1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 76
Текст из файла (страница 76)
При нагреве катода начинается термоэмиссия электронов, которые увлекаются к аноду имеющимся внутри лампы электрическим полем. На пути электронов расположена проволочная сетка Р. В цепь сетки Р включен контур, состоящий иа конденсатора емкостью С, сопротивления Я и катушки с нндуктивностью Е. Анодная цепь лампы содержит катушку индуктивности Е', имеющую индуктивную связь с катушкой сеточного контура.
Взаимная индуктивность двух контуров равна АЕ Любое иаменение напряжения и на сетке ведет к ивменению потока электронов внутри лампы и, следовательно, к изменению тока 1л и анодной цепи. Зто в свою очередь вновь, ва счет взаимной индуктивности М, изменяет напряжение и на сетке Р и т. де что приводит к возникновению и установлению автоколебаний. Зависимость анодного тока ~д от напряжения и на сетке Р определяется экспериментально и нааывается характеристикой триода. нвлнничныз колявлння Типовая характеристика лампы покззаиз нз рна б и приближенно зппроксимируется урзвненнем 1.-~ — зЬ~, 1 ис Ц1 (2) где Е-сзмоиндукцня кзтушкн, з и — ззряд, Падение нзпряжения ил нз сопротивлении Я дается формулой и,я = 1Ц. (3) Падение нзпрюкения ис нз конденсзторе определяется взвнснм остью ис= С, (4) где С- емкость конденсзтора Пздение изпряжения зз счет явления ввзимной индуктивности равно а, им=М ш, (6) где М-вззимнзя индуктивность двух катушек, з 1л — знодный ток цепи, Внеся результзты (2)-(6) в урзвнение (1), нзйдеи 1 з1л ~6+й6+ —,6+М ~ -О (6) Рззделнв урзвнеяне (6) нз 1С и произведя измену переменных по формуле и(1) =и/С, где и-нзпряжение нз сетке, получим Ф+ 2пи+ Дзи+ МАЯ вЂ” О.
юл вг (7) Здесь обознзчено 2и г — Аз Е 1 Л' ЕС' (8) где (1, и 1)з — положительные постоянные. Найти никон взменения сеточного нзпряжения и прн устзиовленин звтоколебзний, з также постоянную величину амплитуды нзпряжения устзновившегося режима Выяснить условия кзк взтухзния, тзк и самовозбуждення колебаний, Дины начальные условии при 1 О имеем и иь й=йм Решение.
Применим З-й ззкон Кирхгофа к сеточному контуру: при отсутствии в нем источника в. д. с. сумма падений нзпряжений в етом ззмкнутом контуре должна быть равна нулю, т. е. их+ ад+ ис+им= О. (1) Падение нзпряжения ис нз катушке равно Аатоколаялния 477 !л = расс - — [)оао 1 3 Характеристика триода аадана уравнением Вычислив производную 1л по времени, запишем — = — „й-Ф,-[) )й с!с ои Использовав этот результат в уравнении (7), найдем нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее процесс автоколебаняй !(+ Ри — ри + Мтсясоазй, (9) где обозначено р = 2л+М[)сто. (10) Для интегрирования нелинейного уравнения (9) применим метод медленно меняющихся амплитуд Ван-дер-Пола (см, и, 3' $2 этой главы).
Будем искать решение уравнения (9) и(Ф) и первую проиавод. ную й(с) по времени в виде а (с) а (Г) з!п [лс+ Сз (Е)), й = а (!) л соз [лс+ са (!)1 (11) где а(Ф) н сс(с) — медленно изменяющиеся функции времени, подлежащие последующему определению. Обозначив правую часть уравнения (9) через г(а, й) и подставив в нее и=аз!пф, й аасезф, получим ,У(а, й) = с (а з1п сР, ~й соз сР) = — Рай соз ф+ М[)оаЧР з1по ф соз сР.
