1611690521-b4e99733fc1df1771233790ed0663be0 (826921), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Р е ш е н и е. Преобразуем данное в условии задачи уравнение к виду (1э): (3) у+лзх = лз(х-а!п х). Поскольку в данном случае у(х, у, 1)=аз(х — а!пх), имеем по (2*) 6=6(х)=э!пх-х. (4) Дельта-кривая, построенная по этому уравнению, показана на рис. 6. Тзм же построены фазовые траектории для всех заданных ИССЛЕДОВАНИЕ НВЛИНЕИНЫХ КОЛЕВАНИИ 459 в условии аадачи случаев. На рис.
а приведен график восстаиввливаюптей силы Й, В случае а) отклонения маятника от положения равновесия невелики, величина 6 очень близка к нулю, а фавовая траектория невначительно отличается от окружности с центром в начале координат в первая от центра кривая на рис, 0). К яедаче 20.20, В случае б) величина 6 уже заметно отклоняется от нуля и фавовая траектория принимает форму овала, вытянутого вдоль оси х. В случае в) фааовую траекторию строим путем равбиения участка 1 в и, и] на оси х на 20 равных участков 1по 0,1п) и усреднения величины 6 на каждом участке по формуле '~ю б, =„1 „1 6(х)Ы .
Ф~ Так, для 1-го участка 0,9п(хч=п имеем е,ел ! !' 10Г „е 1о,ея бе= — ~ (а1пх — х)г1х= — — ~ — соах — — ~' — 2,83. 0,9п — и и 2,1, Следовательно, координаты центра От первой дуги феновой траектории равны х, — б, = 2,83, т, = О, а радиус рт хе-хт =п-2,83 0,31, По этим данным строим первую дугу в интервале (0,9п; и) по оси х, 10* нялиненныв колпвания Аналогично находим для 2-го участка 0,8д~.к а1.:0,9п 1гл, хх 1 Г 1ОГ зз 1ЗЛя б,= (з1пж — л)с(л= — — ~ — соя ж — — ~ ° — 2,22. О,Вв О,вл п1 2 1з,зя з,н Таким образом, центр О, второй дуги фааовой траектории имеет координаты ез= — бз= 2,22, чз=0.
Радиус второй дуги рз проще всего найтн, измернв расстояняе от точки Оз до конца первой дуга Проделав вто, проводим вторую точку в янтервале (0,8п; 0,9п) по осн х. Продолжая так же дальше, строям всю фазовую траекторию, учитывая прн ятом, что она симметрична относительно обеих коордвнатных осей. Траектория еще более сильно, чем в случае б), вытянута вдоль осн х. Заметим, что вблизи точек х= -и траектория имеет заведомо неправильную форму. Это видно вв того, что прн стремлении л к + м величина б стремится к — е, н, следовательно, радиус фазовой траектории стремится к нулю, так как в зтнх точках ч = О.
Однако эта неточность построения мало скааывается в точках, достаточно удаленных от укаванных, например в точках пересечения траектория с осью ч, которые определяют максимальную скорость колебания ч,„,„, равную в данном случае 2. Любая фзаовая траентория, лежащая внутри траектории для случая в), представляет собой замкнутую кривую, окружающую начало координат. зьля всех таквх траекторий начало координат является особой точкой типа центра Навоняв, в случае г) фазовые траектории представляют собой незамкнутые бесконечные кривые, вытянутые вдоль осн х. Маятнвк не колеблется, а вращается вокруг точки подвеса с переменной угловой скоростью, положнтельной илн отрицательной. Звдвчв 20 21. Тело М массы яз лежит на горнаонтальной гладкой плоскосхн.
К телу (рнс. а) прикреплена вертикальная пружина Ф я1 Ю К задаче%.21, а, б. ОМ = 4, ковффяпнент жесткости которой равен с. З нсходном, вертнкзльном положении пружина не натянута. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕННЫХ КОЛЕВАНИН 461 Составить дифференциальное уравнение малых колебаияй тела вдоль горизонтальной прямой л. Построить фазовый портрет динамической системы. Решение В произвольном положении Мв (рис. 6), на тело действует восстанавливающая сила пружины Р, пропорциональная удлинению пружины, направленная от Мт к О.
