. Семейство фазовых кривых для шести различных значений величины Р/св построено с помощью дельта-метода на рис. в при значении св/са 4,8. На рис. б приведена диаграмма восстанавливающей силы. Четыре из фааовых траекторий доведены до конечной конфигурации. Шаги построения фазовых траекторий изменяются от вели- 1гл. хх 466 НЕЛИНЕННЫЕ КОЛЕВАНИЯ чины, меньшей чем Хэ до величины б/ЗХВ углы в градусах указаны на конках каждого шага. Дельта-кривые представляют собой прямые линии с угловым коэффипиентом 1- — ' 1 — — =0,79. се 1 с1 4,8 Рассмотрим подробнее фазовую кривую, соответствующую наибольшему значению Р/сз ЗХИ Вначале движение гармоническое вплоть зх, евх, г'х, ых, х, гл К задаче хч.23,6, в,* до смешения Х;, что соответствует углу От =49'.
В этой точке достигается предел унругости и начинается эллиптическая фазовая траектория, протекающая в пластической области фазовой плоскости, где угловой коэффиднент восстанавливающей силы равен сз. Далее фазовая траектория аппроксимируется тринадцатью дугами окружностей с использованием кривой бэ Она дает максимальное смешение л= 22,ЗХА в момент вРеменв, опРеделЯемый Углом 884; Это соответствует точке Лт на диаграмме восстанавливавшей силы, которая дает силу, в б,б раза превышающую предел упругости. лвтоколвванин Возвратное движение происходит вдоль силовой линни М,у.и центр дуги окружности на фазовой плоскости находится путем продолжеиня втой линни до пересечения с осью е в точке Оз и добавления смешения ЗХм вызванного возмушаяяцей силой. В точке Ез угол равен 439' и система опять входит в пластическую область с .
Это означает, что должна быть построена кривая б„ как показано на рисунке. С помощью этой кривой построена эллиптическая траектория, аппроксимированная шестью дугами окружностей. В конце ее смешение составляет примерно 10,6Ха в момент времени, соответствующий углу 712'. Восстанавливающая сила, определяемая линией ЕаМ, убывает до величины, примерно равной 1,5 предела упругости или половины величины Р.
Затем опять начинается движение в сторону увеличения координаты к, цри котором восстанавливающая сила определяется линней МаЕз. Е1ентр соответствующей дуги траектории, как н прежде, находим путем продолжения прямой МаЕз до точки Оз и добавления сме. щения ЗХм вывываемого возмущающей силой.
В точке Ез система в третий раз входит в пластическую область са, где эллиптическая траектория аппроксимнруется двумя дугамн окружностей между углами 784' н 890' с использованием кривой бз. В конце этой траекторин восстанавливающая сила определяется точкой Мз. 11альнейшее движение системы представляет собой свободное колебание, при котором зависимость восстанзвливаюигей силы от пе« ремешения дается линией МзОь Центр соответствующей окружности на фзвовой плоскости определяется, как и ранее, и расположен в точке хж 13,2Хп Эта точка определяет остаточную деформацию упругого элемента системы, На рис.
з построены графики зависимости перемещения от времени, поясняющие хзрактер княжения системы. Из их рассмотрения видно, что внезапно приложенная возмущающая сила, величина которой равна трехкратному пределу упругости, вызывает вначале максимальное перемещение, в 22,3 рава большее смешения, соответствующего пределу упругости, и в конце концов приводит систему к колебаниям с частотой ст около точки, соответствующей остаточному смещению, равному 13,2Хт. В задачах этого пункта даны основные результаты Якобсена, автора дельта-метода.
9 б. Автоколебаннн 1'. Примеры автоколебательных систем, Известно, что свободные линейные колебания при нзлнчии силы сопротивления, пропорциональной скорости, затухают. Лля того чтобы колебания не затухали, онн должны быть вынужденными, т, е. должна также действовать возмушаяяцая сила. Но существуют нелинейные системы, которые лрн отсутствии возмущакяцей силы могут колебаться, не затухая. 468 1гл.
хх нялинвнныв колввания Напомним, что свободные линейные колебанкя, происходящие прн наличии силы сопротнвлення, пропорциональной скорости, опнсываюуся днфференцнальным уравненяем У+ 2лУ+ лах 0 я в случае л( й аатухают по закону х=ае ™ а!и()/йа-пас+а), где и ьО. Если параметр л был бы отрнцательным, то колебания не аатухалн бы, а неограниченно воарасталн. Рассмотрим случай, когда прн силе сопротивления, изменяющейся по нелинейному вакону, днфференцяальное уравнение движения нмеет вяд У+ 2лУ+ уУа+ Аах = О, У+(2л+уйа) У+Аах О, (1 *) где в~О, а у) О. Нетрудно видеть, что прн малых значениях У коэффнцнент, стоящий в скобке прн Х, отрицателен, т.
е. ««олебання воарастают, а прн больших вначеннях Х этот коэффнцнент положителен н, вначнт, колебания аатухают, В итоге амплнтуда нвменяется до некоторого предела н ватем сохраняет постоянное значение, не вавнсящее от начальных условий движения. Воаннкают устойчявые, не вавнсящие от начальных условнй перводнческне «тр К, незатухающие свободные колебания, которые нааываются авв«охолебаиилм«ь Так, автоколебання появляются я с', случаях, когда модуль силы тренвя )с, наменяется в вавнснмостн от модуля относительной скорости е, скольженяя одного тела по отношению к друРяс. 20.!1. гому. На рнс.
20.11 изображена нелннейная характеристика наменення модуля силы трения Р, в аавнснмостн от величины относнтельной скорости е, скольжения одного тела по отношенню к другому. Прн малых скоростях скольжения (участок «(Щ сила трения примерно постоянна, аатем с увеличением скоростн (нясходящая ветвь паба) сяла трения уменьшаетсв, но прн последующем увеличении скорости (восходящая ветвь «а«1«) сила трения воврастает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