(12) Затем, воспользовавшись выражением (12), вычислим определенные интегралы ~ у(а з!п ср, ал соз ср) соз ср йф = о = — Ра7с ~ созофаф+М[)оаоссо ~ з!пофсозофс(ф, (13) о о )г,г"(аз!пф, а7ссозф)з!пфйф о ис оа = — Расс ~ созф з!пффф+ М)!заосссо ~ з!Поф соя ф йф. (14) При вычислении интеграла (13) учтем, что созз ф — (1 +соя 2ср), з1по ср сойр = — (1+ соя 4ф), 1 1 а в интеграле (14) применим подстаяовку з!пср=ж В результате получим у(аз!и ф, ил соя ср) сов!риф = — пра7с+ — М[)опало, (15) ') у'(аз!пф, а)ссозф)з!пфйф=О. (16) о 478 нвлинвйные колввлния !гл.
хх Напомним, что «укороченные» уравнения Ван-дер-Поля имеют вид й = — у (а з!и ф, ал соз ф) соз ф йф„ 1 Г 1 сз = — — „~ ~(а з1п ф, а)в соз ф) з1д ф йф. (17) Использовав в уравнениях (17) выражения (15) и (16), получим й= — — а(1 — )зав), сз =О, р (18) где обозначено (19) Из второго уравнения (18) сразу найдем а= С,. (20) После интегрирования уравнения (21), учтя, что 1 ! )в — — + а (1 — )ввав) а 2 (1 †)а) 2 (1-~- Ха)' получим Са е — 2 1 )' 1 — ьвав Решив вто уравнение относительно а, определим а (1) (22) )/ ХвВ4+- Свеев Теперь внесем результаты (20) и (22) в уравнения (11): и(г) = з!п(лт+Св), 1 'г'вав+ Свеев й(Г)= „соз(лт+Св). (23) ! Для определения постоянных интегрирования Св я Св подставим в уравнения (22) начальные условия в=О, и=не, й=йа Получим систему уравнений и = з!пСь йе= созСз. 1 а ~/'Хв+С) После отделения переменных первое уравнение (18) примет вид аа р а(1 — авив) 2 (21) АВТОКОЛЯЭАНИЯ 479 Решив эту систему, найдем а' — Ав (авивв+ авв) аив в в С с1 в Для определения искомого прокесса установления автоколебаний подставим этн значения С,' и С, в первое уравнение (11) и приведем его к виду и(1) ' ' а1п1вдг+адс38 —."-в).
(24) Ав (ави3+ а3)+ (а' — Ав (а'и3+ авв)! вр Остается выяснить условия ватухания, а также условия самовоз- буждеиия колебаний. Для этого, воспользовавшись формулой, (22), совершим предельный переход прн 1-ьсо. Нетрудно видеть, что при р)О мы получим Иша(1)=О н, значит, Ишдг(Г) О, т. е. колед со д вв банкя затухают, изменяясь по закону (24). Из неравенства р)0, использовав (10), найдем 2л+ М3)д(дв ) О,' откуда М ) — 2лдрдлв. Приняв во внимание (8), запишем ддС М» — —. Соблюдение неравенства (26) является условием затухания коле- баний.
В случае р(0 из формулы (22) получим: !ипа(1)=1/3. Восд ав пользовавшись выражениями (8), (10) и (19), найдем 1пп а (Г) = 2 ~/ — ' = сопзб - /8С+МР, ао Адрв Итак, при р и-0 амплитуды постепенно уверичиваются, имея пре- делом величину (26), которая не зависит от начальных условий ив и и Переход к автоколебаниям происходит по закону (24).