Обозначив координату точка Мв через .к, ММв=х, находим модуль силы Р Р = с (У"7+та — С). Разложив корень в ряд '+"*-'~" +®'-Ф+ "Р+ -) и ограничившись первыми двумя членами ряда, находим Р= ~г(1+,-",',-)-г~ = —; — ",. (2) Следовательно, при малых отклонениях тела от вертикального положения равновесия сила Р пропорциональна квадрату отклонения. Переходим к определению проекции силы Р на ось т. Заметив, что л к / Аа1-1/в л сова = — = — ~1+ — ~ я —, р"й+ 1~ п( г' находим с Р„= Р сов а — сса ЕР Дифференциальное уравнение малых колебаний будет глу = — — ла с 2Р У+ — ха=О. 2яс1"- Обозначив для краткости с/2лв1в=р, получим У+()ла= О.
(з) Таким образом, восстанавливающая сила в данном случае прн малых отклонениях тела от равновесного положения пропорциональна кубу отклонения тела. Переходим к построению фазового портрета системы. Переписываем уравнение (3) в форме (4) у+ йвл =йвх — ~Ьа, откуда находим 6=6(л)-~тле-л. 0 462 нелинеиныи колввлння ~гл. хн 8=-ан -а йвла-и а к у+,аз~ 0 ла Ат ю К задача 20Л,в,г. На рисунке подробно показаны первый н шестой шаги для самой большой фазовой траектории. При малых перемещениях и скоростях фазоаые траектории имеют форму сильно вытянутых вдоль осн х небольших овалов с центром в начале координат. С возрастанием энергетических уровней траекторин приближаются к прямоууольнику, короткая сторона которого параллельна оси л; а центр совпадает с началом координат.
Начало координат является здесь особой точкой типа центра, однако движение фазовой точки около него происходит не по окружности. Заметим, что задача может быть решена точно. действительно, уравнение (3) можно записать в виде системы ну — = — рлз лг ! лз =У. лг (7) Разделив (6) на (7), найдем Фу для — д— лз "у' (8) Из уравнения (б) следует, что Ь равно нулю при л= + А/)/$. Это означает, что в соответствующих точках центр дуги окружности, аппроксимирующий фазовую траекторию, лежит в начале координат. На рис. з приведен график восстанавливающей силы — кубическая парабола, а на рис. г показаны дельта-кривая и фааовые траектории для трех энергетических уровней (начальных координат и скоростей), причем принято р/на=0,4.
Фазовые траектории построены с помощью равных шагов (Ьл=0,2) по оси л; ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕИНЫХ КОЛЕВАИИИ 463 Отделив переменные и проинтегрировав, получим точное уравнение фазовой траектории У'+)) "2 - С. (0) которое позволяет при сопоставлении его с приближенным решением опенить точность дельта-метода Задача 20,22. Построить фазовый портрет нелинейной колебательной системы, описываемой уравнением У+ йах — а|х ! х = О. (1) Решение. График восстанавливаюшей силы праведен слева на рис. а.
Эта сила положительна при х( — ля/а н 0(х(ла/а и К задаче ЕОЖ отрипательна з интервале — ля/а(х(0 и при х~/гч/а. Следовательно, система может быть неустойчивой. Величина 6 в данном случае определяется уравнением б —, (бах- а ~ х ~ х- йах) — —" ~ х ~ х. ая (2) Соответствующая дельта-кривая показана на рис. б, На том же рисунке имеется н фазовый портрет системы. Он построек с помощью 464 игл. хх нилинеиньш колэвлння малых и не равных между собой шагов Ьх, так чтобы яснее была видна изломанность приближенных фазовых траекторий. Характерными точками на фазозой плоскости являются точки х=~лз1а, я=0. Они могут быть названы чточками застоя«, тзк как в ннх фаэовая точка становится неподвижной и, следовзтельно, графическое определение времени иеврэможно.
Однако даже выполненное довольно грубое геометрическое построение доставляет весьма точную информацию о вяутренних свойстиэх системы. Фаэоваэ траектория, проходящая через упомянутые точки застоя, называется седаралгрисой. Онз не только отделяет внутреннюю область — область ззмкнутых фзэозых траекторий — от внешней — области незамкнутых траекторий,-но и разделяет вту последнюю область, Тэк, например, если движение системы начинается из точки 1 фаэовой плоскости, то фэзовая траектория уходит з бесконечность в третьем квадранте, а если исходной точкой служит точка 11, то фазовзя трзекторгГя удаляется в бесконечность в первом квадранте. Точки 1 н 11 лежат по разные стороны от сепаратрисы, Внутренняя замкнутая часть сепаратрисы отделяет область устойчивых колебаний в внутреннюю область — от области неустойчивого движения в внешней области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