Заме- тим, что азтоколебаиия обусловлены наличием нелинейности в харак- теРистике тРиода, т, е. членом — — 3)вн в выРажении 1А = 3)див в 3 1 — — 3)впв. действительно, в случае линейной характеристики !А = 3 = рди, рв 0 и формула (26) примет вид: Иша(1)=со, т. е. колед-. банна неограниченно возрастают. Из неравенства р и О, учтя (10), запишем 2п+ М3)дйа ( О, откуда М» — 2п7рдив. Приняв во внимание (8), получим М и — —., йС Вд ' (27) (26) Соблюдение неравенства (27) является условием самоаозбуждения автоколебаннй. В заключение заметим, что если бы по условию задачи требовалось найти только амплитуду установившегося режима звтоколебаний, 480 НЕЛИНЕИНЫЕ КОЛЕВАНИЯ то, минуя интегрирование систвмы дифференциальных уравнений (17), можно было бы непосредственно получить результат из первого уравнения (17).
действительно, прн установившемся режиме, т. е. прц а(г) =сопз1, имеем: д= О. Поэтому, в соответствии с первым уравнением (17), находим ~ у(аз1п>р, ассов>р) соз<рг(>р=0. о Воспользовавшись формулой (16), запишем — прил+ — М1)ааааа = О. Ф Отбросив нулевой корень при решении этого уравнения относительно а, получим Подставив в эту формулу значения (8) и (10), найдем результат (26). 3'. Исследование автоколебаний на фазовой пло« скости.
Задача 20.26. Построить фазовую траекторию системы, изображенной на рис. а Нелинейное сопротивление, действующее на массу> йарапзь К задаче 20,26,а,б. пропорционально скорости колебания .Ф в степени 3/2. К системе подводится знергия приводным ремнем, движущимся с постоянной скоростью о и воздействующим на массу >и с снлой трения, равной шй~ Коэффициент трения у не постоянен; он равен постоянной у' если масса находится в абсолютном покое нли, другими словами, если относительная скорость ремня н массы равна ж Волн .с.положительна, относительная скорость о-У будет меньше, а если 2 отрицательно, то больше ж Предполагая, что диапазон иамененя* относительной скорости о~У не слишком велик, принять, в хоро- 481 эв] Аэтоколеэлния шем соответствии с дейстэительностью, линейную зависимость коэффи- ниента трения от .Ф, т.
е. (рис. гГ) Первоначально масса находятся а покое в начале координат. В момент 4*= 0 к ней внезапно приложен малый положительный импульс 0,0445 нггж Р еш е н и е )(ифференпнальное уравнение движения системы аапишей в виде лай+ ссш ~ я ~' ай+ сх = тй(у', + 54). (й) Рааделив обе части уравнения на лг и перегруппировав члены, получим Я+(м ( 4 ~~4-(1ЯЯ+йах=~,а. (з) Это уравнение ясно показывает, что принятая в задаче линейная эавнсимость коэффициента трения от относительной скорости ремня и массы приводят к появлению члена- Цч н что дянамнческий эффект этого члена равносилен эффекту отрипательного вязкого сопротивленни; если наклон р отрицателен, то демпфирующий член ЦМ положителен и система не может соаершать автоколебания.
Отклоняясь несколько в сторону, предположим, что сопротивление системы пропорпнонально первой степени скорости .Ф, а не степенн три вторых. В этом случае знак величины сь — фй определяет положительное или отрикательное вязкое трение. Это в свою очередь покавывает, будет ли движение системы динамически устойчиао или неустойчиво, т. е. будут лн проиввольно малые аоамущения исче. вать нли раскачнаать систему с непрерывно возрастающей амплитудой. Очевидно, что в дейстаительностн ии а, нн фй не остаютса постоянными э достаточно широком диапазоне движений системы, н следовательно, анак их разности легко может намеинться с плюса на минус и наоборот. Ввиду этого следует ааключнть, что при научении автоколебаннй нелинейные члены а дифференпнальных уравнениях даижения играют первостепенную роль н пренебрежение нми недопустимп. Возвращаясь к рассматриваемой системе, используем дельта-метод для решения уравнения (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
